高等数学练习册

《高等数学》练习题库

计算数学教研室 吴果林

一．选择题

1.函数y=

1x?1x22 是（）

A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin

)=cosx+1,则f(x)为（）

A 2x2－2 B 2－2x2 C 1＋x2 D 1－x2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B．

32，

23，

54，

45

C．{f(n)},其中f(n)=

?nn?1?n,n为奇数2?1 D. {n} ?n2?，n为偶数?1?n4.数列有界是数列收敛的（）

充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（）

A．发散数列必无界 B．两无界数列之和必无界 C．两发散数列之和必发散 D．两收敛数列之和必收敛 6．设limf(x)?k，(k为常数)则（）

x?x0A. f(x)在点x0有定义 B. f(x) 在点x0无定义 C. f(x) 在点x0的某去心邻域内有界 D.

f(x)-k

7.在x0处函数f(x)的左右极限存在且相等即f(x0-0)= f(x0+0)是x? x0时f(x)有极限的（）

A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 8．下列说法正确的是（）

A.无穷小是一个很小的数 B. 无穷大是一个很大的数 C.无穷大是无界的量 D.无界的量是无穷大量 9．函数

A 单调增加 B单调减少

C先单调增加再单调减少 D先单调减少再单调增加 10．设limsinkxx?1n?0y?x?1 在区间[?2,2]上是（ ）

2?4，则K 为（）

A.1 B.2 C.1/4 D.4

11．limsin(x?1)x?1k2x?1?（）

A.1 B.0 C.2 D.1/2 12．设lim(1?)x?e6 则k=( )

x??xA.1 B.2 C.6 D.1/6 13.当x?1时，下列与无穷小（x-1）d等价的无穷小是（）

A.x2-1 B. x3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1) 14.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D. 无关条件 15、当|x|<1时，y= （ ）

A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值

16、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（ ）

A、 B、e C、-e D、-e

-1

17、下列有跳跃间断点x=0的函数为（ ）

A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x

18、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连续，则下列结论成立是（ ）

A、f(x)+g(x)在点x0 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续

D、 在点 x 0必不连续

19、设f(x)=

在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且

f(x)=0，则a,b满足（ ）

A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0

C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0

20、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x0也连续的有（ ）

A、 B、

C、tan[f(x)] D、f[f(x)]

21、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（ ）

A、[0,л] B、（0,л） C、[-л/4,л/4] D、（-л/4,л/4）

22、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（ ）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件

23、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（ ）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件

24、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（ ）

A、f(x)=x+1 B、f(x)=x-1 C、f(x)=x2-1 D、f(x)=5x4-4x+1

25、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（ ）

A、k=0 B、k=1 C、k=2 D、-1/2

26、y=|x-1|在x=1处（ ）

A、连续 B、不连续 C、可导 D、斜率为0 27、曲线y=x3-3x上切线平行x轴的点有（ ）

A、（0，0） B（1，0） C、（-1，2） D、（1，-2）

28、在下列点中，函数f(x)= +tanx+(x-1)可导的点有（ ）

A、x=0 B、x=1 C、x=л/2 D、x=л

29、曲线y=sinx+cosx在x=л/4处的切线方程为（ ）

A、y=0 B、y= C、x=

D、y-

=

(x-л/4)

30、曲线y=x-1/x与x轴的交点处的切线方程为（ ）

A、2x+y=2 B、2x-y=2 C、2x-y+1=0 D、2x+y-2=0

31、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（ ）

A、e B、1/e C、e

x

D、e1/e

32、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（ ）

A、x-y-1=0 B、x-y+3e-2=0 C、x-y-3e-2=0 D、-x-y+3e-2=0 33、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（ ）

A、±1 B、±л/2 C、±(л/2+1) D、±(л/2-1)

34、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a， 则f`(-x0)=（ ）

A、a B、-a C、|a| D、0

35、设y=㏑ ，则y’|x=0=（ ）

A、-1/2 B、1/2 C、-1 D、0

36、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（ ）

A、-1 B、0 C、1 D、 不存在

37、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（ ）

A、0 B、1/ ㏑2 C、1 D、 ㏑2

38、已知y=sinx，则y

(10)

=（ ）

A、sinx B、cosx C、-sinx D、-cosx

39、已知y=x㏑x，则y(10)=（ ）

A、-1/x B、1/ x C、8.1/x D、 -8.1/x

40、若函数f(x)=xsin|x|，则（ ）

A、f``(0)不存在 B、f``(0)=0 C、f``(0) =∞ D、 f``(0)= л

41、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（ ）

A、-1 B、0 C、л/2 D、 2

42、圆x2cosθ,y=2sinθ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（ ）

A、-1 B、0 C、1 D、 2

43、函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x0可微的（ ）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件

9

9

9

9

44、函数f(x)在点x0可导是函数f(x)在x0可微的（ ）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件

45、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（ ）

A、0 B、-dx C、dx D、 不存在 46、设du=xdx，则V=（ ）

A、-x B、x C、x+c D、 x/2+c（c为任意常数） 47、设V（0）=0，du=xdx，则V=（ ）

A、-x2 B、x2 C、x2/2 D、 x2/2+c（c为任意常数） 48、罗尔定理的三个条件是其法论成立的（ ）

A、充分条件 B、必要条件 C、充分必要条件 D、无关条件

49、设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，不用求导数，即可知方程，f`(x)=0的根的情况是（ ）

