成都市青羊区2014-2015学年七年级下期末数学试卷含答案解析

2014-2015学年四川省成都市青羊区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题．

1．下列运算错误是（ ） A．（a+b）2=a2+b2

B．a2?a3=a5 C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2

D．3a+4a=7a

2．若a=（﹣）﹣2，b=（﹣）0，c=0.8﹣1，则a，b，c三数的大小是（ ）

A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b

3．为了做一个试管架，在长为acm（a＞6cm）的木板上钻3个小孔（如图），每个小孔的直径为2cm，则x等于（ ）

A． cm B． cm C． cm D． cm

4．下列事件为必然事件的是（ ） A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 C．打开电视机，正在播放纪录片

D．三根长度为4cm，4cm，8cm的木棒能摆成三角形

5．下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．若x﹣3y=﹣5，则代数式5﹣2x+6y的值是（ ） A．0

B．5

C．10

D．15

7．若一个角的余角的两倍与这个角的补角的和210°，这个角的度数为（ ） A．70° B．60° C．50° D．40°

8．有四条线段长度为3cm，4cm，5cm，6cm，从中任意取三条线段能组成三角形的概率是（ ）

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A． B． C． D．1

9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N．若BM+CN=7，则MN的长为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

10．小华同学热爱体育锻炼．每周六上午他都先从家跑步到离家较远的新华公园，在那里与同学打一段时间的羽毛球后再慢步回家．下面能反映小华同学离家的距离y与所用时间x之间函数图象的是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．计算：（2a2b）3÷（ab）2= ．

12．如图，△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC．若∠ADE=139°，则∠B的度数是 ．

13．某人购进一批苹果，到市场零售，已知卖出苹果数量x与售价y的关系如下表，写出用x表示y的关系式 ． 2 数量x（千克） 售价y（元） 16.2 3 24.3 4 32.4 5 40.5 14．已知5x=3，5y=5，则5x+2y= ．

三、计算下列各题（第15题每小题6分，16题8分，共14分）

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15．（1）计算：[（4b+3a）（3a﹣4b）﹣（b﹣3a）2]÷4b

（2）先化简，再求值．（2x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣2）2﹣（x+2）2，其中，x=﹣3． 16．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE垂直平分AB，△BEC周长为22，BC=9． （1）求∠EBC的度数； （2）求三角形ABC周长．

四、解答题（17题8分，18题8分，共16分） 17．如图，方格子的边长为1，△ABC的顶点在格点上． （1）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1； （2）求△ABC的面积．

18．某机动车出发前邮箱内有油42L，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中余油量Q（L）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，根据图回答问题： （1）机动车行驶5h后加油，途中加油 升；

（2）根据图形计算，机动车在加油前的行驶中每小时耗油多少升？

（3）如果加油站距目的地还有400km，车速为60km/h，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．

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五、解答题（19题8分，20题10分）

19．将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．请完成下列各题． （1）随机抽取1张，求抽到奇数的概率．

（2）随机抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？

（3）在（2）的条件下，试求组成的两位数是偶数的概率．

20．已知：如图，在△ABC中，AB⊥CB，点D在CB的延长线上，且AB=BD，点E在AB上，DE的延长线交AC于点F，且BC=BE．试判断AC与DE的关系并说明理由．

一、填空题

21．若关于x的二次三项式9x2+2（a﹣4）x+16是一个完全平方式，则a的值为 ． 22．若x2+x﹣3=0，则x4+2x3﹣2x2﹣3x+7= ．

23．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BC=3DC，S△GEC=2，S△GBD=8，则△ABC的面积是 ．

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24．已a1=1﹣a2=1﹣，a3=1﹣，…an=1﹣，Sn=a1?a2…an， ，则S2015= ．

25．若自然数n使得三个数的竖式加法运算“n+（n+1）+（n+2）”产生进位现象，则称n为“连加进2不是“连加进位数”，4是“连加进位数”，位数”．例如，因为2+3+4=9不产生进位现象；因为4+5+6=15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+53=156产生进位现象．如果从0，1，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是 ． 二、

26．若（x2+3mx﹣）（x2﹣3x+n）的积中不含x和x3项， （1）求m2﹣mn+n2的值；

（2）求代数式（﹣18m2n）2+（9mn）﹣2+（3m）2014n2016的值． 27．某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：

投资者购买商铺后，必须由开发商代为租贷5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择：

方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%；

方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的30%作为管理费用．

（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后获得的投资收益率更高？为什么？ （投资收益率=

×100%）

（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差14万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？

