毕业论文--n阶行列式的计算方法探索

南京林业大学 本科毕业设计（论文）

题

目： N阶行列式计算方法探索

学 院： 理 学 院 专 业： 信息与计算科学 学 号： 091101223 学生姓名： 姚 梅 指导教师： 朱 敏 职 称： 讲 师

二O一 三 年 五 月二十二日

摘 要

行列式的计算是行列式理论中的重要组成部分和难题,而计算行列式的固定方法是不存在的,应该根据行列式的特点应用各种不同的计算方法。本篇论文应用行列式的性质，探讨了多种计算行列式的方法。首先列举了一些常用方法：利用行列式定义直接计算法，根据行列式性质化为三角形列式法，按一行（列）展开以及利用已知公式法，然后介绍了一些比较特殊的方法如：数学归纳法与递推法，加边法，拉普拉斯定理的应用等等。但这几种方法之间都不是相互独立的，而是有一定关联的。一个行列式可能有多种解答方法，或者是在同一个行列式的计算中将同时会用到几种方法以简便计算。这就要求我们在掌握了行列式的若干种解法之后，能够灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化。除此以外，在初等代数和立体几何中，行列式的某些定理和性质也为我们解题拓宽了一种思路。

关键词： N阶行列式 行列式的性质 初等代数 三阶行列式

Abstract

The calculation of the determinant is the important component and the difficult problem in the theory of the determinant. There is no fixed method of calculating the determinant . So we should use different methods to calculate the determinant according to the characteristics of the determinant. In this paper, considering the characteristics of determinant, we provide several common methods to calculate the determinant. Firstly, we list some common methods. For example ： the direct method of calculation by using the determinant definition , the method of changing the determinant into a triangular determinant according to the properties of the determinant, the method of expanding the determinant by line (column) and the using the known formula method. Secondly, we introduce some special methods : the mathematical conduction method and recursive method , adding the edge method and the method of the application of Laplace theorem. Between these methods are not independent of each other,but have certain correlation.There are some different methods to calculate a determinant or using several methods to simplify and calculate the same determinant at the same time.This requests us in mastering the determinant of several kinds of method,flexible to use and find one of the most simple method to make complex problem simple,In addition,by applying the theorems and the properties of the determinant ,we can solve some problems about elementary algebra andsolid geometry.

Key words：n-order determinant ,the property of the determinant, elementary algebra,three-order determinant

目 录

第一章 前 言 .............................................. 错误！未定义书签。 第二章 计算行列式的基础方法 ............................... 错误！未定义书签。

2.1利用行列式的定义计算 ............................... 错误！未定义书签。 2.2利用行列式的性质计算行列式 ......................... 错误！未定义书签。 2.3 化为三角形法 ....................................... 错误！未定义书签。 2.4 行列式按一行（列）展开 ............................. 错误！未定义书签。 2.5 加边法 ............................................. 错误！未定义书签。 2.6 递推法 ............................................. 错误！未定义书签。 2.7 数学归纳法 ......................................... 错误！未定义书签。 2.8 线性因子计算法 ..................................... 错误！未定义书签。 2.9 拆项法 ............................................. 错误！未定义书签。 2.10 构造法 ........................................... 错误！未定义书签。 第三章 行列式计算方法的拓展 ............................... 错误！未定义书签。

3.1 应用公式和定理计算 ................................ 错误！未定义书签。

3.1.1 范德蒙行列式 ................................. 错误！未定义书签。 3.1.2 拉普拉斯定理 ................................ 错误！未定义书签。 3.2 辅助行列式法 ...................................... 错误！未定义书签。 3.3 四分块矩阵计算 .................................... 错误！未定义书签。 第四章 行列式的应用 ....................................... 错误！未定义书签。

