功和功率基础知识

功和功率

一、功

1．功

【例1】 如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置。在下列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。在此过程中，拉力F做的功各是多少？

⑴用F缓慢地拉；

⑵F为恒力；

⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。

可供选择的答案有 1 cos A.FLcos B.FLsin C.FL 1 cos D.mgL

解析：⑴若用F缓慢地拉，则显然F为变力，只能用动能定理求解。F做的功等于该过程克服重力做的功。选D

⑵若F为恒力，则可以直接按定义求功。选B

⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的。选B、D

1 cos ，可以得到F 1 cos tan ，可见在摆在第三种情况下，由FLsin =mgL

mgsin 2

角为

2时小球的速度最大。实际上，因为F与mg的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”。

【例2】如图所示，线拴小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，圆的半径是1m，球的质量是0.1kg，线速度v=1m/s，小球由A点运动到B点恰好是半个圆周。那么在这段运动中线的拉力做的功是（ ）

A．0 B．0.1J C．0.314J D．无法确定

解析：小球做匀速圆周运动，线的拉力为小球做圆周运动的向心力，由于它总是与运动方向垂直，所以，这个力不做功。故A是正确的。

【例3】下面列举的哪几种情况下所做的功是零（ ）

A．卫星做匀速圆周运动，地球引力对卫星做的功

B．平抛运动中，重力对物体做的功

C．举重运动员，扛着杠铃在头上的上方停留10s，运动员对杠铃做的功

D．木块在粗糙水平面上滑动，支持力对木块做的功

解析：引力作为卫星做圆周运动的向心力，向心力与卫星运动速度方向垂直，所以，这个力不做功。杠铃在此时间内位移为零。支持力与位移方向垂直，所以，支持力不做功。故A、

C、D是正确的。

【例4】用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升。如果前后两过程的运动时间相同，不计空气阻力，则（ ）

A．加速过程中拉力做的功比匀速过程中拉力做的功大

B．匀速过程中拉力做的功比加速过程中拉力做的功大

C．两过程中拉力做的功一样大

D．上述三种情况都有可能

解析：应先分别求出两过程中拉力做的功，再进行比较。重物在竖直方向上仅受两个力作用，重力mg、拉力F。

比较①、②式知：当a>g时，W1 W2；当a=g时，W1 W2；当a<g时，W1 W2 故D选项正确。

2．功的物理含义

【例5】质量为m的物体，受水平力F的作用，在粗糙的水平面上运动，下列说法中正确的是（ ）

A．如果物体做加速直线运动，F一定做正功

B．如果物体做减速直线运动，F一定做负功

C．如果物体做减速直线运动，F可能做正功

D．如果物体做匀速直线运动，F一定做正功

解析：物体在粗糙水平面上运动，它必将受到滑动摩擦力，其方向和物体相对水平面的运动方向相反。当物体做加速运动时，其力F方向必与物体运动方向夹锐角（含方向相同），这样才能使加速度方向与物体运动的方向相同。此时，力F与物体位移的方向夹锐角，所以，力F对物体做正功， A对。当物体做减速运动时，力F的方向可以与物体的运动方向夹锐角也可以夹钝角（含方向相反），只要物体所受合力与物体运动方向相反即可，可见，物体做减速运动时，力F可能对物体做正功，也可能对物体做负功， B错，C对。当物体做匀速运动时，力F的方向必与滑动摩擦力的方向相反，即与物体位移方向相同，所以，力F做正功，D对。故A、C、D是正确的。

【例6】如图所示，均匀长直木板长L=40cm，放在水平桌面上，它的右端与桌边相齐，木板质量m=2kg，与桌面间的摩擦因数μ=0.2，今用水平推力F将其推下桌子，则水平推力至少做功为（ ）（g取10/s2）

A．0.8J B．1.6J C．8J D．4J

解析：将木板推下桌子即木块的重心要通过桌子边缘，水平推力做的功至少等于克服滑动摩擦力做的功，W Fs mg

二、功率

功率是描述做功快慢的物理量。

L0.4 0.2 20 0.8J。故A是正确的。 22

⑴功率的定义式：P W，所求出的功率是时间t内的平均功率。 t

⑵功率的计算式：P=Fvcosθ，其中θ是力与速度间的夹角。该公式有两种用法：①求某一时刻的瞬时功率。这时F是该时刻的作用力大小，v取瞬时值，对应的P为F在该时刻的瞬时功率；②当v为某段位移（时间）内的平均速度时，则要求这段位移（时间）内F必须为恒力，对应的P为F在该段时间内的平均功率。