28．在四边形ABCD中，AC=AB，DC=CB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．

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（1）求证：DE=DF；

（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明所归纳结论；

（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）．

（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中， ∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．

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2014-2015学年四川省成都市青羊区七年级（下）期末数学试

卷

参考答案与试题解析

一、选择题．

1．下列运算错误是（ ） A．（a+b）2=a2+b2

B．a2?a3=a5 C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2

D．3a+4a=7a

【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；平方差公式．

【分析】利用完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法及平方差公式判定即可． 【解答】解：A、（a+b）2=a2+b2+2ab，故此选项错误； B、a2?a3=a5；故此选项正确；

C、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；故此选项正确； D、3a+4a=7a，故此选项正确； 故选：A．

【点评】本题主要考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法及平方差公式，解题的关键是熟记完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法及平方差公式．

2．若a=（﹣）﹣2，b=（﹣

）0，c=0.8﹣1，则a，b，c三数的大小是（ ）

A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 【考点】负整数指数幂；实数大小比较；零指数幂．

【分析】首先利用负整数指数幂的性质和零指数幂的性质求得a、b、c的值，然后再比较大小即可．【解答】解：a=

，b=1，c=

=，

∵1＜，

∴b＜c＜a． 故选：D．

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【点评】本题主要考查的是负整数指数幂的性质和零指数幂的性质，掌握负整数指数幂的性质和零指数幂的性质是解题的关键．

3．为了做一个试管架，在长为acm（a＞6cm）的木板上钻3个小孔（如图），每个小孔的直径为2cm，则x等于（ ）

A． cm B． cm C． cm D． cm

【考点】一元一次方程的应用． 【专题】几何图形问题．

【分析】根据条件，4x加上三个圆的直径（6cm）的和是acm．因而得方程4x+6=a，解关于x的方程．

【解答】解：根据题意有4x+6=a， 解得x=故选C．

【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，结合图形找出等量关系，列出方程，再求解．

4．下列事件为必然事件的是（ ） A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 C．打开电视机，正在播放纪录片

D．三根长度为4cm，4cm，8cm的木棒能摆成三角形 【考点】随机事件．

【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．

【解答】解：A、任意买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，选项错误； B、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，是必然事件，选项正确； C、打开电视机，正在播放纪录片，是随机事件，选项错误；

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．

D、三根长度为4cm，4cm，8cm的木棒能摆成三角形，是不可能事件，选项错误． 故选B．

【点评】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．随机事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

5．下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念结合4个汽车标志图案的形状求解．

【解答】解：由轴对称图形的概念可知第1个，第2个，第3个都是轴对称图形． 第4个不是轴对称图形，是中心对称图形． 故是轴对称图形的有3个． 故选C．

【点评】本题考查了轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．

6．若x﹣3y=﹣5，则代数式5﹣2x+6y的值是（ ） A．0

B．5

C．10

D．15

【考点】代数式求值．

【分析】首先将5﹣2x+6y变形为5﹣2（x﹣3y），然后将x﹣3y=﹣5代入求值即可． 【解答】解：原式=5﹣2（x﹣3y）=5﹣2×（﹣5）=15． 故选；D．

【点评】本题主要考查的是求代数式的值，将原式变形为5﹣2（x﹣3y）是解题的关键．

7．若一个角的余角的两倍与这个角的补角的和210°，这个角的度数为（ ） A．70° B．60° C．50° D．40° 【考点】余角和补角．

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【分析】设这个角为x，则这个角的余角为90°﹣x，补角为180°﹣x，然后根据这个角的余角的两倍与这个角的补角的和210°列方程求解即可．

【解答】解：设这个角为x，则这个角的余角为90°﹣x，补角为180°﹣x． 根据题意得：2（90°﹣x）+180°﹣x=210°， 解得：x=50°． 故选：C．

【点评】本题主要考查的是补角和余角的定义，解答本题需要同学们熟记余角和补角的定义，方程思想的应用是解题的关键．

8．有四条线段长度为3cm，4cm，5cm，6cm，从中任意取三条线段能组成三角形的概率是（ ） A．

B．

C．

D．1

【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系．

【分析】根据三角形的三边关系求出共有几种情况，根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

【解答】解：∵长度为3cm，4cm，5cm，6cm，的四条线段，从中任取三条线段共有C43=4种情况，而能组成三角形的有3、4、5；3、4、6；3、5、6；4、5、6共有4种情况， 所以能组成三角形的概率是=1， 故选D．