4.1 行列式在初等代数中的应用 ........................... 错误！未定义书签。

4.1.1用行列式分解因式 ............................. 错误！未定义书签。 4.1.2 用行列式证明不等式和恒等式 ................... 错误！未定义书签。 4.2 三阶行列式在立体几何中的应用 ....................... 错误！未定义书签。 致谢 ....................................................... 错误！未定义书签。 参考文献 ................................................... 错误！未定义书签。

１

第一章 前 言

行列式作为研究线性代数的一个必不可少的工具，在线性方程组、矩阵、二次型，以及数学的其他分支里都要用到这方面知识。在行列式中n阶行列式的计算是一个重点，相对于来说也是一个比较难的方面。很多人不能非常熟练的掌握其计算方法。因此行列式的计算问题显得非常的重要。

a11x1?a12x2?b1引例：对于二元线性方程组ax?ax?b

2112222?,

b1a12a11b1若

a11a12a21a22?0，则x1?b2a22ab，,x2?222

a11a12a11a12a21a22a21a22

对于低元的方程组，对应的低阶行列式比较好计算。但是我们为了解n元方程组，

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1

?ax?ax???ax?b?2112222nn2??????an1x1?an2x2???annxn?bn

a11那就不得不用面临计算 a21a12......a1n......? ?

a22...a2nan2...ann...an1

对于这种n阶行列式的计算方法，除了定义法，我们还能通过其他方法计算吗？

１

第二章 计算行列式的基础方法

2.1利用行列式的定义计算

a11a12a22......a1n...a2n......行列式的定义 ：n阶行列式

a21...an1等于所有取自不同行不同列的n个元素

an2...ann的乘积a1j1a2j2...anjn（1）的代数和，这里j1j2...jn是1,2，...，n的一个排列，每一项（1）都按下列规则带有符号：当

j1j2...jn是奇排列时，（1）带有负号，当j1j2...jn是偶排列时，

...a1n...a2n......（1）带有正号。这一定义可写成

a11a21...an1a12a22...?j1j2...jn（-1）??（j1j2...jn）a1j1a2j2...anjn

an2...ann这里

j1j2j3? 表示对所有n阶排列求和。

1001 例1 计算行列式

022003304004

解：这是一个4阶行列式，展开式共有4！=24项，可以看出，对角线上元素乘积的项a11a22a33a44与次对角线上元素乘积的项a41a23a32a41值不为零，其余项都为零，而且??1234??0，，??4321??6，所以

1001022003304004=1*2*3*4+1*2*3*4=48;

通常来说，利用行列式的定义来解n阶行列值更多的应用于某些特殊的、有规律的行列式，因为它能得到意想不到的效果。而这类行列式一般有一些明显的特征，例如: (1)只有对角线的元素不是零，或者行列式是上、下（反上、下）三角形行列式；

２

(2)a1j1a2j2...anjn中一定有一个元素等于零,或者是有很多项为零; (3)aij等。

?cijbi?j等

2.2利用行列式的性质计算行列式

行列式的完全展开式在行列式的理论中所占的地位是非常重要的，利用它可以导出行列式的某些重要性质，而这些性质在简化行列式的计算中可以起到非常关键的作用。总结行列式的性质，可以分为以下：

性质1 行列变换，行列式不变；

性质2 某行（列）的公因子可以提到行列式符号外；

性质3 如果某一行（列）是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来行列式的对应的行（列）一样；

性质4 如果行列式中有两行（列）对应元素都相等，那么行列式为零； 性质5 如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零； 性质6 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变； 性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。 作为行列式的应用，我们来看下面这个例子。

例2 计算n阶行列式：

a1?b1Dn?

a1?b2......a1?bn......a2?b1...an?b1a2?b2...a2?bnan?b2...an?bn

解：当n=1时，D1=a1+b1,；

当n=2时，D2=

a1?b1a1?b2a2?b1a2?b2a1?b1a2?a1...an?a1 ??a1?a2??b2?b1? a2?b2...an?bna2?a1...a2?a1.........an?a1...an?a1３

当n?3时，Dn?ri-r1?0

故

a1?b1,n?1?? Dn??(a1?a2)(b1?b2),n?2

?0,n?3?

