狭义相对论（二）

狭义相对论（二）

二、相对论时空观 （相对论运动学）

这部分主要内容是：相对论长度收缩、相对论时钟延缓、同时相对性。这一切讨论的中心是Lorentz变换。这表明，物质运动的时空属性被Lorentz变换以确切的数学形式定量地描述出来了。从所得结果可认识到，狭义相对论对经典的时空观进行了一次十分深刻的变革。

1、相对论长度收缩

空间长度是Galileo变换不变量，即：在由Galileo变换所联系的惯性系中，对同一物体长度的测量值是一样的。按照狭义相对论原理，在Lorentz变换下，同一物体在不同惯性系中度量的长度又怎样呢？下面就来讨论运动物体的长度发生收缩这个相对论效应。

设有两观察者从各自的惯性系S和S'对一刚性棒的长度（L0）进行测量。棒沿x,x'轴放置，并相对于S'系静止不动，那么S'系的观察者测得棒两端点的坐标为x1'和x2'，两次的测量时间t1'和t2'不要求同时，已知棒长为L0（固有长度），则有：L0?x2'?x1'。对S系的观察者，由于他相对于棒在运动，所以必须在同一时刻t1?t2??测得该棒两端点的坐标x1,x2，他看到棒的长度L?x2?x1，由Lorentz变换式x1'??(x1?u?),x2'??(x2?u?)，所以：

L0?x2'?x1'??(x2?x1)??L

或

L?L0? （1）

（1）式表明：与棒有相对运动的观察者测得棒的长度L要比与棒相对静止的观察者测得棒的长度要短一些，即长度的测量值与

被测物体相对于观察者的运动有关。由于??11?uc22，所以u?,??,L?。

讨论：（1）固有长度最长——在由Lorentz变换联系着的惯性系中，长度的测量值不再是不变的、绝对的了，它变成一个相对的物理量了。注意：不能把L0 理解成在S'参照系中测得的长度值。 若棒相对于S系静止，L0则是S系观察者测得的长度。

（2）相对论长度收缩只发生在运动方向上。在与运动方向垂直的方向上并不发生收缩。按Lorentz变换，y?y',z?z'。例：相对于一观察者原来是静止的正方形，当它以较高速度运动时，它仿佛是一个长方形。见下图：

u?0.6c

u

（3）相对论长度收缩效应是一种普遍的时空属性，就像惯性是物体的属性一样。与物体的具体组成和结构及物质具体的相互作用种类无关。任何人处在任何惯性系中，用该惯性系的空间坐标来量度，结果都一样。

（4）在相对论中，物体长度的比较在一定意义上是相对的。 例：有两根完全相同的标准米尺（即当它们相对静止时所有刻度线完全对齐）令A、B尺平行，A尺相对B尺沿直尺长度方向以匀速0.6c运动，问：（1）从与B尺固连的S系看，哪根尺长？（2）从与A尺固连的S'系看，哪根尺长？

A B v 结论很明显：从S系看，B尺比A尺长；从S'系

看：A尺比B尺长。故长度的比较有一定的相对性。同学们可能会产生疑虑：怎么一会儿说A、B尺一样长，一会儿说B尺比A尺长，一会儿说A尺比B尺长,A、B尺是客观存在的物体，它们到底哪个长？其实，日常生活中也有类似的情形。如一对双胞胎大双和小双，二岁的某天量得两人一样高，三岁的某天量得大双比小双高，五岁的某天量得小双比大双高，那么他俩到底谁高？问题就出在提问题的方式是不确切和不科学的。应该问,大双和小双在某年的某月甚至某天谁高？同样，我们应该问，在A尺与B尺处于某种确定的相对运动关系下，从哪个给定的惯性系中去观察，它们哪个长？这样答案是确定的，而且答案与观察者个人的主观因素无关，无论谁去测量，结果都是一样的。那么物

