复积分计算方法的探讨毕业论文

分 类 号： TP391 学号：

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科毕业 论文

复积分计算方法的探讨

Discussion on the calculation method of the complex integral

（

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第一章 复变函数积分简介

1.1 复变函数积分概述

1.1.1 有向曲线:

y A o

Bx设C为一条给定的平面上光滑(或按段光滑)曲线, 然后选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C称为带有方向的曲线, 简称为有向曲线.如上图中所示.

-如果曲线C的正向为A到B，记为C0.那么曲线C的负向就是B到A，记为C0.

一般曲线C的正方向总是指从起点到终点的方向.反之，曲线C的负向就是终点到起

-点的方向，记为C0.闭曲线方向的定义:逆时针方向为正方向，记为C0.顺时针方向-为负方向，记为C0.对区域的边界线C而言，C的正向是指当曲线上的点P沿此方向

C所围区域始终在P点的左方.单连通区域的边界线C的正向沿逆时针方向:前进时，

记为C0多连通区域的外边界线C的正向沿逆时针方向:记为C0.内边界线C1的正向沿顺时针方向:记为C1-. 1.1.2 复积分的定义

1

设l为复平面上以z0为起点，而以z，?为终点的光滑曲线（y?y?x?有连续导数）

?把l分为n段，在每一小段zk?1zk上任取一点?k在l上取一系列分点z0,z1,?,zn?1,zn?z作和数Sn??f??k??zk?zk?1???f??k??zk,?zk?zk?zk?1

k?1k?1nn当n??，且每一小段的长度趋于零时，若limSn存在，则称f?z?沿l可积，limSn称

n??n??为f?z?沿l的路径积分.l为积分路径，记为?f?z?dz(若l为围线（闭的曲线），则记

l为?即z在l上变化）.?f?z?dz).?f?z?dz?limSn?lim?f??k??zk（f?z?在l上取值，

lnln??n??k?1如图中所示.

2

第二章 复积分的几种计算方法

常见的复积分几种计算方法有：1.用牛顿-莱布尼茨公式计算复积分；2.利用定义求解复积分；3.化复积分为实变量的实曲线积分来求解；4.用解析函数的高阶导数公式求解复积分的方法；5.利用柯西积分公式求解复积分的方法；6.用柯西定理及其推论计算复积分；7.利用留数定理来求解复积分；

2.1 用牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibnize）计算复变函数积分

定理2.1.1 Newton-Leibnize公式：设f(z)在单连通域D内解析．z1,z2?D，G(z)为f(z)的原函数，则 ?f(z)dz?G(z2)?G(z1)．

z2z1在积分与路径无关的条件下（即被积函数f?z?在单连通区域内处处解析）也可直接按类似于实积分中的Newton-Leibnize公式计算.

例2.1.1 计算积分 I=?（e2?2z)dx，其中Ｃ为（ｘ－１）2＋ｙ2 ＝１的上半

C圆周，逆时针方向.

解 因为e2 和2z在复平面上处处解析，则

e2-3 Ｉ=?（e2?2z)dx=(e2+2z)02=-20 用Newton-Leibnize公式求解复积分时要注意以下几点：(1)原域D是单连通域；(2)积分值仅与起点、终点有关，与具体的路径无关（即积分与积分路径无关时）；(3)原函数是初等函数.

2.2 利用定义求解复积分

c 例2.2.1 计算复积分??x?y?ix2?dz，其中积分路径C是连接由0到1?i的直线段. 解 y?x?0?x?1?为从点0到点1?i的直线方程，则有

?x?y?ix?dz???x?y?ix?d?x?iy? ?21?i2c0 ??x?x?ix2d?x?ix?

01?? ??1?i?i?x2dx

01 ??1?i. 33

例2.2.2 计算积分 1)?dz；2)?zdz，其中积分路径是连接点a及点b的任一曲线．

cc解 首先，对C进行分割，并近似求和，则

（1）当C为闭曲线时，?dz?0．因为f(z)?1，Sn??(zk?zk1)?b?a，所以

Ck?1max|?Sk|?0nm??limSn?b?a，

即

?dz?b?a．

c （2）当C为闭曲线时，?dz?0．f(z)?z，沿C连续，则积分?zdz存在，设

CC?k?zk?1，则

?1??zk?1(zk?zk?1)，

k?1n又可设?k?zk，则

?2??zk(zk?zk?1)，

k?1n因为存在Sn的极限，且Sn极限应与?1及?2极限相等，所以

11n1222Sn?(?1??2)??zk(zk?zk)?(b?a2)， ?122k?12则?zdz?C12(b?a2)． 2 说明 通常当积分曲线C分为n小段时，考虑利用定义法来求解复积分．但是这种方法比较繁琐，所以不常使用．