2.3 化为三角形法

化三角形法指的是通过行列式的行变换和列变换，使得行列式变成下面的形式：位于主对角线 一侧的所有元素全等于0，这样得到的行列式的值等于主对角线元素的乘积，对于次对角线的情形，行列式的值等于（-1）1/2n(n-1)与次对角线上所有元素的乘积。化三角法一般只适用于一些有规律的、 可以通过简单的初等行列变换变成三角形行列式， 或 者变成爪型行列式、主次对角行列式、平行线形行列式、等的行列式。但对于其它的一些行列式就不是很适合应用。

xyxyyxyyx?y...0yyyyyyy...y...y...y...y...y...y00yyxyyx1yxyyyyy...y...y...yyx11y0... 例3 计算行列式 Dn=

yy..................

x?（n?1）y解： Dn=

x?（n?1）y...x?（n?1）y10...0...............y...0...=（x+(n-1)y）

..................

=（x+(n- 1)y）

......... =[x+(n- 1)y](x- y)n- 1

0...x?y

2.4 行列式按一行（列）展开

这种按行列式某行或某列展开的计算方法是运用行列式自身所带有的工具--余子式、代数余子式。下面先介绍余子式和代数余子式的定义：

余子式：在n阶行列式中，将元素aij所在的第i行第j列的元素划去后剩下的元素按

４

照位置次序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记为Mij，

代数余子式：当Aij=（-1）i+jMij，称Aij为元素Aij的代数余子式。 在了解了余子式和代数余子式之后，再补充一条关于行列式的值的定理，

定理：行列式的值等于它的某一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 因此，我们可以把一个n阶行列式的计算置换成n个（n-1）阶行列式来计算，这种方法通常应用在一般是行列式某一行或某一列含有较多的零时。

5137-1202335210 50例4 计算0-2020-4-140解:原式=

53?1233150?202-223315-203616

(?1)2?5?20?4?14?-2?5-4-14?-100-72

??-10??-2?-7266

?20?-42-12??-1080

注：由行列式的展开定理，我们可以把有些行列式展开来，展开成若干个低一阶的行列式的代数和，如果有必要的话，我们可以继续展开下去，直到方便计算求和，这种方法叫做降阶法。

x0yx0...0y...000 例5 计算n 阶行列式D=..................

000...xyy00...0x 解: 依第一列展开得

５

xyx00...0y...00...000xy0...0y...00...x00yD=

00..................+(- 1)n+1y

x0...............

=xn+(- 1)n+1yn

2.5 加边法

还有一种常用的行列式计算方法--加边法，也就是升阶法。有时候为了方便计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。当然，加边后的行列式必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式容易计算。这就要求我们在选取所加的行和列要根据需要和原行列式的特点。加边法适用于某一行（列）只有一个不相同的元素的情况，也可用于其行（列）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。加边法的一般做法是：

a11...a1n...an1...10*...*1*010*......0*...??*0a11...a1n

...............ann...............0an1...ann*0an1...anna11...a1n这里升阶是为了降价，在*处加上所需要的数，就可以简化行列式的计算，用此法时要注意行列式阶数的变化。

1?a1111?a21...111...1.........111... 例6 计算n（n≥2）阶行列式Dn=

1...11?a3...，其中a1a2...an?0

...1?an 解：先将D n添上一行一列，变成下面的n+1阶行列式：

111...111...1.........111..,显然Dn+1=Dn ...01?a1 Dn+1=0...01?a2......1?an1将上式第1行乘以-1加到第i行；第i行乘以-加到第1行（i=2，?，n）；

ai

６

按第一行展开得Dn+1=（1+?i?1

n1)a1a2...an ai注：找出每行或每列相同的因子是加边法最大的特点，这样升阶之后，我们就可以利用行列式的性质把绝大部分的元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简化计算的目的。当然，有时加边后的行列式的值不一定就等于原行列式的值，不过会与原行列式的值存在一个关系。例如有原行列式Dn，Dn行列式如果直接求值的话，不容易求，加边后的行列式为Dn+1，很容易求得Dn+1的值，两者有比较明确的关系，ADn+BDn+1=C，则可利用这个关系求出行列式Dn的值，这种解法也是同样适用于加边法的。