A、至少有四个根，x1=1,x2=2,x3=3,x4=4 B、仅有四个根，x1=1,x2=2,x3=3,x4=4

C、在三区间(1,2),(2,3),(3,4)内分别有一个根 D、在三区间(1,2),(2,3),(3,4)内分别至少有一个根

50、罗必塔法则的条件是其法论成立的（ ）

A、充分条件 B、必要条件 C、充分必要条件 D、无关条件

51、极限lim(x?1

22 22

x1?x?1lnx)的未定式类型是（ ）

A、0/0型 B、∞/∞型 C、∞ -∞ D、∞型 52、极限 lim(sinxxx?01)x2的未定式类型是（ ）

∞

A、00型 B、0/0型 C、1型 D、∞0型

xsin21x53、极限 limx?0sinx=（ ）

A、0 B、1 C、2 D、不存在

54、x

x0时，n阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x

x0 的（ ）

A、（n+1）阶无穷小 B、n阶无穷小 C、同阶无穷小 D、高阶无穷小

55、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（ ）

A、唯一的零点 B、至少存在有一个零点 C、没有零点 D、不能确定有无零点

56、若a2-3b＜0，则方程x+ax2+bx+c=0（ ）

A、无实根 B、有唯一实根 C、有两个实根 D、有三个实根

57、方程x-3x2+m=0在[-1,1]内（ ）

A、有唯一实根 B、至多有一实根 C、至少有一实根 D、恰有两个实根

58、函数y= x+12x2+1在定义域内（ ）

A、单调增加 B、单调减少 C、有驻点 D、有极值点

59、函数f(x)=|sinx|在（-л, л）内的极值点有（ ）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

60、函数f（x）在(-∞,+∞)内有定义，又x0是极大值点，则（ ）

A、x0是f(x)的驻点 B、-x0是-f(-x)的极小值点 C、f（x）≤f（x0） x∈(-∞,+∞) D、-x0是-f(x)的极小值点

33

3

61、设lim(f(x)-f(x))/(x-a)2=-1，则在点x=a（ ）

x?aA、f(x)的导数存在，且f`(a)=0 B、f(x)取得极大值 C、f(x)取得极小值 D、f(x)的导数不存在

62、设f(x)=x7+x，则f(x)在[0,1]上（ ）

A、有极小值0 B、有极大值 C、有最小值0 D、无最大值

63、函数y=x+12x+1在定义域为（ ）

A、单调增加 B、单调减少 C、图形上凹 D、图形下凹

64、关于曲线y=3x-5x的说法不正确的是（ ）

A、有水平渐近线 B、有两个极限 C、有三个拐点 D、无斜渐近线

65、函数(x+4)/x2的图形在（0,+ ∞）内（ ）

A、单调上升 B、向上凸

C、有极小值点（2，3） D、有拐点（2，3）

66、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为（ ）

A、2 B、1/2 C、1 D、0

67、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（ ） A、0 B、1/2 C、1 D、2 68、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（ ）

A、一个 B、两个 C、无穷多个 D、都不对

69、若∫f(x)dx=2ex/2+C=（ ）

A、2ex/2 B、4 ex/2 C、ex/2 +C D、ex/2

70、∫xe-dx =（ D ）

A、xe -e +C B、-xe+e +C C、xe- +e- +C D、-xe- -e- +C

x

x

x

x

-x

-x

-x

-x

3

53

3

x

71、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)dx（ ）

A、不含有对数函数 B、含有反三角函数 C、一定是初等函数 D、一定是有理函数

72、∫-10|3x+1|dx=（ ）

A、5/6 B、1/2 C、-1/2 D、1

73、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（ ）

-n

A、л B、2л C、4л D、6л

74、曲线y=x2

-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（ ）A、л B、6л/15 C、16л/15 D、32л/15

75、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（ ）

A、 B、2 C、31/2 D、 21/2

76、设a,b为任意两向量，U=a+b,V=a-b,则(u+v)/|u+v|表示（ ）

A、与a方向相同的单位向量 B、与b方向相同的单位向量 C、与a平行的非单位向量 D、与b平行的非单位向量

77、在球面(x-1)2

+(y-1)2

+(z-1)2

=1内的点有（ ）

A、（1，0，0） B、（0，1，0） C、（2，1，1） D、（1/2，1/2，1）

78、绕着过点（1，0，0）且平行Z轴的直线旋转，半径为2的圆柱面方程是（ A、(x-1)2+z2=4 B、(x-2)2+z2=1 C、x2+(y-1)2= 4 D、(x-1)2+y2=4

79、球体x2+(y-1)2+(z-2)2≤9在平面xoy上的投影为（ ）

A、x2

+(y-1)2

=9 B、x2

+(y-1)2

=5 C、x2

+(y-1)2

≤9 D、x2

+(y-1)2

≤5

80、下列平面方程中，过点M（0，3，1）的平面方程是（ ）

A、4x-3y-z=0 B、-3y-z=1

）

C、y-3z=0 D、-3y-z=0

81、在平面的截距式方程x/a+y/b+z/c=1中，截距a,b（ ）

A、全不为零 B、不全为零 C、全大于零 D、大于或等于零

82、平面2x-y+2z-8=0及x+y+z-10=0夹角的余弦值为（ ）

A、1/3 B、1/31/3

C、1/(3×31/3

) D、-1/(3×31/3

)

83、已知点P（1，3，-4）关于平面л:3x+y-2z=0的对称点Q的坐标是（ ）A、（5，-1，0） B、（5，1，0） C、（-5，-1，0） D、（-5，1，0）

84、平面2x+3y+6z-35=0和平面2x+3y+6z-56=0的位置关系是（ ）

A、垂直 B、平行且相距 C、斜交 D、平行且相距

85、两直线L1:x=t+1,y=2t-1,z=t；及L2：x=t+2，y=2t-1，z=t+1间的距离为（ A、2/3 B、2/(3×31/2) C、1 D、2

86、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（ ）A、Z=4 B、Z=0 C、Z=-2 D、x=2