2.3 把复积分化为实变量的实曲线积分来求解

假设复变函数f(z)定义在区域D上，C是D上可求长曲线（或逐段光滑曲线），并设?f(z)dz存在．设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，沿曲线C连续，有

c ?f(z)dz??udx?vdy?i?udy?vdx． (2.1)

ccc按曲线C的参数方程特点，则式（2.1）可化为三种具体的计算公式： 定理2.3.1

当光滑曲线的参数方程为x?x(t),y?y(t)(??t??,或??t??)且t??,?．分别对应的C起点和终点，则式（2.1）可化为

4

?cf(z)dz=?[u(x(t),y(t))x?(t)?v(x(t),y(t))y?(t)]dt

?? +i?[u(x(t),y(t))y?(t)?v(x(t),y(t))x?(t)]dt． (2.2)

?? 例2.3.1 求?(x?y?ix2)dz．C为x?t,y?t（0?t?1），方向从0指向1?i．

c解 u?x?y,v?x2 ，由式（2.2）得出

?(x?y?ix2)dz=?(x?y)dx?x2dy+i?(x2cc?y)dy?xdx

=?1[(t?x)?1?t2?1]dt?i?100[(t?x)?1?t2]dt

=??1t2dt?i?1t200dt

=?13(1?i)． 定理2.3.2

当光滑曲线C方程为y?y(x)，a?x?b．则可化式（2.1）为

?bcf(z)dz=?a[u(x,y(x))?v(x,y(x))y?(x)]dx

+i?ba[u(x,y(x))y?(x)?v(x,y(x))]dx． (2.3)

例2.3.2 求 ?(xy?yi)dz，C为抛物线y?x2(0?x?1)． 解 ?(xy?yi)dz??1[x?x2?x2?2x]dx?i?1c00[x?x2?2x?x2]dx

=??1x3dx?i?100(2x4?x2)dx

=?1114?15i?cf(z)dz????f(z(t))z?(t)dt．

定理2.3.3

5

当光滑曲线C方程为z?z(t)(??t??,或??t??)，t??,?分别对应于C的起点和终点．则式(2.3)可化为

?f(z)dz??f(z(t))z?(t)dt． （2.4）

c?? 说明 利用式（2.4）计算复变函数积分时，只需将i看作一个一般的常数，然后按定积分计算式（2.4)的右端．如此在方法上来的更简便，更能缩短计算时间，提高解题效率．

例2.3.3 求?Rezdz．C为连接0到1再到1?i 的折线．

c解 从0到1的直线段方程为z?t(0?t?1)．从1到1?i的直线段方程为

z?(1?t)?(1?i)t(0?t?1)．即z?1?it(0?t?1)．故由式（2.4）得

?Rezdz??Retdt??[Re(1?it)]idt

c00111 =?tdt?i?dt =?i．

00211 说明 当C为圆弧|z|?R，?1?argz??2时，C可表示为z?Rei?(?1????2)，则

?f(z)dz??f(Rei?)iei?d?． (2.5)

c?2?1 例2.3.4 C为单位圆上的上半圆周，方向为从1到?1．求?zzdz．

c解 C：z?ei?,0????．由|z|2?zz?1．故

i?i?zzdz?1?ied? =e??c0??0?ei??e0??2．

2.4 用解析函数的高阶导数公式求解复积分的方法

定理2.4.1 高阶导数公式：设f(z)在D内解析，在D上连续，C为D的边界，

z0?D，有

6

?f(z)2?i(n)dz?f(z0),n?1,2,?

(z?z0)n?1n!ez 例2.4.1 计算?dz,C为z?2.