2.6 递推法

递推法也是一种常用的行列式计算方法。递推方法计算行列式是将已知的行列式按行（列）展开成较低阶的同类型的行列式（同类型行列式是指阶数不同，但结构相同的行列式），再找出Dn与Dn-1或Dn与Dn-1、Dn-2（其中Dn、Dn-1、Dn-2结构一定要相同）之间的递推关系，然后利用这个递推公式求出行列式的值。

例7 计算行列式

a?b10aba?b10...000aba?b1...0000aba?b...00...............0000...1...a?b0000...aba?b Dn=0...00

解:将Dn按第一行展开,得

７

100aba?b10...000aba?b1...0000ab...00...............0000...10000...aba?b(n?1)阶Dn = ( a + b)Dn- 1 - ab0...00a?b...

...a?b= ( a + b)Dn- 1 - abDn- 2.

把上式改写成 Dn - aD n- 1 = b(Dn - 1 - aDn- 2 ) 利用上述递推关系,递推得到 Dn - aDn- 1 = b (Dn- 1 - aDn- 2 ) = b2(Dn- 2 - aDn-3 ) = bn- 2(D2 - aD 1 ). 而D1 = a + b, D2 =

a?b1aba?b=a2+ab+b2,

将它们代入上式, 得Dn - aDn- 1 = bn, 即Dn = aDn-1 + bn 再由此递推关系得 Dn = aDn- 1+ bn = a(aDn- 2 + b）+ b =a2Dn- 2 +abn-1+bn =??

=an+an-1b+...+abn-1+bn

n-1

n

=

2.7 数学归纳法

数学归纳法来计算行列式，一般来说是利用不完全归纳法先寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出对猜想的证明。因为对于给定的一个行列式，要猜想其值是比较困难的事情，所以有时是先给定其值，然后再去证明一个与自然数n有关的命题。数学归纳法分为第一、第二数学归纳法。

８

第一数学归纳法：（1）证明当n=1时表达式成立；

（2）证明如果当n=k时成立，那么当n=k+1时也同样成立。

第二数学归纳法：（1）证明当n=1时命题成立； （2）设n?k时命题成立；

（3）由归纳假设推出n=k+1时命题也成立。

一般情况下，用第一归纳法来计算行列式就可以了，但有时候用第一归纳法来证明时，仅仅只能归纳假设“n=k时命题成立”，还不能证明出命题对n=k+1也能够成立，所以就要求用更强的归纳假设“n?k时命题成立”，也就是用到了第二数学归纳法。用数学归纳法计算行列式时，要看行列式的具体条件，再决定是适用第一数学归纳法还是第二数学归纳法。

cos?112cos?...000...1.........0...00...100...12cos? 例8 证明 Dn=...00=cosn?,

0...2cos? 证明：用第一数学归纳法证明。 当n=1时,D1 n=2时,D2?cos? ，等式成立；

?2cos2??1?cos2? D1=cos?, 等式成立；

cos?112cos?...000...1.........0...00...100... 01 设当n=k 时, 等式成立,

则当n=k+l时,Dk?1按最后一行展开2cos?Dk?...000...2cos? ?2cos?Dk?Dk?1?2cos?cosk??cos(k?1)? =cos(k+1)?=右边，故等式成立，得证。

９

21 例9 计算行列式

Dn?121121??112???