87、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（ ）

A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、两相交直线

88、方程=0所表示的图形为（ ）

A、原点（0，0，0） B、三坐标轴

C、三坐标轴 D、曲面，但不可能为平面

89、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（ ）

A、X轴 B、Y轴 C、Z轴 D、任一条直线

90、方程3x2

-y2

-2z2

=1所确定的曲面是（ ）

A、双叶双曲面 B、单叶双曲面 C、椭圆抛物面 D、圆锥曲面

二、填空题。

1、Y=(x2

+1)1/3的反函数是 （ ） 2、Y=1+㏒(x+2)的反函数是 （ ） 3、Y=1+2sin(x-1)/(x+1)反函数是（ ）

）

4、求极限xlim???3x/(x+2)=（ ）

5、求极限limx/(x2+1)=（ ）

x???6、求极限xlim??? (4x2+1)/(3x2+1)=（ ）

7、求极限xlim???3x/(x+2)=（ ）

8、求极限xlim???1/(x+1)=（ ）

9、求极限 xlim??? (1-1/x)=（ ）

10、求极限lim (x-2)/(x2-4)=（ ）

x?211、求极限lim (x2+2x+5)/(x2+1)=（ ）

x??112、求极限 lim [(x3

-3x+1)/(x-4)+1]=（ ）

x?013、求极限limx-2/(x+2)1/2

=（ ）

x?214、求极限lim [x/(x+1)]x

=（ ）

x??15、求极限lim (1-x)1/x

= （ ）

x?016、已知y=sinx-cosx，求y`|x=л/6=（ ）

17、已知ρ=ψsinψ+cosψ/2，求dρ/dψ| ψ=л/6=（ ） 18、已知f(x)=3/5x+x2

/5，求f`(0)=（ ）

19、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（ ） 20、函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（ ） 21、函数y=2x3极小值与极大值分别是（ ） 22、函数y=x2-2x-1的最小值为（ ） 23、函数y=2x-5x2的最大值为（ ）

24、函数f(x)=x2e-x在[-1,1]上的最小值为（ ）

25、点（0，1）是曲线y=ax3

+bx2+c的拐点，则有b=（ ） c=（26、曲线y=㏑(secx)在点（x,y）处的曲率为 k=（ ）cosx

）

49、求点P（3，-1，2）到直线x+2y-z+1=0的距离。

50、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。 四、证明题

1．设f(x)在(0,?)上有定义，x1f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)

?xtf(t)dt???0x,x?0,2．设函数f(x)在?0,???上连续，且f(x)?0,令F(x)??

f(t)dt??0?0,x?0??0,x2?0,求证:若

f(x)x单调下降，则

证明：F(x)在?0,???上单调增加。

3．设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f(0)?0,f?(0)?0,f??(0)?0。证明：存在惟一的一组实数?1,?2,?3使得当h?0时，?1f(h)??2f(2h)??3f(3h)?f(0)是比h2高阶的无穷小.

4．证明y?(arcsinx)2满足方程(1?x2)y(n?1)?(2n?1)xy(n)?(n?1)2y(n?1)?0 5．证明不等式：2?6．证明不等式

121?21?11?xdx?483

??dx1?xn0??6,(n?2)

7．设f(x)在(0,??)上连续且单调递减，证明：

?n?1n1f(x)dx??k?1f(k)?f(1)??n1f(x)dx.

8．设f(x)，g(x)区间??a,a?(a?0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件 f(x)?f(?x)?A(A为常数)。证明：?1a?af(x)g(x)dx?A?g(x)dx

0a9．设f(x)连续，证明：?lnf(x?t)dt?0?x0lnf(1?t)f(t)12ndt??10lnf(t)dt

??10．设n为正整数，证明?2cosxsinxdx?0nn?20cosnxdx

11．设函数f(x)可导，且f(0)=0, F(x)? lim

F(x)x2n?x0tn?1nnf(x?t)dt证明:

x?0?12nf?(0)

12．设?(t)是正值连续函数，f(x)?在??a,a?上是凹的。

?a?ax?t?(t)dt,?a?x?a(a?0),则曲线y?f(x)13．设g(t)是?a,b?上的连续函数，f(x)?使

f(b)b?a?g(?).

?xag(t)dt,证明：在?a,b?上至少存在一点?，

14.证明：?1dx1?x21x??xdx1?x21

15．设f(x)是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则

?a?Taf(x)dx??T0f(x)dx

xu16．若f(x)是连续函数，则???f(t)dt?du??0?0???x0(x?u)f(u)du

17．设f(x)，g(x)在?a,b?上连续，证明至少存在一个??(a,b)使得 f(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx

?ab? 18．设f(x)，g(x)在?a,b?上连续，且g(x)?0,x??a,b?，试证：至少存在一个??(a,b)使得

bb??19．设f(x)在?a,b?上连续，证明：??f(x)dx??(b?a)?f2(x)dx

a?a?2?babf(x)dx?g(x)dxf(?)g(?)

?a

20．设f(x)在?a,b?上可导，且f?(x)?M，f(a)?0证明：

?baf(x)dx?M2(b?a)2

高等数学1题库（参考答案）

一． 选择题

1——10 ABABD CCCDD 11——20 CCDAA ABABB 21——30 CAADC ADDBB 31——40 DCDAA BCCCA 41——50 BABDD DCACA 51——60 CCAAD BBADB 61——70 BCAAC ABCDD 71——80 CACCA ADDCC 81——90 AC DDB DDCCA

二． 填空题

21/221/2

1．y-(x-1)及Y=(x-1) 2．y=104．3 5．0 6．4/3 7．3 8．0 9．1 10．1/4 11．2 12．3/4 13．0 14．e

-1

15．e 16．(3+1)/2 17．

241/2-1

-2

3．y=(1+arcsin(x-1)/2)/(1-arcsin(x-1)/2)

x-1

（1+

?2）

18．9/25

??19．-1或1-

2220．2 21．-1，0 22．-2 23．1/5

24．0 25．0，1 26．cosx 27．1/R 28．1 29．2 30．-1/x +C 31. C＋ 2 x/5 32. F(x)＋C 33. 2xe2x(1+x) 34.0 35.0 36.21/8 37.271/6 38. ?/3a 39. ?/6 40.0