有绝对的一面呢？有。如果两个物体相对静止、相互平行，在这种情况下，物体长度的比较有绝对的意义。即对这两个物体长、短的结论对所有的惯性系都一样。

例1、一个面积为100m2的正方形相对于S系静止，S'系速度为

0.6c，方向平行于正方形的一条边，S'系测得面积是多少？什么图

形？又S''系速度也是0.6c，方向平行于一条对角线，S''系测得面积是多少?什么图形？

解：S'系中看，沿X轴边长a'?a?,S?a2??80m2。故为矩形。其

中??11?0.62?1.25。

u?0.6c

u x

S''系中看，对角线长l?l0??2a??142242a*a?80m2 a，S’’?2*5252例2、设火箭上有一天线长l0?1m，以450角伸出火箭体外，火箭沿水平方向以u?3c的速度飞行时，问：地面上观察者测得这天线2的长度和天线与箭体的交角各为多少？

450

解：地面上看：lx?lx'??l0cos450?,ly?ly'，有l?l?l2x2y，tg??lylx

2、相对论时钟延缓

考虑如前所说的S、S' 系，每个惯性系都使用相对于自己静止的时钟度量事件发生的时间和过程的进程。设想在S'系的同一地点

x1'处相继发生了两个事件。当然这两个事件可以是一个过程的“开

始”和“结束”。那么，分别处在作相对运动的S和S'系中的两个

?t?t2?t1观察者，所观测到的两事件发生的时间间隔是否一样？即：

是否等于?t'?t2'?t1'？

我们已习惯采用经典力学处理此类问题，对此的回答是肯定

的，因为Galileo变换中有t?t'，自然得出?t??t'。现用狭义相对论的观点看看由Lorentz变换会得出什么结论。

S'系中观测到两事件发生的时空坐标为(x1',t1'),(x1',t2')，两事件发生的时间间隔?t'?t2'?t1'。

S系中的观察者测上述两个事件发生的时刻分别为t1,t2，他们与S'系中测得的时空坐标的关系，按Lorentz变换分别为t1??(t1'?和t2??(t2'?因为?ux1')，那么 c2ux'）21c

?t???t'???t0

（3）

即：相对事件发生的地点作相对运动的惯?1,所以?t??t'，

性系中测得的时间比相对时间发生地点静止的惯性系测得的时间要长。运动的时钟（相对于事件发生地点运动的时钟）延缓了。且相对于事件发生地点运动的观察者，运动的速度u?,??，相对于事件发生地点运动的时钟走得越慢，即?t?。

习惯了Galileo变换的我们似乎认为这是一件不可思议的事，但相对论时钟延缓效应已被近代物理实验证实。（见教材105页例题3.3）。下面对相对论时钟延缓效应作几点讨论：

（1）固有时间最短—Galileo另一个不变量—时间t在由Lorentz变换所联系的惯性系中测量，也不再是绝对的不变量了，而变成相对量了。与事件发生地点有相对运动的时钟延缓了。注意：不能把

?t0理解成在

S'系中测得的时间。它是相对于事件发生地点静止的观

察者测得的时间。

（2）与相对论长度收缩效应相同，相对论时钟延缓效应也是一种普遍的时空属性，与过程的具体性质和作用机制无关。

(3)在相对论中，时钟快慢的比较在一定意义上也是相对的。例：有两只完全相同的标准时钟，以匀速0.6c相互远离，问：（1）从与A钟固连的惯性系观察，哪只钟走的快？（2）从与B钟固连的惯性系观察，哪只钟走的快？

结论是明显的：从与A固连的惯性系观察，A比B钟快；而从与B钟固连的惯性系观察，B钟比A钟快。人们很可能从此诱发一个时钟佯谬问题。历史上也由此产生出一个引起激烈争论的著名的双生子佯谬问题。