解：D1=2，D2=4-1=3,D3=8-2-2=4 ?猜想Dn=n+1

（1）当n=1时验证成立； （2）假设n?k时成立，即有Dk=k+1

210...0121...0012...000012k?1?2Dn?1???1?Dn?2 当n=k+1时，有

?2?k?1??1??k??k?2??k?1??1

Dk?1?2Dk?Dk?1

?当n=k+1时，猜想成立。

2.8 线性因子计算法

首先需要了解到以下两个命题：

(1) 设行列式D 中的各元素都是a,b 的有理整函数, 若以b 代替a时，行列式的值为零, 则a- b 是原行列式的一个因子。

(2) 设行列式D 的元素都是x 的有理整函数, 如果x=a 时, D 有p行( 列) 各元素变成相同, 那么行列式D 有因式(x- a)p- 1

xaxaa...aa...aa...xaa例10 计算n 阶行列式f(x)=

...............

解: 由于以x=a 代入后, 行列式有n 行元素都相同。

１０

依命题, f(x)有因式(x- a)n- 1,

x?(n?1)aaxaa...aa...aa...xx?(n?1)a...x?(n?1)a将f(x)变形为f(x)=

............

显然f(x)有因式[x+(n- 1)a],

因而f(x)=k[(x- a)n- 1][ x+(n- 1)a],这里k为待定系数。 由于f(x)的n 次项xn 的系数为1, 故k=1。 从而f(x)=[(x- a)n- 1][ x+(n- 1)a]。

2.9 拆项法

由行列式的拆项性质得，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得到原行列式的值，此法叫做拆行（列）法。由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一个性质，有时候较容易求出行列式的值。

1?x1y12?x1y2......n?x1yn......1?x2y1...1?xny12?x2y2...n?x2yn2?xny2...n?xnyn 例11 计算n（n≥2）阶行列式Dn?

解：将D n按第一列拆成两个行列式的和，即

12?x1y2......n?x1yn......?x1y1x2y1...xny12?x1y2......n?x1yn......1...12?x2y2...n?x2yn2?xny2...n?xnyn2?x2y2...n?x2yn2?xny2...n?xnyn Dn?

上式等号右端的第一个行列式：第i列减去第一列的i倍，第i列再提取公因式yi； 第二个行列式：提出第一列的公因子yi，再分别减去第一列的i倍（i=2,3，。。。，n），

1x1...x1?y1x1x2xn2...n2...n2...n１１

则得到Dn?y2...yn11x2...x2xn...xn........................

当n?3时，Dn

?0;当n?2时，D2??x2?x1??y2?2y1?。

2.10 构造法

根据题设条件构造出一个新行列式再进行计算。 例12 设

f?x???a1?x??a2?x??a3?x?,a?b

a1aa2baa?a3a?f?b??bf?a?

a?b 证明：D?bb 证：构造出多项式：

a1?x D?x??b?xa?xa2?xb?xa?a1a?xa3?xa1?xa?a1a2?b0a?a1a?ba3?ba?a1a?b a3?ba?x?b?xb?xb?xa1?bba1aa2ba?a1a2?b0aa31a?a110a?a3a?ba3?ba?b?x1a2?ba3?b1a?a110 ?bba?x1a2?b

?D?x??D?xD1a1???a?00?x??a,D??a??b?aa2???a?0??a1?a??a2?a??a3?a??D?aD1?f?a???b?ab?aa3?a?a1?ba?ba?b?x??b,D??b??0a2?ba?b??a1?b??a2?b??a3?b??D?bD1?f?b? ? 00a3?b?af?b??bf?a??D?a?b

１２

第三章 行列式计算方法的拓展

3.1 应用公式和定理计算

3.1.1 范德蒙行列式

N阶范德蒙行列式的形式和结果为：

1x12x11x22x21x32x3............1xn2?xn...n-1x1...n-1x2......1?j?i?n??x?x?，

ijn-1n-1x3...xn11cos?2cos2?2cos3?21cos?3cos2?3cos3?31cos?4cos2?4cos3?4 例13 计算行列式D?cos?1cos2?1cos3?1