41.51/512 42.1/4

43. ?－4/3 44. ?/6－3/8 45. ?/2

1/2

46. (x+2)2 47. 1－?/4

4

48. a?/16 49. 22/3 50. 1-e-1/2

1/2

51. 2(3-1) 52. ?/2 53. 2/3 54. 4/3

1/255. 2 56. 0 57. 3?/2 58. (1,3) 59. 14 60. ? 61. 1/2 62. 1 63. －

2tan2x2x1/2

3/2

64. xf (u)sinxdx 65. 1/2

,

66. 1

1/e

67. y(e)=e 68. 无极值

69. x=－1 y=x/2－1 70. y=－1 y=－2x－1 71. 1/4 72. (2,7/2) 73. ㏑x+㏑c 74. 2x(1+x)e2x

22

75. x/2－ln(x+9)+C 76. x(㏑x-1)+C

32

77. x/3-3x/2+9x-ln(x+3)+C 78. ?lnx-3xlnx+6xlnx－6x+C 79. 0

80. ?/4-1/2 81. 7/6 82. 32/3 83. 8a

84. 等腰直角

85. 4x+4y+10z-63=0 86. 3x-7y+5z-4=0 87. (1,-1,3) 88. y+5=0 89. x+3y=0 90. 9x-2y-2=0 91. 1

92. (x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/5 93. (x-3)/-4=(y+2)/2=(z-1)/1 94. (-5,1,0)

95. -x/2=(y-2)/3=(z-4)/1 96. 8x-9y-22z-59=0

97. D=-5 98. 3×21/2/2 99. 32/3

100. 17x+31y-37z-117=0 ,4x-y+z-1=0

三． 解答题 1. 当X=1/5时，有最大值1/5 2. X=-3时，函数有最小值27 3. R=1/2

3

2

??a?af(x)g(x)dx??a0f(?x)g(x)dx??a0f(x)g(x)dx???f(x)?0af(?x)?g(x)dx?A?g(x)dx0a

9．设f(x)连续，证明：?lnf(x?t)dt?01?x0lnf(1?t)f(t)dt??10lnf(t)dt

证明：依题意?lnf(x?t)dt令x?t?u?01x?1xlnf(u)du

＝?lnf(u)du?x0?10lnf(u)du?x?x?11lnf(u)du

又?? 所以

x?11lnf(u)duu?t?1?lnf(t?1)dt

0?10lnf(x?t)dt??x0lnf(1?t)f(t)dt??10lnf(t)dt

?10．设n为正整数，证明?2cosxsinxdx?nn012n??20cosnxdx

证明：令t=2x,有

?

?20cosxsinxdx?nn12n?1??20(sin2x)d2x??n12n?1??0sintdt

n?1?2nsintdt? ?n?1???02??0?n?, sintdt???2?? 又，??sintdtt???u?2n??sin2n(??u)du???20sinnudu，

??所以，?2cos0nxsinnxdx?120n?1?(?2sin0ntdt???20sinntdt)?12n?20sinntdt?12n??2?sinnxdx

又，??sin2?nxdxx??2n?t???cos2ntdt??20cosnxdx

?因此，?2cosxsin0nxdx?12n??20cosnxdx

11．设函数f(x)可导，且f(0)=0, F(x)??x0tn?1f(x?t)dt证明:

nn

lim证明：F(x)?F(x)xn2nx?0?12nnnf?(0)

f(u)du

?x0tn?1f(x?t)dtn令u?x?t?1?nxn0于是，F?(x)?xn?1f(xn),

limF(x)x2nx?0?limF?(x)2nx2n?1x?0?12nlimf(x)xnnx?0?12nlimf(x)?f(0)x?0nnx?0?12nf?(0)

12．设?(t)是正值连续函数，f(x)?在??a,a?上是凹的。 证明：f(x)??a?ax?t?(t)dt,?a?x?a(a?0),则曲线y?f(x)?xx?a(x?t)?(t)dt?x?axx(t?x)?(t)dt

a ?x??(t)dt??t?(t)dt??t?(t)dt?x??(t)dt

?a?a?ax f?(x)??x?a?(t)dt??ax?(t)dt??x?a?(t)dt??xa?(t)dt

f?(x)??(x)??(x)?2?(x)?0 故，曲线y?f(x)在??a,a?上是凹的。

13．设g(t)是?a,b?上的连续函数，f(x)?使

f(b)b?a?g(?).

xb?xag(t)dt,证明：在?a,b?上至少存在一点?，

证明：由已知条件f(x)??ag(t)dt,有f(b)??ag(t)dt,

又，由于g(t)在?a,b?上连续，由积分中值定理，有

?bag(t)dt?g(?)(b?a),a???b,

f(b)b?a?g(?) 故 f(b)?g(?)(b?a)?14.证明：?1

dx1?x21x??xdx1?x21

证明：?1dx1?x2令x?1u1x??11?1u21x?(?1u21du)??xdu1?u211??xdx1?x21

15．设f(x)是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则 证明：??a?Taf(x)dx???T0f(x)dx

?a?T令x?u?TTf(x)dx?a0f(u?T)du??a?f(x)以T为周期0f(x?T)dxf(x?T)?f(x)??a0f(x)dx

??f(x)dx?0T0a?a?TTf(x)dx?0

a?T在等式两端各加?f(x)dx，于是得?af(x)dx??T0f(x)dx

xu16．若f(x)是连续函数，则???f(t)dt?du??0?0???x0(x?u)f(u)du

xuux证明：???f(t)dt?du?u?f(t)dt?0??0??00?x0uf(u)du

?x?f(t)dt??uf(u)du

00xx ??bx0(x?u)f(u)du

17．设f(x)，g(x)在?a,b?上连续，证明至少存在一个??(a,b)使得 f(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx

?a?证明：作辅助函数F(x)??x?xa由于f(x),g(x)在?a,b?上连续，所以F(x)f(t)dt?g(t)dt，

xxb在?a,b?上连续，在（a,b）内可导，并有F(a)?F(b)?0 由洛尔定理F?(?)?0,??(a,b)

xb?即?f(t)dt?g(t)dt???x?a?x??b??f(x)?g(t)dt??x??af(t)dt?g(x)????ax??

?f(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx

?b ＝0 亦即，f(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx

?ab?