【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N．若BM+CN=7，则MN的长为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

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【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论． 【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB， ∵MN∥BC，

∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB， ∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN， ∴BM=ME，EN=CN， ∴MN=ME+EN， 即MN=BM+CN， ∵BM+CN=7， ∴MN=7， 故选：B．

【点评】本题考查了学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME△CNE是等腰三角形．

10．小华同学热爱体育锻炼．每周六上午他都先从家跑步到离家较远的新华公园，在那里与同学打一段时间的羽毛球后再慢步回家．下面能反映小华同学离家的距离y与所用时间x之间函数图象的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】函数的图象．

【分析】本题需先根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果． 【解答】解：∵他从家跑步到离家较远的新华公园， ∴随着时间的增加离家的距离越来越远， ∵他在那里与同学打一段时间的羽毛球， ∴他离家的距离不变， 又∵再慢步回家，

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∴他离家越来越近，

∴小华同学离家的距离y与所用时间x之间函数图象的大致图象是B． 故选B．

【点评】本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要根据实际情况确定出函数的图象是解题的关键． 二、填空题

11．计算：（2a2b）3÷（ab）2= 8a4b ． 【考点】整式的除法．

【分析】根据整式的除法计算即可． 【解答】解：（2a2b）3÷（ab）2 =8a4b， 故答案为：8a4b

【点评】此题考查整式的除法，关键是根据法则进行计算．

12．DE∥BC． △ABC中，∠A=90°，如图，点D在AC边上，若∠ADE=139°，则∠B的度数是 49° ．

【考点】平行线的性质．

【分析】求出∠EDC的度数，根据平行线的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠ADE=139°， ∴∠EDC=180°﹣∠ADE=41°， ∵DE∥BC， ∴∠C=∠EDC=41°， ∵∠A=90°，

∴∠B=180°﹣（∠A+∠C）=49°， 故答案为：49°．

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【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能求出∠C的度数是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等．

13．某人购进一批苹果，到市场零售，已知卖出苹果数量x与售价y的关系如下表，写出用x表示y的关系式 y=8.1x ． 2 数量x（千克） 售价y（元） 16.2 【考点】函数关系式．

【分析】应先得到1千克苹果的售价，总售价=单价×数量，把相关数值代入即可求得相关函数关系式．

【解答】解：易得1千克苹果的售价是16.2÷2=8.1元，那么x千克的苹果的售价：y=8.1x， 故答案为：y=8.1x．

【点评】本题考查了函数关系式，解决本题的难点是得到每千克苹果的售价，关键是得到总售价的等量关系．

14．已知5x=3，5y=5，则5x+2y= 75 ． 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．

【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方将5x+2y变形为5x?（5y）2形式，再代入解答即可． 【解答】解：因为5x=3，5y=5， 可得：5x+2y=5x?（5y）2=75， 故答案为：75

【点评】此题考查幂的乘方问题，关键是根据同底数幂的乘法和幂的乘方将5x+2y变形为5x?（5y）2形式分析．

三、计算下列各题（第15题每小题6分，16题8分，共14分） 15．（1）计算：[（4b+3a）（3a﹣4b）﹣（b﹣3a）2]÷4b

（2）先化简，再求值．（2x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣2）2﹣（x+2）2，其中，x=﹣3． 【考点】整式的混合运算—化简求值；整式的混合运算．

【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算合并，再进一步计算除法即可；

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3 24.3 4 32.4 5 40.5

（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算合并，再进一步代入求得答案即可． 【解答】解：（1）原式=（9a2﹣16b2﹣b2+6ab﹣9a2）÷4b =（﹣17b2+6ab）÷4b =﹣

b+a；

（2）原式=4x2﹣1﹣x2+4x﹣4﹣x2﹣4x﹣4 =2x2﹣9， 当x=﹣3时， 原式=2×

﹣9=

．

【点评】此题考查整式的化简求值，正确利用计算公式和计算方法计算合并是解决问题的关键．

16．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE垂直平分AB，△BEC周长为22，BC=9． （1）求∠EBC的度数； （2）求三角形ABC周长．

【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，根据线段的垂直平分线的性质求出∠ABE的度数，计算得到答案；

（2）根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，求出AC的长，求出三角形ABC周长． 【解答】解：（1）∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∵DE垂直平分AB， ∴EA=EB， ∴∠ABE=∠A=36°，

∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°； （2）∵△BEC周长为22，EA=EB，

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∴AC+BC=22， 又∵BC=9， ∴AC=13，

∴三角形ABC周长=13+13+9=35．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

四、解答题（17题8分，18题8分，共16分） 17．如图，方格子的边长为1，△ABC的顶点在格点上． （1）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1； （2）求△ABC的面积．

【考点】作图-轴对称变换．

【分析】（1）分别找出A、B、C三点的对称点，再顺次连接即可； （2）利用长方形的面积减去周围多余三角形的面积即可得到△ABC的面积． 【解答】解：（1）如图所示：

（2）△ABC的面积： 3×4﹣=12﹣3﹣4 =5．

﹣

﹣

第15页（共26页）

【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，关键是找出对称点的位置．

18．某机动车出发前邮箱内有油42L，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中余油量Q（L）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，根据图回答问题： （1）机动车行驶5h后加油，途中加油 24 升；

（2）根据图形计算，机动车在加油前的行驶中每小时耗油多少升？

（3）如果加油站距目的地还有400km，车速为60km/h，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．

【考点】函数的图象．

【分析】（1）图象上x=5时，对应着两个点，油量一多一少，可知此时加油多少；

（2）因为x=0时，Q=42，x=5时，Q=12，所以出发前油箱内余油量42L，行驶5h后余油量为12L，共用去30L，因此每小时耗油量为6L；

（3）由图象知，加油后还可行驶6小时，即可行驶60×6千米，然后同400千米做比较，即可求出答案．

【解答】解：（1）由图可得，机动车行驶5小时后加油为36﹣12=24； （2）∵出发前油箱内余油量42L，行驶5h后余油量为12L，共用去30L， 因此每小时耗油量为6L，

第16页（共26页）

（3）由图可知，加油后可行驶6h， 故加油后行驶60×6=360km， ∵400＞360， ∴油箱中的油不够用．

【点评】此题考查一次函数的实际应用，解答本题的关键是仔细观察图象，寻找题目中所给的信息，进而解决问题，难度一般．

五、解答题（19题8分，20题10分）

19．将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．请完成下列各题． （1）随机抽取1张，求抽到奇数的概率．

（2）随机抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？

（3）在（2）的条件下，试求组成的两位数是偶数的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式．

【分析】（1）先求出这组数中奇数的个数，再利用概率公式解答即可； （2）首先根据题意可直接列出所有可能出现的结果；

（3）由（2）中列举情况结果即可求出组成的两位数是偶数的概率． 【解答】解：（1）在这三张卡片中，奇数有：P（抽到奇数）=；

（2）可能的结果有：（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）； （3）由（2）得组成的两位数是偶数的概率==．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列 出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20．已知：如图，在△ABC中，AB⊥CB，点D在CB的延长线上，且AB=BD，点E在AB上，DE的延长线交AC于点F，且BC=BE．试判断AC与DE的关系并说明理由．

第17页（共26页）

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】AC与DE的关系为：①AC=DE；②AC⊥DE．

证明①，根据SAS即可证明△ABC≌△DBE，根据全等三角形的对应边相等，即可证得； ∠CAB=∠EDB，证明②，根据△ABC≌△DBE可以得到：则△AEF与△BED中有两个角对应相等，根据三角形内角和定理可得：∠AFE=∠DBE=90°，即可证明垂直关系． 【解答】解：AC与DE的关系为：①AC=DE；②AC⊥DE理由如下： ①∵AB⊥CB

∴∠ABC=∠DBE=90°．

在△ABC和△DBE中

∴△ABC≌△DBE． ∴AC=DE

②∵△ABC≌△DBE ∴∠CAB=∠EDB

又∵∠CAB+∠AEF+∠AFE=180°，∠EDB+∠BED+∠DBE=180°，∠AEF=∠BED ∴∠AFE=∠DBE=90° ∴AC⊥DE

【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，以及垂直关系的证明，证明三角形全等是关键． 一、填空题

21．若关于x的二次三项式9x2+2（a﹣4）x+16是一个完全平方式，则a的值为 16或﹣8 ． 【考点】完全平方式． 【专题】计算题．

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．

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【解答】解：∵9x2+2（a﹣4）x+16是一个完全平方式， ∴a﹣4=±12， 解得：a=16或a=﹣8． 故答案为：16或﹣8．

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

22．若x2+x﹣3=0，则x4+2x3﹣2x2﹣3x+7= 7 ． 【考点】因式分解的应用．

【分析】由x2+x﹣3=0得到x2+x=3．然后将所求的代数式进行变形为：x2（x2+x）+x（x2+x）﹣3（x2+x）+7，然后将其整体代入进行求值． 【解答】解：∵x2+x﹣3=0， ∴x2+x=3，

