立体几何中的向量方法（二） - 求空间角和距离 高考考点精讲

1．两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

范围 求法

2.直线与平面所成角的求法

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝3．求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小→→θ＝〈AB，CD〉．

|a·n|. |a||n|l1与l2所成的角θ π(0，] 2|a·b|cos θ＝ |a||b|a与b的夹角β [0，π] cos β＝a·b |a||b|

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 【知识拓展】

利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离

→

设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2＋?z1－z2?2.

(2)点到平面的距离

如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为→n|→|AB·

|BO|＝.

|n|【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( × )

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( × )

ππ

(4)两异面直线夹角的范围是(0，]，直线与平面所成角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，

22π]．( √ )

(5)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.( × )

1．(2017·烟台质检)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( ) A．45° C．45°或135° 答案 C

m·n12

解析 cos〈m，n〉＝＝＝，

|m||n|1×22即〈m，n〉＝45°.

∴两平面所成的二面角为45°或180°－45°＝135°.

1

2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则

2l与α所成的角为( )

A．30° B．60° C．120° D．150° 答案 A

1解析 设l与α所成角为θ，∵cos〈m，n〉＝－，

2

B．135° D．90°

1

∴sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.故选A.

2

3．(2016·郑州模拟)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为( )

A.C.5 55 6

B.D.5 35 4

答案 A

→

解析 设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量AB1＝(－→→→

2,2,1)，BC1＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈AB1，BC1〉＝15

＝，故选A. 55

4．(教材改编)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________．

＝4＋4＋1×0＋4＋1

0＋4－1

π答案 6

→→→

解析 以A为原点，以AB，AE(AE⊥AB)，AA1所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐标系，设D为A1B1中点，

→

则A(0,0,0)，C1(1，3，22)，D(1,0,22)，∴AC1＝(1，3，22)，

→

AD＝(1,0,22)．

∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角， →→AC1·AD

cos∠C1AD＝

→→|AC1||AD|

?1，3，22?×?1，0，22?3＝＝，

212×9ππ

0，?，∴∠C1AD＝. 又∵∠C1AD∈??2?6

5．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为________． 答案 90°

解析 不妨设PM＝a，PN＝b，如图，

作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F， ∵∠EPM＝∠FPN＝45°， ∴PE＝22a，PF＝b， 22

→→→→→→

∴EM·FN＝(PM－PE)·(PN－PF) →→→→→→→→＝PM·PN－PM·PF－PE·PN＋PE·PF ＝abcos 60°－a×2222

bcos 45°－a×bcos 45°＋a×b 2222

abababab

＝－－＋＝0， 2222→→∴EM⊥FN，

∴二面角α－AB－β的大小为90°.

题型一 求异面直线所成的角

例1 (2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

(1)证明 如图所示，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.

在菱形ABCD中，不妨设GB＝1. 由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝3.

由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC. 又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC. 在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝在Rt△FDG中，可得FG＝

6

. 2

232，可得EF＝，从而EG2＋FG2＝EF2，22

2. 2

在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝所以EG⊥FG.

又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.

因为EG?平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.

→→→

(2)解 如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz，由(1)可得A(0，－3，0)，E(1,0，2)，

F?－1，0，?

2?，C(0，3，0)， 2?2→→

所以AE＝(1，3，2)，CF＝?－1，－3，?.

2??→→

AE·CF3→→

故cos〈AE，CF〉＝＝－.

3→→

|AE||CF|所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为

3. 3

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