18．设f(x)，g(x)在?a,b?上连续，且g(x)?0,x??a,b?，试证：至少存在一个??(a,b)使得

?babf(x)dx?g(x)dxf(?)g(?)

?

a

证明：令F(x)? F(b)??baxaf(t)dt,G(x)??xabg(t)dt,于是 g(x)dx,

x?f(x)dx, G(b)?x?a作辅助函数W(x)?F(b)?g(t)dt?G(b)?f(t)dt

za由题设条件，显然W(x)在?a,b?上连续，由变上限积分定理W(x)在?a,b?上可导 又 W(a)?0，W(b)?F(b)G(b)?G(b)F(b)?0

由洛尔定理，在?a,b?内至少存在一点??(a,b)，使W?(?)?0 即 F(b)g(?)?G(b)F(?)?0，亦即

F(b)G(b)?f(?)g(?)，故

?babf(x)dx?g(x)dxf(?)g(?)

?abb??19．设f(x)在?a,b?上连续，证明：??f(x)dx??(b?a)?f2(x)dx

a?a?xx2? 证明：令F(x)????f(t)dt??(x?a)?f(t)dt a?a?22 ?F?(x)????f(t)?a2xf(x)?dt?0

2 故f(x)是 ?a,b?上的减函数，又F(a)?0，F(b)?F(a)?0

bb2?故 ???f(x)dx??(b?a)?f(x)dx a?a?

20．设f(x)在?a,b?上可导，且f?(x)?M，f(a)?0证明：

?baf(x)dx?M2(b?a)2

证明：由题设对?x??a,b?,可知f(x)在?a,b?上满足拉氏微分中值定理，于是有

f(x)?f(x)?f(a)?f?(?)(x?a),???a,x? 又f?(x)?M，因而，f(x)?M(x?a) 由定积分比较定理，有

?baf(x)dx??baM(x?a)dx?M2(b?a)2

《高等数学Ⅰ》答疑题

11．limx?0(arcsinxx(1?)x2

1原式=limx?0arcsinx?xx)x2

1因为limx?0arcsinx?xx?1x22=limx?01?x3x1622?1=limx?01?3x21?1?x2x2

=limx?0x3x2=

1?x2(1?1?x2)1所以 极限=e6

12．求limx?0(xxx??????a1a2anxnnn)

1原式=limx?0(1?xxx??????a1a2an?nx)

xa1xlna1?????anlnan?

limx?0xxx??????a1a2an?n?1x2=limx?0

n=

lna1?a2???annaa12=lnnaa1???an

?极限=n3???an

3.求limx???x2(x?2?2x?1?3x)

x)] ] x原式=limx???x2[(x?2?32x?1)?(x?1??1x?1?

=limx???x[[[1x?2?x?13=limx???xx2x?(x?2?(x?2?x?2x)?2]

]

x)(x?x?2)x?1)(x?1?x?1)(x?1?143=limx???23=limx???x24．求limn??tan2x?2x?2x1n?(?) 4n[?2]=-

26．设当时x?0,f(x)可导，且满足方程f(x)?1?解：将方程两边对x求导，得f?(x)??1x21x?x1f(t)dt,x?0求f(x)

?x1f(t)dt?f(x)x

1?11?x?x?将原方程的f(x)表达式代入上式，得f?(x)??1x2?x1f(t)dt??x1?1f(t)dt??

x?积分，得f(x)?lnx?C,由原方程中令x?1,可得f(1)?1，从而C＝1

故f(x)?lnx?1

27．设f(x)是连续函数，且f(x)?x?2?f(t)dt，求f(x)

01解：因为f(x)连续，所以?f(t)dt存在，不妨设?f(t)dt?l，于是f(x)?x?2l

0011积分有?f(t)dt?01?10(t?2l)dt，l?12t210?2l?l??12

故f(x)?x?1

28．设函数f(x)在区间[0,1]上连续，并设?f(x)dx?A,求?dx?f(x)f(y)dy

00x111解：I????10dx?f(x)f(y)dy?xx1?10f(x)dx?1xf(y)dy

x11 ???f(t)dt?f(y)dy??0??0??01x0f(t)dt?(?f(x))dx?2?10f(x)dx?f(t)dt

0x ?注意：

12x(?f(t)dt)0x210?12(?f(t)dt)?0x12A

2?0f(t)dt为f(x)的一个原函数。

29．设f(x)在???,???上连续，且对任何x,y有f(x?y)?f(x)?f(y)，计算

?1?1(x?1)f(x)dx

2解：对于这种被积函数含有抽象因子的积分，通常是利用奇偶性积分的“特性”处理，以下证

明f(x)为奇函数。

令y=0，则由f(x?y)?f(x)?f(y)可得：f(x)?f(x)?f(0)?f(0)?0

又，f[x?(?x)]?f(x)?f(?x)，即f(x)?f(?x)?0，可知f(x)为奇函数，于是

1??1(x?1)f(x)dx?0

230．设f(x)，g(x)区间??a,a?(a?0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件 f(x)?f(?x)?A(A为常数)。（1）证明：??a?af(x)g(x)dx?A?g(x)dx

0xa（2）利用（1）的结论计算定积分?2?sinxarctanedx

?2 解：（1）证明：?a?af(x)g(x)dx??0?af(x)g(x)dx??a0f(x)g(x)dx

?? ??a?a0?af(x)g(x)dx令x?u??0af(?u)g(?u)du??a0f(?x)g(x)dx

f(x)g(x)dx??a0f(?x)g(x)dx??a0f(x)g(x)dx??0?f(x)?af(?x)?g(x)dx?A?g(x)dx0a（2）取f(x)?arctanex，g(x)?sinx，a??2，则f(x)，g(x)在???????2,2??上连续g(x)为偶函数。因为(arctanex?arctane?x)??0，所以arctanex?arctane?x?A， 令x?0，得2arctan1?A,于是，A???2，f(x)?f(?x)??2