一对双生子，在过20岁生日那天，哥哥坐上宇宙飞船（S'系）去作一次星际旅行。设飞船一去一回相对地球都作匀速直线运动，

u?0.9998c。哥哥按飞船上的时钟和日历，在飞船上整整生活了一年

后回到地球（S系）上，取飞船出发为事件1，着陆为事件2，有：

?t'?t2'?t1'?1年，这是相对于事件发生地点（飞船）静止的时钟测得

的时间；而这段时间在地球上观察是：

?t?t2?t1??(t2'?t1')?50年

这是相对于事件发生地点（飞船）有相对运动的时钟测得的时间，这就是说，当21岁的哥哥旅行归来时，迎接他的是住在地球上70岁的弟弟。这在逻辑上没有矛盾，在相对论理论看来，若飞船真的能达到如此巨大的速度，若飞船真可以视为惯性参照系，结局真会是这样。

其实经科学的分析，上述问题只是一个佯谬，是我们不适当地乱用了狭义相对论的结果。错误的根源在于，狭义相对论理论只

适用于惯性系，Lorentz变换是两个惯性系之间时空坐标之间的转换，我们已假定了地球和飞船是两个完全等价的惯性系。这个前提明显是错误的。因为大量事实证明，地球可被选作惯性系，飞船必定不是惯性系。在飞船出发时，它要加速到0.9998c，着陆时又要减速到0；在半途中，还要经历一个加速过程，使速度从飞离地球的

0.9998c变为飞回地球的0.9998c。所以从地球这个惯性系为参考系计

算出的狭义相对论时钟延缓效应是对的，而从飞船这个经历加速的非惯性系为参考系来计算狭义相对论时钟延缓效应是不对的。

例2、在实验室测量以0.9100c飞行的??介子经过的直线路径是

17.135m，??介子的固有寿命实验值是(2.603?0.002)?10?8s，试从时间膨

胀效应和长度收缩效应说明实验结果与相对论理论预言符合程度。 解：实验室（S系）中，

?t???介子的平均寿命为：

117.135?8?6.281?10s???2.412 ，820.9100?2.9979?101?0.91那么??介子固有寿命的相对论理论预言值为：

?t0??t??2.604*10?8s

这个理论值与实验值只差0.001*10?8s，相对偏离在0.4%以内。

3、“同时性”的相对性

经典力学认为所有的惯性系具有同一的、绝对的时间。于是，同时也是绝对的。即如果两个事件在某个惯性系中观察是同时的，那么在所有其它惯性系中观察也都是同时的。而狭义相对论却指出：在一个惯性系中观察是同时发生的两个事件，在另一个惯性系

中观察就有可能是不同时的。这就是“同时性”的相对意义，它可由Lorentz变换直接得出。

设自惯性系S观察A、B两事件分别在xA?xB两处同时（tA?tB）发生，若S' 系相对于S系沿X轴方向以u运动，根据Lorentz变换，可得自S'系观察到A、B两事件发生的时间间隔为：

?t'?tB'?tA'???uc2(xA?xB) （3）

由Lorentz变换t'不仅与t有关，也与空间坐标有关，由于在S系中，两事件A、B不是同地发生，即xA?xB,所以tB'?tA'，因此在S'系观察A、B两事件不是同时发生的。

对同时相对性作几点讨论：

（1）凡自一个惯性系观察到是同时但不同地发生的事件，自另一惯性系观察就不会是同时发生的。

（2）若在一个惯性系中即不同时、也不同地发生的两事件

?t?0,?x?0，在另一惯性系观察，有可能看到是同时发生的。

xu?x)?t?因为：?t'??(?t?u?，若，就有：?t'?0即：tA'?tB'。 22cc（3）在一个惯性系中同时、同地发生的两事件(?x?0,?t?0)，在另一个惯性系中，也是同时、同地发生的。

因为

，?t'??(?t??x'??(?x?u?t)u?x)2c，由于

?x?0,?t?0,所以

?x'?0,?t'?0。

在相对论中，尽管同时性只有相对的意义，但由于光速是物体运动速度不可逾越的极限，因而可证明，事件的因果顺序决不会因参照系的不同而颠倒。

设在S系中，t时刻在x处的质点，经?t时间运动到x??x处，

vu?x)?t'???t(1?),v?由Lorentz变换t'??(t?ux，得。v是质点的运动速22cc?t度，因为u不大于c，所以?t'必定与?t同号。也就是有因果联系的事件，其先后顺序仍然是不可逆的。

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