C(z2?1)2 解 因被积函数的两个奇点是i,?i，分别以这两点为心做两个完全含于C而且互不相交的圆周C1,C2.

ez?C(z2?1)2dz??eedz??C2(z2?1)2dzC1(z2?1)2ezez(z?i)2(z?i)2dz??dz22C2(z?i)(z?i)zz

??C1?ez???2?i?22??(z?i)??z?i?ez???2?i?22??(z?i)?

z??i?2(1?i)(ei?ie?i)例2.4.2 求?cos?zdz，其中C为包含圆周|z|?1的正向简单闭曲线，z1?0，

Cz311z2?i．取C1为|z|?，C2为|z?i|?．

33解 f(z)?cos?z,z0?0在C内部，由式（1.11） ?cos?z2?idz?(cos?z)??z?0 3C2!z = ?i(??2cos?z)z?0???3i．

2.5 利用Cauchy积分公式求解复积分的方法

定理2.5.1 Cauchy积分公式：设区域D的边界是周线或复周线C，函数f(z)在

D内解析，在D?D?C上连续，则有f(z)?1f(?)d?(z?D)，即 ?C2?i(??z) ? 例2.5.1 计算?f(?)d??2?if(z)．

C(??z)Cezdz，其中C为圆周z?2. 2z?17

解 因被积函数的两个奇点是i,?i，分别以这两点为心做两个完全含于C且互不相交的圆周C1,C2.则有

ezezez?Cz2?1dz??C1z2?1dz??C2z2?1dz??C1ez?2?iz?iez?2?iz?iz?iezezz?idz?z?idz

?C2z?iz?i??(ei?e?i).

z??i 此题是Cauchy积分公式与Cauchy积分定理复周线情形的结合.

2.6 用Cauchy定理及其推论求解复积分

定理2.6.1 Cauchy积分定理：设f?z?在单连通区域D内解析，C为D内任一条周线，则?f?z?dz?0.

c Cauchy积分定理的等价形式：设C是一条周线，D为C之内部，f?z?在闭域

D?D?C上解析，则?f?z?dz?0.

c 例2.6.1 求?coszdz，其中C为圆周z?3i?1， cz?icosz在z?i 解 圆周C为z???3z??1，被积函数的奇点为?i，在C的外部，于是，以C为边界的闭圆z?3i?1上解析，故由柯西积分定理的等价形式得? 如果D为多连通区域，有如下定理：

coszdz?0. cz?i?? 设D是由复周线C?C0?C1??C2所构成的有界多连通区域，f?z?在D内??Cn解析，在D?D?C上连续，则?f?z?dz?0.

c 例2.6.2 计算积分?分析 被积函数F?z??z?16dz.

z?3z?1?11在C上共有两个奇点z?0和z??，在z?1内作两

z?3z?1?3个充分小圆周，将两个奇点挖掉，新区域的新边界就构成一个复周线，可应用上定理. 解 显然，

113??

z?3z?1?z3z?1任作以z?0与以z??11为心，充分小半径r?的圆周?1:z?r及368

?1??2:z?????r，将二奇点挖去，新边界构成复周线C??1???2? ?C:z?1?.

?3?dzdz??z?1z?3z?1???1??2z?3z?1?

?? ???1dzdz??

z?3z?1??2z?3z?1?dz3dzdz3dz?????? ?1z?13z?1?2z?23z?1 ??dz???1z?1dzdzdz ??????22z?1??1?z????z?????3??3? ?0.

注：选择Cauchy积分定理时要求被积函数的解析区域是单连通的，所以Cauchy积分定理具有一定的局限性，但是计算起来较为简便.

2.7 用留数定理求解复积分的方法

定理2.7.1 留数定理：f(z)在复周线或周线C所围的区域D内，除a1,a2,?an外解析，在闭域D?D?C上除a1,a2,?an外连续，则

?f(z)dz?2?i?Resf(z)．

Ck?1z?akn 设a为f(z)的n阶极点，f(z)?Resf(z)?z?a?(z)(z?a)n，其中?(z)在点a解析，?(a)?0，则

?(n?1)(a)(n?1)!．这里符号?(0)(a)代表?(a)，且有?(n?1)(a)?lim?(n?1)(z)．

z?a说明 (1)Cauchy积分定理、Cauchy积分公式以及解析函数的高阶导数公式，都是留数定理的特殊情况；

(2)凡是能用Cauchy积分定理、Cauchy积分公式以及解析函数的高阶导数公式计算的复积分都能够用留数定理来计算．

1 例2.7.1 计算积分?|z|?1zdz

e 解 f(z)?1在｜z｜＝１内有孤立奇点ｚ＝０，其洛朗展开式为 ez9

f(z)?1111111????...??2n?... z=1+24e1！z2!zn!z1 则Res[f(z),0]?C?1?0，?|z|?1zdz=2?iRes[f(z),0]?0

e

10

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