2015-2016学年高中数学 2.3.2 方差与标准差检测试题

2．3 总体特征数的估计 2．3.2 方差与标准差

基础巩固

1．一组数据的方差为s，将这组数据扩大2倍，则新数据的方差为( ) 12222

A．s B.s C．2s D．4s

2

1－2－2－2－x1＋x2＋…＋xn2

解析：∵s＝[(x1－x)＋(x2－x)＋…＋(xn－x)]，x＝，

2

nn2x1＋2x2＋…＋2xn－－

∴x＇＝＝2x.

n1－2－2－24－2－22

∴s′＝[(2x1－2x)＋(2x2－2x)＋…＋(2xn－2x)]＝[(x1－x)＋(x2－x)＋…

nn－22

＋(xn－x)]＝4s.

答案：D

2．设x1＝4，x2＝5，x3＝6，则该样本的标准差为( ) A.

－x1＋x2＋x34＋5＋6

解析：∵x1＝4，x2＝5，x3＝6，∴x＝＝＝5，

33122222

∴s＝[(4－5)＋(5－5)＋(6－5)]＝，

336

，选B. 3答案：B ∴s＝

3．一组数据中的每一个数都加上10后，得到一组新的数据，这组数据的平均数是20，方差是12，则原来这组数据的平均数和方差分别是多少？

1

3657 B. C. D. 3333

解析：设原来这组数据为x1，x2，…，xn，每个数据加上10后所得新数据为x1＋10，x2

＋10，…，xn＋10.则

1

n[(x1＋10)＋(x2＋10)＋…＋(xn＋10)]＝20.

1

即[(x1＋x2＋…＋xn)＋10n]＝20.

n1

n1

(x1＋x2＋…＋xn)＋10＝20. (x1＋x2＋…xn)＝20－10＝10.

n即x＝10，原来这组数据的平均数为10. 因为新数据方差为12，即 1

n2

12222

{[(x1＋10)－20]＋[(x2＋10)－20]＋…＋[(xn＋10)－20]}＝[(x1－10)＋(x2－

n10)＋…＋(xn－10)]＝12.

故原来数据的方差是12.

4．对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m/s)的数据如下：

甲：27，38，30，37，35，31； 乙：33，29，38，34，28，36. 根据以上数据，试判断他们谁更优秀．

11

解析：x甲＝×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33(m/s)，s甲2＝×[(27－33)2＋(38－33)2

6612

＋…＋(31－33)]≈15.7，x乙＝×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33(m/s)，s6－33)＋(29－33)＋…＋(36－33)]≈12.7.所以x甲＝x乙，

2

2

2

2乙

2

1

＝×[(336

s甲2>s乙2，说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优

秀．

2

能力升级

5．已知甲、乙两个样本(样本容量一样大)，若甲样本的方差是0.4，乙样本的方差是0.2，那么比较甲、乙两个样本的波动大小的结果是______________．

解析：一组数据其方差越大，波动就越大，方差越小，波动也就越小． 答案：甲样本的波动比乙大

6．已知x1，x2，…，xn的方差为2，则2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的标准差为________．

解析：由方差的性质得新数据的方差为2×2＝8，故其标准差为22. 答案：22

7．两名跳远运动员在10次测试中的成绩分别如下(单位：m)： 甲：5.85 5.93 6.07 5.91 5.99 6.13 5.89 6.05 6.00 6.19 乙：6.11 6.08 5.83 5.92 5.84 5.81 6.18 6.17 5.85 6.21

分别计算两个样本的标准差，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定．

解析：甲、乙两名运动员成绩的样本标准差分别为0.104，0.156；甲运动员的成绩比较稳定．

8．(2014·武汉调研)某校拟派一名跳高运动员去参加一项校级比赛，对甲、乙两名跳高运动员去参加一项校级比赛，对甲、乙两名跳高运动员分别进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：

甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67 乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75

经预测，跳高高度达到1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高高度达到1.70 m方可获得冠军呢？

解析：甲的平均成绩和方差如下：

2

3

－

x甲＝(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋ 1.68＋1.67)＝1.69(m)．

18

18

s甲2＝[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6.

乙的平均成绩和方差如下： －

x乙＝(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68(m)，s2

2

2

18

2乙

＝

18

[(1.60－1.68)＋(1.73－1.68)＋…＋(1.75－1.68)]＝0.003 15，显然，甲的平均成绩好于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定，由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高高度达到1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛，在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m及以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩稳定性也不如甲，但是若跳高高度达到1.70 m方可获得冠军时，应派乙参加比赛．

4

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