故?2??2sinxarctanedx?x?2??20sinxdx??2??20sinxdx??2

31．设函数f(x),g(x)满足f?(x)?g(x)，g?(x)?2ex?f(x),且f(0)?0,g(0)?2,求

??0?g(x)f(x)??2?1?x(1?x)??dx ?x解：由f?(x)?g(x)，g?(x)?2e?f(x),，得，

xf??(x)?2e?f(x),于是有

?f??(x)?2ex?f(x)，解方程得f(x)?sinx?cosx?ex，又， ??f(0)?0,f?(0)?2??0?g(x)f(x)??2?1?x(1?x)??dx????0?g(x)(1?x)?f(x)???dx?2(1?x)????0?f?(x)(1?x)?f(x)???dx?2(1?x)??b2??0d(f(x)1?x)?1?e?1??32。设f(x)在?a,b?上有连续的导函数，且f(a)?0试证?f(x)dx?a(b?a)222???f(x)dx?ab

证明：f(x)?f(x)?f(a)?x?f(x)??f?(t)dt?????a?22?xaxf?(t)dt，于是由柯西不等式

?bxadt?a?f?(t)?2dt?(x?a)?ba?f?(t)?2dt

故

?baf(x)dx?12?b2a[(x?a)?[f?(t)]dt]dx?a?ba(x?a)dx?ba?f?(t)?2dt?1?b?a???f?(x)?a22b2dx33。讨论?x0p?1(1?x)q?1q?1dx的敛散性。

1p?1q?11p?1q?1解：?x01p?1(1?x)dx??20x(1?x)dx??12x(1?x)dx

1对?2xp?1(1?x)q?1dx，因为当x?0时，xp?1(1?x)q?1dx?xp?1所以当p?0时，瑕积分收

0敛；p?0时，发散

对?1xp?1(1?x)q?1dx，因为当x?1时，xp?1(1?x)q?1dx?(1?x)q?1所以当q?0时，瑕积

21分收敛；q?0时，发散

综上所述，瑕积分?xp?1(1?x)q?1dx当p?0，q?0时收敛，其余情形发散。

0134．已知f(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内f??(x)存在，又连接A(a,f(a)),B(b,f(b))两点的直线交曲线y?f(x)于C(c,f(c))，且a?c?b，试证在(a,b)内至少存在一个?使得

f??(?)?0

证明：由题意，可对f(x)在?a,c?，?c,b? 上分别利用拉格朗日中值定理，于是有 f?(?1)?f(c)?f(a)c?a,?1?(a,c) f?(?2)?f(c)?f(a)c?a?f(b)?f(c)b?c?,?2?(c,b)

?A,B,C在同一直线上，?f(b)?f(c)b?cf(b)?f(a)b?a

故f?(?1)?f?(?2),因而，f?(x)在??1,?2?上满足洛尔定理。 于是，存在一个????1,?2???a,b?,使得f??(?)?0

35．若f(x)在?0,1?上三阶导数，且f(0)?f(1)?0，设F(x)?x3f(x),，试证在?0,1?内至少存在一个?，使得F???(?)?0

证明：用台劳公式证写出F(x)在x=0处的二阶台劳展开式为

F(x)?F(0)?F?(0)x?12!F??(0)x?213!F???(?)x （*）

32323?F?(x)?3xf(x)?xf?(x),F??(x)?6xf(x)?6xf?(x)?xf??(x)

?F(0)?F?(0)?F??(0)?0,于是（*）?F(x)?1313!F???(?)x (**)

3注意到 F(1)?f(1)?0,由（**）有F???(?)?0?F???(?)?0

测 试 题

——高等数学Ⅱ

一、选择题

1、设E=??x,y?x?y?0?，则（ ）

A、E为连通域； B、E不是连通域； C、E为单连通域； D、E为复连通域； 2、函数Z?arcSinx2?arcSinx3的定义域是（ ）

y?3A、?2???2 B、?3?1

C、?2?x?2且?3y?3 D、o?x2?y2?1 3、函数Z??x2?y2?1??x2?y2?的定义域是（ ）

A、x2?y2?0 B、x2?y2?0 C、O?x2?y2 D、O?X2?Y2?1

?11?4、lim?2x???xy?y??????xy?( )

A、等于e B、等于1 C、等于0 D不存在

?1x?0?sinxy5、设函数f?x,y???x则f?x,y?在（ ）上连续。( )

?yx?0?A、全平面 B、全平面除去原点

C、全平面除C轴 C、全平面除y轴

6、在矩开展区域D：x?xo??,y?y0??内,fx?x,y??fy?x,y??0是f?x,y??c（常量）的（ ）

A、必要条件 B、充分条件

C、充要条件 C、既非充非也非必要条件

?z?z7、设Z?u2?v2,u?x?y,v?x?y,则在?1,0?处偏导数的值分别为（ ） ,?x?yA、4和0 B、0和4 C、0和0 D、4和4

?u?u?u8、设u?x2?y2?z2,x?rc的值分别为osnsi?,Y?rnsinsi?,z?rcos?,则,,?r?o??（ ）

A、0，0, 2r B、0，2r，0 C、2r，0，0 D、0，0，0

9、当??（ ）时，由方程y?x??siny?0,能确定y?f?x?且y?x?具有连续导函数。( )

A、??1 B、??1 C、??0 D??0

?z?y??z10、在（）条件下，由方程Z?x?y??z2?所确定的函数。Z?x,y?满足方程( )

A、??z2?连续 B、??z2?可微

C、??z2?可微且??z2??0; D、??z2?z可微且yz?'?z2??0

???z?x。

11、设??u?v?x?y?0?x?xu?yv?1?0v?xv?yA、? B、

y?xy?x则?u的值为（ ）

C、

u?yy?x D、?u?xy?x

?x2?y2?z2?612、空间曲线?在点?1,2,1?处的切线必平行于（ ）

?x?y?z?0A、xoy平面 B、yoz

C、zox D、平面x?y?z?0

13、旋转椭球面2x2?y2?z2?16上点（2，2，-2）处外法线与Z轴夹角的余弦及切平面与x0z面夹角的余弦分别为（ ）

A、?C、

6666,?,?6666 B、?6666,,6666

D、

2

14、研究函数z??x2?y2?e??x?y2?的极值，有（ ）

A、有极大值Z?e?1，无极小值 B、有极小值Z?0 C、有极小植Z?0，极大值Z?e?1 D、无极植

8x15、研究函数Z???y,?x?0,y?0?的极值，有（ ）

xyA、在（4，2）处有极小值Z=6； B、在（4，2）处有极大值Z=6； C、在（1，2）处有极大值Z=10； D、无极值 16、函数f?x,y??x??y?（1，1）（-1，-1），则（ ）。 ?x?2xy?y有三个驻点（0，0）