⑶重力的功率可表示为PG=mgvy，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速度之积。

⑷汽车的两种加速问题。当汽车从静止开始沿水平面加速

运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都

是P=Fv和F-f = ma v a ①恒定功率的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，随着v的增大，F必将减小，a也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v达到最大值

PP可见恒定功率的加速一定不是匀加速。这种加速过程发动机做的功只能用W=Ptvm m m。Ff

计算，不能用W=Fs计算（因为F为变力）。

②恒定牵引力的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，直到P达到额定功率Pm，功率不能再增大了。PP这时匀加速运动结束，其最大速度为vm m m vm，此后汽车要想继续加速就只能做Ff

恒定功率的变加速运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能用W=F s计算，不能用W=P t计算（因为P为变功率）。

要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。

【例8】 质量为2t的农用汽车，发动机额定功率为30kW，汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为54km/h。若汽车以额定功率从静止开始加速，当其速度达到v=36km/h时的瞬时加速度是多大？

解析：汽车在水平路面行驶达到最大速度时牵引力F等于阻力f，即Pm=f vm，而速度为v时的牵引力F=Pm/v，再利用F-f=ma，可以求得这时的a=0.50m/s2

【例9】卡车在平直公路上从静止开始加速行驶，经时间t前进距离s，速度达到最大值vm。设此过程中发动机功率恒为P，卡车所受阻力为f，则这段时间内，发动机所做的功为（ ）

A．Pt B．fs C．Pt=fs D．fvmt

解析：发动机所做的功是指牵引力的功。由于卡车以恒定功率运动，所以发动机所做的功应等于发动机的功率乘以卡车行驶的时间，∴A对。B项给出的是卡车克服阻力做的功，在这段时间内，牵引力的功除了克服阻力做功外还要增加卡车的功能，∴B错。C项给出的是卡车所受外力的总功。D项中，卡车以恒功率前进，将做加速度逐渐减小的加速运动，达到最大速度时牵引力等于阻力，阻力f乘以最大速度vm是发动机的功率，再乘以t恰是发动机在t时间内做的功。故A D是正确的。

【例10】质量为m、额定功率为P的汽车在平直公路上行驶。若汽车行驶时所受阻力大小不变，并以额定功率行驶，汽车最大速度为v1，当汽车以速率v2（v2<v1）行驶时，它的加速度是多少？ 解析：速度最大时，牵引力最小，在量值上等于阻力。所以f

由牛顿第二定律有： F-f=ma 其中f P，以速率v2运动时，v1PP， F v1v2

得 a P(v1 v2)P11 ( ) mv1v2mv1v2

【例11】质量是2000kg、额定功率为80kW的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20m/s。若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2m/s2，运动中的阻力不变。求：①汽车所受阻力的大小。②3s末汽车的瞬时功率。③汽车做匀加速运动的时间。④汽车在匀加速运动中牵引力所做的功。

解析：①所求的是运动中的阻力，若不注意“运动中的阻力不变”，则阻力不易求出。以最大速度行驶时，根据P=Fv，可求得F=4000N。而此时牵引力和阻力大小相等。

②由于3s时的速度v=at=6m/s，而牵引力由F—Ff=ma得F=8000N，故此时的功率为P= Fv =4.8×104W。

③设匀加速运动的时间为t，则t时刻的速度为v=a t=2t，这时汽车的功率为额定功率。由P=Fv，将F=8000N和v=2 t代入得t=5s。

④虽然功率在不断变化，但功率却与速度成正比，故平均功率为额定功率的一半，从而得牵引力的功为W=Pt=40000×5J=2×105J.

