中考数学图形的相似专题复习

（备战中考）江苏省2012年中考数学深度复习讲义（教案+

中考真题+模拟试题+单元测试）图形的相似

?考点聚焦

1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．

2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，?并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．

3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小． 4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，?会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置． ?备考兵法

1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，?要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等． 2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，?关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意． 3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，?用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练． ?识记巩固

1．相似形：形状相同，大小不一定相等的图形称为______． 2．相似多边形的特征：对应边______，对应角______．

3．成比例线段：如果四条线段a，b，c，d中，?某两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．如a：b=c：d或a：d=b：c，则a，b，c，d叫___________；若a，b，b，c成比例，即a：b=b：?c，?则称b?是a?和c?的_______．

4．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．?对应边之比叫做________．当相似比为1时，两个三角形就称为_______．

5．相似三角形的识别：

（1）两组对应角分别__________的两个三角形相似； （2）两组对应边成比例，且_______相等的两个三角形相似； （3）三组对应边________的两个三角形相似；

（4）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所得的三角形与原三角形________． 6．相似三角形的性质：

（1）相似三角形对应边成_________，对应角_______．

（2）相似三角形对应线段（对应角，对应中线，对应角平分线，?外接圆半径和内切圆半径）之比和周长之比都等于_______； （3）相似三角形的面积比等于_______．

7．黄金分割：若线段AB上一点P分线段成AP与PB两条线段，且

APPB?（可求出比值为0.618??），这种分割叫黄金分割．P点叫ABAP线段AB的黄金分割点，一条线段有_____个黄金分割点．

8．位似：对应顶点的连线_________的相似叫位似．?作位似图形的方法是先确定位似中心和每个顶点之间的直线，在直线的另一侧取原多边形的对应顶点，连结各点即得放大或缩小的位似图形（注意“放大”和“放大到”的区别）．

9．相似三角形中常见的基本图形：

条件：DE∥BC∠1=∠B∠1=∠B

条件：AB∥DE∠A=∠DCD是斜边AB上的高 识记巩固参考答案:

1．相似形2．成比例相等3．比例线段比例中项4．相似比全等三角形5．（1）相等（2）夹角（3）成比例（4）相似6．（1）比例相等（2）相似比?（3）相似比的平方7．两8．相交于一点 ?典例解析

例1（2011上海，25，14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于

E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=12．

13（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设

AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

图1图2备用图

【答案】（1）∵∠ACB=90°，∴AC=AB2?BC2=502?302=40．

1?AC?BC, 2AC?BC40?30∴CP===24．

50AB12在Rt△CPM中，∵sin∠EMP=，

13CP12∴?． CM131313∴CM=CP=?24=26．

1212PEx3PEAP（2）由△APE∽△ACB，得，即，∴PE=x． ??30404BCAC12PE12在Rt△MPE中，∵sin∠EMP=，∴?．

13ME131313313∴EM=PE=?x=x．

1212416∵S=?AB?CP=

125?13??3?∴PM=PN=ME?PE=?x???x?=x．

?16??4?162222∵AP+PN+NB=50，∴x+∴y=?5x+y=50． 1621x?50(0

①当点E在线段AC上时，

13AMME．∵EM=EN，∴EM2?AM?NB．设AP=x，由（2）知EM=x，?16ENNB51121AM=x?PM=x?x?x，NB=?x?50．

161616△AME∽△ENB，

21?13?11∴?x??x?(?x?50)

16?16?16解得x1=22，x2=0（舍去）．

即AP=22．

②当点E在线段BC上时，

2

ACEP12550??．∴CE=AC=．设AP=x，易得CEMP512355550BE=(50?x)，∴CE=30?(50?x)．∴30?(50?x)=．解得x=42．即AP=42．

3333∴AP的长为22或42．

根据外角定理，△ACE∽△EPM，∴

例2如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1，

S2，S3，S4．下面结论：①只有一对相似三角形；②EF：ED=1：2；③S1：S2：S3：S4=1：2：4：5．其中正确的结论是（） A．①③B．③C．①D．①②

解析∵AB∥DC，∴△AEF?∽△CDF，?但本题还有一对相似三角形是△ABC?≌△CDA（全等是相似的特例）． ∴①是错的．

【答案】B

3.（2011广东东莞，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的1，

2得到的图形是（）

【答案】Ａ

4.（2011浙江省，6，3分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△

BCE

：S△BDE等于（）

A.2：5B.14:25C.16:25D.4:21

【答案】B

5.（2011浙江台州，5,4分）若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为（）

A.1:2B.1:4C.1:5D.1:16

【答案】A

6.（2011浙江省嘉兴，7，4分）如图，边长为4的等边△ABC中，

DE为中位线，则四边形BCED的面积为（ ）

（A）23 （B）33 （C）43 （D）63

ADBEC（第7题）

【答案】B

7.（2011浙江丽水，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（） A.600m B.500m C.400m D.300m

环城路300m南京路400m八一街书店曙400m 光 路西安路北

【答案】B

8.（2011台湾台北，26）图(十)为一?ABC，其中D、E两点分别在AB、AC上，且AD＝31，DB＝29，AE＝30，EC＝32。若?A＝50?，则图中?1、?2、?3、

?4的大小关系，下列何者正确？

A．?1＞?3B．?2＝?4C．?1＞?4D．?2＝?3

【答案】D

9.（2011甘肃兰州，13，4分）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形。

其中真命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A

10．（2011山东聊城，11，3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（）

14

A．（3，2） B．（－2，－3）

C．（2，3）或（－2，－3） D．（3，2）或（－3，－2） 【答案】D

11.（2011广东汕头，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的1，

2得到的图形是（）

【答案】Ａ

12.（2011四川广安，7，3分）下列命题中，正确的是（） A．过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条 B．对角线相等的四边形是矩形

C．两条边及一个角对应相等的两个三角形全等

D．位似图形一定是相似图形 【答案】D

13.（2011重庆江津，8，4分）已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是()

A A.都相似B.都不相似C.只有(1)相似D.只有(2)相似

4 3 D 【答案】A2 O 75706 8 35重庆綦江，47514.(2011，4分)若相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，

B C

(1(2

则△ABC与△DEF的面积比为（）第8题 A．1：3B．1：9C．3：1D．1：3 【答案】：B

15.（2011山东泰安，15，3分）如图，点F是□ABCD的边CD上一

点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是 ．．

A.=B.=C.=D.= 【答案】C

16.（2011山东潍坊，3，3分）如图，△ABC中，BC=2，DE是它的中

位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4。其中正确的有（） A.0个B.1个C.2个D.3个

EDDFDEEFBCBFBFBCEAABBCFBDEBEBEAE

【答案】D

17.（2011湖南怀化，6，3分）如图3所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3， 则CE的值为 A.9B.6C.3D.4

【答案】B

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