22A、f?0,0?是极大值 B、f?0,0?是极小值

C、f(1,1),f(-1,-1)都是极小值 D、f(1,1)，f(-1,-1)都是极大值 17、若fx?x0,y0??0,fy?x0,y0??0，则在点?x0,y0?处函数f?x,y?（ ）

11A、连续 B、必取极值 C、可能取得极值 D、全微分d2=0

2218、函数Z?x?2y在条件x?y?5下的极值为（ ） A、极大值f(1,2)=5 B、极小值f(1,2)=5 C、极大值f(2,1)4 D、极小值f(2,1)=4 19、函数u?xyzx?y?z?5,在条件xy?yz?zy?8下（ ）

A、无极值 B、有极大值u?4C、极有极大值u?422427和极小值

427 D、仅有极小值u=4

20、圆x?2xy?5y?16y?0与直线x?y?8?0之间的最短距离是（ ） A、22 B、32 C、42 D、62

21、据二重积分的概念可知??Dax?ydxdy?222??，其中x222?y22?a。

A、0 B、22、设：I?A、

12233?a C、?a3 D、3?a

??x?y?1dxdy1?cos2x?sin2y，则I满足（ ）

12?I?2 B、2?I?3 C、0?I? D、?1?I?0

23、设I????xD222?4y?9dxdy，其中D是圆形闭区域：x?y?4利用二重积分的性质

2?估计其值满足（ ）

A、4??I?36? B、8??I?36? C、8??I?100? D、36??I?100? 24、设I???Dxydxdy,其中D:0?y?x,x?2;则I?( )

36322A、0 B、25、设I? C、

643 D、256

??xeDcos?xy?Sin?xy?dxdy,其中D:x?1,y?1则I?( )

A、e B、e?1mDC、0 D、?

22226、当（）时，??xydxdy?0,其中D:x?y?a,y?0,m与n均为自然数A、仅当m,全为奇数 B、m,n中至少有一个为奇数 C、仅当m为偶数 D、仅当m为奇数 27、若区域D为x?y?a,则??xydxdy?( )

D22n.( )

A、0 B、a4 C\\

12a D、a4?4

28、若区域D由不等式y?x,y?x?A、0 B、

?4?2?,x?y?16?2表示.则??Sin?x?y?dxdy?D??

C、

?8 D、

2?8??16

29、区域D为0?x?1,0?y?1,则??D?y?x?dxdy?16??

?8?16A、

?4 B、

13 C、

2?8 D、

30、视L为上半圆周?x?a2??y2?a2,y?0,沿逆时针方向， 则SleSiny?2ydx?ecosy?2dy?22?x??x???

22A、??a B、0 C、?a D、2?a

31、设T是用平面y?Z截球面x?y?z?1所得截痕，从Z轴的正向往负向看，沿逆时

22

针方向，则?A、

216Txyzdz?( )

216 B、? C、?? D、??

32、设?为球面x2?y2?z2?1?x?0,y?0?的外侧，则??xyzdxdy????

A、?313 B、?215 C、0 D、

215

33、微分方程y\?4xy??4x2?2?y?0有两个解y1?ex2,y2?xex2,则y?C1y1?C2y2（ ）

A、是方程的通解 B、未必是方程的通解 C、仅是方程的一个特解 D、未必是方程的解 ?34、已知???1?n?1??an?2，?a2n?1?5,则?an???

n?1n?1n?1A、3 B、7 C、8 D、9 35、级数的部分和数列有界是级数收敛的（）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、以上都不对 36、用比值法或根值法判断下列级数收敛的是（）

?1?A、?3n? B、?3n?n1?3 C、 D、?1n

n?1n3n?1?n?1??n?12nn?1?n?1???37、若?uu2n条件收敛，则级数?n（）

n?1n?1A、条件收敛 B、绝对收敛

C、一定发散 D、可能收敛也可能发散

??38、设级数论?bn发散，且（ ）则级数?an必发散。（ ）

n?1n?1A、an?bn B、an?bn C、an?bn D、an?bn

??39、设级数?bn绝对收敛，且（），则级数?an必收敛。（ ）

n?1n?1A、an?bn B、an?bn C、an?bn D、an?bn

?40、设级数?a2?n收敛，则级数?an?an?1 ( )

n?1n?1A、绝对收敛 B、条件收敛

C、发散 D、可能收敛民可能发散 ?41、设级数?a2?2?n，?bn都收敛，则级数??an?bn? （ ）

n?1n?1n?1A、绝对收敛 B、条件收敛

C、发散 D、可能收敛民可能发散 ?42、已知级数?ann?x?1?在x??1处收敛，则此级数在x?2处 （ ）

n?1A、条件收敛 B、绝对收敛

C、发散 D、可能收敛民可能发散 43、函数f?x??ln?1?x?展开x的幂级数，则xn的系数为 （ ）

A、

1n B、??1?n?11n C、??1?n1n?1 D、

??1?n?1n?1

44、使函数系列

A、0,???1,cosx,cos2x,?,cosnx,??正交的最小区间是 （ ）

??4?? B、0,? C、???,?? D、?0,??

45、使函数系?Sinx,Sinzx,?,Sinnx,??正交的最小区间是 （ ）

A、?0,2?? B、???,?? C、?0,?? D、0,?????4??