点评：③中的时间，有的学生用v=at，得t=vm/a=10s，这是错误的。要注意，汽车不是一直匀加速到最大速度的。

【例12】 质量为0.5kg的物体从高处自由下落，在下落的前2s内重力对物体做的功是多少？这2s内重力对物体做功的平均功率是多少？2s末，重力对物体做功的即时功率是多少？（g取10m/s）

解析：前2s，h

平均功率P 2121gt 10 22 20m，WG mgh 0.5 10 20 100J， 22W 50W，2s末速度vt gt 10 2m/s 20m/s，2s末即时功率t

P mgvt 100W。

三、针对训练

1．如图所示，力F大小相等，A B C D 物体运动的位移s也相同，哪种情况F做功最小（ ）

2．一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t=0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在t=T时刻F的功率是（ ）

F2T2

A．mF2T B．mF2T C．2mF2T2 D．2m

3．火车从车站开出作匀加速运动，若阻力与速率成正比，则（ ）

A．火车发动机的功率一定越来越大，牵引力也越来越大

B．火车发动机的功率恒定不变，牵引力也越来越小

C．当火车达到某一速率时，若要保持此速率作匀速运动，则发动机的功率这时应减小

D．当火车达到某一速率时，若要保持此速率作匀速运动，则发动机的功率一定跟此时速率的平方成正比

4．同一恒力按同样方式施于物体上，使它分别沿着粗糙水平地面和光滑水平抛面移动相同一段距离时，恒力的功和平均功率分别为W1、P1和W2、P2，则二者的关系是（ ）

A．W1 W2、P1 P2 B．W1 W2、P1 P2

C．W1 W2、P1 P2 D．W1 W2、P1 P2

5．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知（ ）（g取10m/s2）

A．物体加速度大小为2 m/s2 B．F的大小为21N

C．4s末F的功率大小为42W D．4s内F做功的平均功率为42W

6．设飞机飞行中所受阻力与其速度的平方成正比，若飞机以速度v匀速飞行，其发动机功率为P，则飞机以2v匀速飞行时，其发动机的功率为（ ）

A．2P B．4P C．8P D．无法确定

7．物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平向右的恒力F1，经时间t后撤去F1，立即再对它施加一水平向左的恒力F2，又经时间t后物体回到原出发点，在这一过程中，F1、F2分别对物体做的功W1、W2之比为多少？

8．如图所示，在光滑的水平面上，物块在恒力F=100N作用下从A点运动到B点，不计滑轮的大小，不计绳、滑轮间摩擦，H=2.4m，α=37°，β=53°，求拉力F所做的功。

参考答案：

1．D F做功多少与接触面粗糙度无关，W=Fscosα，D中cosα最小，∴F做功最小。

2．B 此题易错选C，原因是将t=T时刻的功率错误地理解为T这段时间内的平均功率，从而用P W求得C答案，因此出现错误。T时刻的功率为瞬时功率，只能用P=F·v求解。 t

FFT，T时刻速度v aT mm因此物体加速度a

F2T所以P Fv ，故选项B正确。 m

3．A、C、D 根据P=Fv，F-f=ma，f=kv，∴P (kv ma)v kv mav。这表明，在题设条件下，火车发动机的功率和牵引力都随速率v的增大而增大，∴A正确。当火车达到某一速率时，欲使火车作匀速运动，则a=0，∴此时P kv，减小mav，∴C、D对。

4．B 恒力的功仅由力、位移及二者夹角决定，由题意，很显然W1 W2，沿粗糙面运动时，加速度小，通过相同位移所用时间t1较长，即t1>t2，∴P1 P2

5．C由速度一时间图像可得加速度a=0.5m/s2

由牛顿第二定律：2F-mg=ma 22

∴F mg ma 10.5N 2

P=Fv=10.5×2×2=42W

p WFs10.5 2 4 21Wtt4

故选项C正确。

6．C飞机匀速飞行时，发动机牵引力等于飞机所受阻力，当飞机飞行速度为原来的2倍时，阻力为原来的4倍，发动机产生的牵引力亦为原来的4倍，由P=Fv，∴此时发动机的功率为原来的8倍。

7．解：设物体质量为m，受恒力F1时，F1＝ma1

则a1＝F1／m

经t时间的位移s 1212a1t F1t/m ① 22

此时速度v a1t F1t/m，之后受恒力F2向左，与v方向相反，则物体做匀减速直线运动：F2＝ma2，加速度a2＝F2／m，经t时间又回到原出发点，此过程位移为s，方向向左，则力F2做正功。

因位移与v的方向相反，则有 s vt 1a2t2 2

即 s 11F22F1ta2t2 vt t t ② 22mm

②与①式联立可得F2 3F1，

则力F2做的功W2 3W1。所以W11 W23

8．解： s HHHH ) 100J ，有W Fs F(sin sin sin sin

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