∴x4+2x3﹣2x2﹣3x+7

=x2（x2+x）+x（x2+x）﹣3（x2+x）+7 =3（x2+x）﹣9+7 =9﹣9+7 =7．

故答案为：7．

【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；分组分解是解决问题的关键．

23．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BC=3DC，S△GEC=2，S△GBD=8，则△ABC的面积是 28 ．

【考点】三角形的面积．

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【分析】根据等底等高的三角形的面积相等求出△AGE的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△CDG的面积，然后求出△ACD的面积，最后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比列式计算即可得解． 【解答】解：∵BC=3DC， ∴BD=2DC，

∴S△CDG=S△GBD=4， ∵S△GEC=2，

∴S△BCE=S△BDG+S△GEC+S△CDG=8+2+4=14， ∵E是AC的中点，

∴S△ABC=2S△BCE=2×14=28． 故答案为：28．

【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，等高的三角形的面积的比等于底边的比，需熟记．

24．已a1=1﹣

，a2=1﹣

，a3=1﹣

，…an=1﹣

，Sn=a1?a2…an，则S2015= ．

【考点】规律型：数字的变化类．

【分析】首先代入，把每一项利用平方差公式因式分解，进一步计算约分化简得出答案即可． 【解答】解：S2015=（1﹣

）（1﹣

）（1﹣

）…（1﹣

） ）（1+

）

=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣=××××××…×=

．

．

×

故答案为：

【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用运算规律解决问题．

25．若自然数n使得三个数的竖式加法运算“n+（n+1）+（n+2）”产生进位现象，则称n为“连加进2不是“连加进位数”，4是“连加进位数”，位数”．例如，因为2+3+4=9不产生进位现象；因为4+5+6=15

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产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+53=156产生进位现象．如果从0，1，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是 0.88 ． 【考点】概率公式． 【专题】压轴题；新定义．

【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数；

②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

【解答】解：∵若自然数n使得三个数的竖式加法运算“n+（n+1）+（n+2）”产生进位现象，则称n为“连加进位数”，

当n=0时，0+1=1，0+2=2，n+（n+1）+（n+2）=0+1+2=3，不是连加进位数； 当n=1时，1+1=2，1+2=3，n+（n+1）+（n+2）=1+2+3=6，不是连加进位数； 当n=2时，2+1=3，2+2=4，n+（n+1）+（n+2）=2+3+4=9，不是连加进位数； 当n=3时，3+1=4，3+2=5，n+（n+1）+（n+2）=3+4+5=12，是连加进位数； 故从0，1，2，…，9这10个自然数共有连加进位数10﹣3=7个， 由于10+11+12=33没有不进位，所以不算． 又13+14+15=42，个位进了一，所以也是进位．

按照规律，可知0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32不是连加进位数，其他都是． 所以一共有88个数是连加进位数．概率为0.88． 故答案为：0.88．

【点评】此题主要考查了概率的求法，得出所有不产生进位的数据是解决问题的关键，再根据一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=求出即可． 二、

26．若（x2+3mx﹣）（x2﹣3x+n）的积中不含x和x3项， （1）求m2﹣mn+n2的值；

（2）求代数式（﹣18m2n）2+（9mn）﹣2+（3m）2014n2016的值． 【考点】多项式乘多项式；整式的混合运算—化简求值． 【专题】计算题．

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【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含x和x3项，求出m与n的值，（1）原式利用完全平方公式变形后，将m与n的值代入计算即可求出值；

（2）原式利用幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂法则变形，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（x2+3mx﹣）（x2﹣3x+n）=x4nx2+（3m﹣3）x3﹣9mx2+（3mn+1）x﹣x2﹣n， 由积中不含x和x3项，得到3m﹣3=0，3mn+1=0， 解得：m=1，n=﹣，

（1）原式=（m﹣n）2=（）2=（2）原式=324m4n2+

；

+（3mn）2014?n2=36++=36．

【点评】此题考查了多项式乘以多项式，以及整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

27．某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：

投资者购买商铺后，必须由开发商代为租贷5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择：

方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%；

方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的30%作为管理费用．

（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后获得的投资收益率更高？为什么？ （投资收益率=

×100%）

（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差14万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？ 【考点】二元一次方程组的应用．

【分析】（1）利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较； （2）利用（1）的表示，根据二者的差是14万元，即可列方程求解． 【解答】解：（1）设商铺标价为x万元，则

