2014专题讲练 几何定值问题2

专题讲练 几何定值问题2

知识要点：

几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：

1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理(公理)法； 3．数形结合法等．

典型例题： 一、定量问题： 1、 定积：

例1 如图，已知等边?ABC和点P，设点P到?ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）离分别为h1、h2、h3，?ABC的高为h。在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1 +h2+h3 =h。在图（2）~（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上，?ABC内、?ABC外。 （1） （2） （3）

请探究：图（2）~（5）中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论） 证明图（2）所的结论； 证明图（4）所的结论；

AA

DA

EPDDEBEM(2)

CBM(P)(1)CPCBM(4)

F

A

BDARDSEPM(5)BM(3)CEPECPBMFC

变式练习 如图，若四边形RBCS是等腰梯形，?B=?C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，梯形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为 ；上题图（4）与右图中等式有何关系？

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例2 如图，已知菱形ABCD外切于⊙O，MN是与AD、CD分别交于M、N的任意一条切线。求证：AM·CN为定值。

2、定比：

AMBONDC例1 如图，两圆相交于点A、B，过点B引割线分别交两圆于C、D，连结AC、AD。求证：AC：AD为定值。

CABD

变式练习 如图，⊙O的半径为2，Q为⊙O外一点，QA、QB切⊙O于A、B，P为直线上任一点，且P在⊙O的外部，QS?OP于S，则OP·OS= 。

例2 设?ABC是等边三角形，P是?ABC内任意一点，作垂线PD、PE、PF，点D、E、F是垂足。试证不管P在哪里，

FPASOQBPA三角形三边的总

E有

3PD?PE?PF=。

AB?BC?CA6

3、定平方和：

BDC例 如图，⊙O的半径为R，AB、CD是⊙O的任意两条弦且AB?CD于M。求证：

AB2+(CM?DM)2为定值。

ACMBD第 2 页 共 2 页

变式练习 如图，内接于⊙O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K，设⊙O的半径为R。求证： D（1）AK2+BK2+CK2+DK2是定值。 （2）AB2+BC2+CD2+DA2是定值。

AKBOC

4、定倒数和：

例 如图，过⊙O内定点P作任意弦AB，又过A、B作两切线，自点P作两切线的垂线PQ、PR，垂足为Q、R。求证：

11+为定值。 PQPR

PAQOBR

变式练习 如图，已知A是定角?MON的平分线上一个定点，过A任作一条直线与OM、ON分别交于P、Q。求证：

5、定长：

O11+为定值。 OPOQPMAQN例 在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB边上的动点，点O1、O2分别是?AED和?BEC的外心。求证：O1O2的长为一定值。

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BEADAECDBC

变式练习 如图，在?ABC中，?A与底边BC为一定值，BD?AC，CE?AB，D、E为垂足，连结DE。求证：DE为定长。 6、定角：

例 如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足。求证：不管ST滑到什么位置，?SPM是一定角。

二、定型问题： 1、定点：

例 如图，在直线d上顺次取定A、B、C三点，AB=4BC，动点M在直线d的过点C的垂线上，以A为圆心，AB为半径作圆，MT1、MT2是该圆的两条切线，T1、T2为切点，求证：无论点M在垂线上如何运动，直线T1T2必经过一定点。

变式练习 如图，已知等边?ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M，直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于N。证明：线段AK与BN的乘积与M点的选择无关。

KCKABCdMSTMAPOBAMB 第 4 页 共 4 页

N

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