解：

1D?cos?12cos2?1?14cos3?1?3cos?11cos?22cos2?2?14cos3?2?3cos?21cos?32cos2?3?14cos3?3?3cos?31cos?42cos2?4?14cos3?4?3cos?41r3?r1,r4?3r28cos?1cos2?1cos3?11cos?2cos2?2cos3?21cos?3cos2?3cos3?31cos?4cos2?4 cos3?4?8

1?j?i?4??cos??cos??

ij范德蒙行列式应用起来虽然简单，但必须要注意，行列式结构符合范德蒙行列式结构，所以我们计算行列式时需要注意，有些行列式只是结构上与范德蒙行列式结构形似，其实

１３

并不符合范德蒙行列式。这往往会导致我们错误的计算行列式。而有的时候有些行列式，从形式上看不是范德蒙行列式，但经过一定的变形之后却是符合范德蒙行列式的形式。所以在计算时务必先小心判断，再解题。

3.1.2 拉普拉斯定理

拉普拉斯定理：任意取定n级行列式D的某k行（列）（1?k?n）,由这k行（列）元素所组成的一切k级子式（共有Cn个）与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。

从拉普拉斯定理可以看出，对行列式进行计算，有时可以把行列式进行分块处理，然后把分好的行列式块进行一个乘法计算，这样也是可以求解出行列式的值，这种方法即是分块法。

例14 计算N阶行列式：

kx0D?...0an?1xDn???1?n?1?1x...0an?100...x0?1...0............00...x00...?1a1?x

x00...000.........0...00...x00...0?1an?2...a200...???1?0?1n?2解：利用拉普拉斯定理展开，按第n行展开有

0...000.........0...?10...?10...an...00an?1...000...?10...?1x0?...???1?n??n?2??1x...000...00...0.........x...000... 0?1?1...0a2...00 １４

x0???1?n??n?1??1x...00n?20...00...0.........xn?200... ?1x?1...0?a1?x?...00...0??-1?n?1an??1?n?1???1?an?1??1?x?...???1?n??n?2?a2??1?xn?2???1?n??n?1??a1?x?xn?1?an?an?1x?an?2x2?...?a2xn?2?a1xn?1?xn

3.2 辅助行列式法

辅助行列式法是指在行列式D的各元素中加上一个数x，使得新行列式Dn除对角线外，其余的元素均为零，然后计算Dn的主对角线各元素的代数余子式Aii（i=1,2，。。。，n），由此可得D?Dn?x?A。

iii?1nx?aa 例15 计算Dnax?aa...aaa...a.........aaa...

?a...ax?a......x?a 解：在Dn的各元素上加上（-a）后，得

x?2a?Dn?n?A11??x?2a?n?1nx?2a...x?2a??x?2a?n

,A22??x?2a?nn?1,...,Ann??x?2a?n?1n?1

Dn??Dn?n???a??Aii??x?2a??na?x?2a?i?1

??x?2a?n?1?x??n?2?a?１５

辅助行列式也称为元素变形法，我们还可以近一步推广，可以把一些行列式进行元素

变形，使得原本不容易计算的行列式变的计算十分容易，再通过计算出来的行列式的值与行列式之间的关系来求出原行列式的值。

3.3 四分块矩阵计算

有如下两个命题：

命题1设A、B、C、D都是n阶矩阵，其中则

A?0，并且AC=CA，

ACBD?AD?CB;

?AB?命题2设P??是一个n阶矩阵，其中A、B、C、D分别是??CD?r?r,r??n?r?,?n?r??r,?n?r???n?r?阶的矩阵。

（i）若A可逆，则(ii)若D可逆，则

P?AD?CA?1B; P?DA?BD?1C;

a??abba?b?ab我们可以直接利用命题2的结论来计算某些行列式，其方法较为简便，容易掌握。

例16 计算2n阶行列式

D2n?

b??a??????ab解：令，?B?C???, A?D????????????ab????则D2n?ACBD?AD?CA?1B

?anb??1/ab??a?????a???????b1/ab?????????????????????????????ab1/ab????????１６

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