按方案一购买，则可获投资收益（120%﹣1）?x+x?10%×5=0.7x， 投资收益率为

×100%=70%，

按方案二购买，则可获投资收益（120%﹣0.85）?x+x?10%×（1﹣30%）×3=0.56x，

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投资收益率为×100%≈65.9%，

∴投资者选择方案一所获得的投资收益率更高；

（2）设商铺标价为y万元，则甲投资了y万元，则乙投资了0.85y万元． 由题意得0.7y﹣0.62y=14， 解得y=175，

乙的投资是175×0.85=148.75万元

∴甲投资了175万元，乙投资了148.75万元．

【点评】此题考查了列方程解应用题，正确表示出两种方案的收益率是解题的关键．

28．在四边形ABCD中，AC=AB，DC=CB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．

（1）求证：DE=DF；

（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明所归纳结论；

（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）．

（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中， ∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．【考点】四边形综合题．

【分析】（1）首先判断出∠C=∠DBF，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△CDE≌△BDF，即可判断出DE=DF．

（2）猜想CE、EG、BG之间的数量关系为：CE+BG=EG．首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABD≌△ACD，即可判断出∠BDA=∠CDA=60°；然后根据∠EDG=60°，可得∠CDE=∠ADG，

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∠ADE=∠BDG，再根据∠CDE=∠BDF，判断出∠EDG=∠FDG，据此推得△DEG≌△DFG，所以EG=FG，最后根据CE=BF，判断出CE+BG=EG即可．

（3）根据（2）的证明过程，要使CE+BG=EG仍然成立，则∠EDG=∠BDA=∠CDA=∠CDB，即∠EDG=（180°﹣α）=90°﹣α，据此解答即可．

（4）首先作CF⊥AD交AD的延长线于点F，根据全等三角形判定的方法，判断出△ACB≌△ACF，即可判断出AB=AF，CB=CF，推得BE+DF=DE；然后求出DE的值，判断出DF、BE的关系，即可求出BE的长是多少． 【解答】（1）证明：

∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠CAB=60°，∠CDB=120°， ∴∠C+∠ABD=360°﹣60°﹣120°=180°， 又∵∠DBF+∠ABD=180°， ∴∠C=∠DBF， 在△CDE和△BDF中，

（SAS）

∴△CDE≌△BDF， ∴DE=DF．

（2）解：如图1，连接AD，，

猜想CE、EG、BG之间的数量关系为：CE+BG=EG． 证明：在△ABD和△ACD中，

（SSS）

∴△ABD≌△ACD，

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∴∠BDA=∠CDA=又∵∠EDG=60°，

==60°，

∴∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG， 由（1），可得 △CDE≌△BDF， ∴∠CDE=∠BDF， ∴∠BDG+∠BDF=60°， 即∠FDG=60°， ∴∠EDG=∠FDG， 在△DEG和△DFG中，

∴△DEG≌△DFG， ∴EG=FG，

又∵CE=BF，FG=BF+BG， ∴CE+BG=EG．

（3）解：要使CE+BG=EG仍然成立， 则∠EDG=∠BDA=∠CDA=∠CDB， 即∠EDG=（180°﹣α）=90°﹣α，

∴当∠EDG=90°﹣α时，CE+BG=EG仍然成立．

（4）解：如图2，作CF⊥AD交AD的延长线于点F，，

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在△ACB和△ACF中，

（AAS）

∴△ACB≌△ACF， ∴AB=AF，CB=CF， ∴由（2），可得 BE+DF=DE， ∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°，

又∵∠CAB=∠CAD=30°，

∴∠EAD=30°+30°=60°，∠ADE=30°， ∴AD=2AE=2×3=6，DE=∵AD+DF=AE+BE， ∴6+DF=3+BE， ∴DF=BE﹣3， 又∵BE+DF=DE， ∴2BE﹣3=3∴BE=

， ．

=3

，

【点评】（1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．

（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．

（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．

第26页（共26页）

在△ACB和△ACF中，

（AAS）

∴△ACB≌△ACF， ∴AB=AF，CB=CF， ∴由（2），可得 BE+DF=DE， ∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°，

又∵∠CAB=∠CAD=30°，

∴∠EAD=30°+30°=60°，∠ADE=30°， ∴AD=2AE=2×3=6，DE=∵AD+DF=AE+BE， ∴6+DF=3+BE， ∴DF=BE﹣3， 又∵BE+DF=DE， ∴2BE﹣3=3∴BE=

， ．

=3

，

【点评】（1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．

（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．

（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．

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