46、使函数系?1,cos???xl,Sin?xl,cos2?xl,?cosn?xl;Sinn?x????（这里l?0,l?1）正交l?的区间是 （ ）

A、?0,2?? B、???,?? C、?0?1? D、??1,1?

47、设f?x?是以2?为周期的函数，在区间???,??上f?x??x，则其傅立叶级数中cos3x及Sin3x的系数a3及b3分别是 （ ）

4444,0 B、0,,0 D、0,A、? C、 9?9?9?9?48、若函数f?x?以2?为周期，且f?x??x2,?0?x?2?,?,则f?x?的傅立叶级数在点x0?0收敛于（ ）

A、0 B、?2 C、2?2 D、4?2

49、能展开成正弦级数的函数。（ ）

A、一定是奇函数 B、一定是偶函数 C、不一定是奇函数 D、一定是奇函数或偶函数 50、下列y为y\?y?e的特解的是（ ）

xA、y?xe B、y?x12e C、y?e D、y?xx12e

5?x2x51、将函数f?x??x?1A、?8?0?82x?2?展开为周期为4的余弦级数，则cos825?2的系数为（ ）

?2 B、

?x?4?x52、设 f?x????0?x?2 C、? D、

825?2

2?x?4则将其展开为半幅余弦级数的常数项a0为（ ）

A、0 B、2 C、4 D、8 53、下列方程为一阶齐次微分方程的是（ ）

x?y?dx??x?1?dy?0 B、y\?2y'?y?0 A、

C、

dydx??dydx?x?1y1x?y D、?x?3y22?dx?2xydy?0

54、将方程?1化为可分离变量的方程应选取的代换为（ ）

A、x?u?1,y?v?1 B、u?x,y C、u?x?y D、u?x?y 55、微分方程y?xy?1?dx?x?1?xy?x2y2?dy?0化为可分离变量的方程应迭取的代换是（ ）

A、x?u?k B、y?v?h C、u?xy D、u?x?y 56、已知方程x2y\?xy'?y?0的一个特解为x，则方程的通解是y=( )

A、C1x?C2x2?C3 B、C1x?C257、初值问题

dydx221x C、 C1x?C2ex D、C1x?C2e?x

?1x?y?1,yx?0?1的解为（ ）

2A、?x?y??2x?1 B、?x?y??2x?1 C、?x?y??2x?1 D、?x?y???2x?1

258、微分方程y'?3xy?x3是（ ）

A、齐次方程 B、可分离变量方程 C、全微分方程 D、线性非齐次方程 59、微分方程?x?y?dy??x?y?dx是（ ）

A、一阶线性方程 B、可分离变量方程 C、齐次方程 D、全微分方程

260、方程y'?3y3的一个特解是（ ）

A、y??x?2? B、y?x3?1

3C、y??x?c? D、y?3?x?c?y?c?x?1?

3361、方程y'?xy'??a?y2?y'?是（ ）

A、可分离变量方程 B、齐次方程 C、线性非齐次方程 D、线性齐次方程 62、已知函数y?x?满足方程xy'?ylnyx，且当x?1时，则当y?e2时。则当x??1,y?()

A、-1 B、0 C、1 D、e-1

63、曲线y?y?x?经过点?0,?1?，且满足微分方程y'?2y?4x,则当x?1时y?()

A、0 B、1 C、2 D、4 64、方程xdx?ydy??x?y22?dx的积分因子可取（ ）

12A、

1x?y22 B、

y?x2 C、

1x?y22 D、

1xy

65、方程xy\?y'?0属于可降低的类型是（） A、y?n??f?x?型 B、y'?f?x,y'?型 C、y'?f?x,y? D、不可确定

66、方程xy\?y'?0的通解为y?67、方程y\?y'?1,y??

??

A、C1nx1?C2x B、Cn?1?xC C、n?1?C D、C2n?1?C2

x?0?0,y?x?0?0的解y? A、Clnchx B、C1lnchx?C2 C、?lnchx 68、方程y\?Siny属于可阶的类型为（ ）

A、y?n??f?x?型 B、y\?f?x,y'? 型 C、y'?f?y,y'?型 D、无法确定

69、方程y\??y'??x属于可降价的类型是（ ）

2A、y?n??f?x?型 B、y\?f?x1y'?型 C、y\?f?y1y'?型 D、无法确定 70、下列方程是全微分方程的是（ ）

A、y2?y?Sinx?ex B、y?3??y'?exy?Sinx

C、y?3??exy'?exy2?Sinx D、y?3??exy'?exy?Sinx 71、微分方程y?y'??x?ym??yy'?0是（ ）

A、三阶线性方程 B、二阶非线性方程 C、三阶线性方程 D、二阶线性方程 72、微分方程为y\?3y'?2y?x2的特解的形式为（ ）

22 A、Ax2 B、Ax2?Bx?C C、x?Ax2?Bx?c? D、x2?Ax2?Bc?c? 73、下列函数组中线性无关的是（ ）

A、cos2x,Sin2x B、ex,?exc???0? C、xcos2x,7xcos2x D、e?x,5e?x 74、下列函数组中线性相关的是（ ）

A、e?,xe?x2

x?2B、nx,xnx C、e2x,e3x D、x,2nex

1x275、已知函数y1?exA、y1与y2线性相关 B、y2与y3线性相关

y2?ex2?12,y3?e1???x??x??2则，（ ）

C、y1与y3线性相关 D、两两线性相关 76、微分方程y\'?y\的通解为y=（ ）

x22A、e?C1x?C2x?C3 B、C1x?C2x?C3 3C、C1ex?C2x?C3 D、C1x?C2x?C3

二、填空题。 1、求极限 2、求极限3、求极限

limx?0y?0y?xyx?y1x?y1x?y222222? ( ) ?( ) ?( )

limx?0y?0limx??y??4、求极限lim5、求极限6、求极限

2?xy?4xyxyx?0y?0?( )

?( )

limx?0y?0xy?1?1Sinxyxlimx?0y?0?( )

7、设f?x,y??x??y?1?arcsinxy,则fx?x,1??( )

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