高等数学 厦门大学出版社徐荣聪 高数课后习题详细参考答案

第三章参考答案

习题3-1（P66） 1、（1）不满足，在x?1处不连续；（2）不满足，在x?2处不可导； 2、（1）、??e?1；（2）??4???；

3、证明：设任意区间[a,b]?(??,??)，显然函数在[a,b]上连续，在(a,b)内可导， 所以函数满足拉格朗日中值定理的条件，

(pb2?qb?r)?(pa2?qa?r)?p(a?b)?q 所以有f?(?)?b?a又f?(?)?(px?qx?r)?2x???2p??q

a?b 2所以p(a?b)?q?2p??q，从而??所以命题成立。

4、方程有2个根，分别位于区间(1,2)和(2,3)内； 5、(2,4)；

6、证明：设f(x)?arctanx，显然函数f(x)在(??,??)内处处连续，处处可导， 设区间[b,a]?(??,??)，则f(x)在[b,a]上满足拉格朗日子中值定理的条件 所以(b,a)内至少存在一点?，使arctana?arctanb?1(a?b)， 21?? 所以arctana?arctanb?1?a?b?a?b， 21??即arctana?arctanb?a?b

习题3-2（P70）

1、（1）1；（2）2；（3）cosa；（4）?31；（5）?； 58121（6）0；（7）?；（8）；（9）0；（10）；

22?2、（1）1，不能；（2）1，不能；

习题3-3（P77）

1、（1）(??,1)增加，(1,??)减少；（2）(??,??)减少；

（3）(??,?1)和(1,??)增加，(?1,1)减少；（4）(0,2)减少，(2,??)增加；

2、（1）(??,3)减少，(3,??)增加； （2）(0,e?1)减少，(e?1,??)增加； （3）(??,0)增加，(0,??)减少； （4）(??,1)和(3535,??)增加，(1,)减少； 27273、证明：设f(x)?ex?x?1，则f?(x)?ex?1，当x?0时，f?(x)?0 所以函数f(x)在(0,??)上单调增加，

xx 所以当x?0时，f(x)?f(0)?0，即e?x?1?0，从而e?1?x

4、证明：设f(x)?x3?3x2?1，

显然函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0)?1?0,f(1)??1?0

由零点存在定理知，函数f(x)在(0,1)至少有一个零点，

又当x?(0,1)时，f?(x)?3x2?6x?3x(x?2)?0，函数单调减少

所以函数f(x)在(0,1)至多只有一个零点，即方程x?3x?1?0在(0,1)至多

只有一个实根，

因为f(0)?0,f(1)?0，所以x?0,x?1不是方程的根，

所以方程x?3x?1?0在[0,1]至多只有一个实根。 5、（1）极小值f(?1)??5，无极大值； （2）极小值f(2)??3，极大值f(?1)?32323； 2（3）极小值f(3)??47，极大值f(?1)?17； （4）极小值f()?345，无极大值； 44； 2e（5）极小值f(0)?0，极大值f(2)?（6）无极值；

（7）极小值f(0)?0，极大值f(?1)?1； （8）提示：y?x?1?1，极小值f(0)??2，极大值f(2)?2； x?16、解：显然函数f(x)在(??,??)上可导， 要使函数f(x)在x?即acos?3处取得极值，须有f?()?0，

?3?3?cos??0，解得a?2

因为f??()?(?2sinx?3sin3x)x????3?0

?33所以函数f(x)在x??3处取得极大值，此时f()?2sin??31?sin??3 33所以当a?2时，函数f(x)在x??3处取极大值3。

7、（1）最大值f(4)?80，最小值f(?1)??5； （2）最大值f(3)?11，最小值f(?2)?f(2)??14； （3）最大值f(1)?1，最小值f(0)?f(2)?0； （4）最大值f(0)?0，最小值f()??ln2； （5）最大值f(1)?1411，最小值f(?1)??； 224（6）最大值f(?4)?16e，最小值f(0)?0；

8、解：设车间靠墙壁的长为x米，则不靠墙壁的长为(10?面积S(x)?x(10?)，0?x?20

x)米， 2x2 S?(x)?10?x，令S?(x)?0，得唯一驻点x?10，因为S??(x)??1?0 所以S(x)在x?10处取极大值，又驻点唯一， 所以S(x)在x?10处取最大值，

所以当小屋靠墙壁的长为10米，不靠墙壁的长为5米时，面积最大。 9、解：设经过x小时两船相距为y海里，则

22??(75?12x)?(6x),0?x?6.25 y??

22??[12(x?6.25)]?(6x),x?6.25 当0?x?6.25时，y??360x?1800180x?1800x?56252?360x?1800180(x?5)?11252，

令y??0，得驻点x?5，没有不可导点，

依题意知目标函数存在最小值，且驻点唯一，所以当x?5时，函数y取最小值155 当x?6.25时，y?(6?6.25)2?37.5?155

综上可知，经过5小时，两船距离最近。 10、解：设BM?x(m)，那么AM?600?x,CM?x2?2002，

所以掘进费y?5(600?x)?13x2?2002(0?x?600) y??13xx2?2002?5,令y??0，得唯一驻点x?250，没有不可导点 3250.2；x?600时，y?8221.9 时，y?47173250?516.7， .2最小，此时AM?600? 比较得y?47173 当x?0时，y?5600；当x?所以从A处沿水平掘进516.7米后，再斜向下沿直线掘进到C处，掘进费最省，为4717.2元。

11、解：矩形底宽为x米，高为h米，则周长y?2h?x(??2) 2 由xh??x28?5得h?5?x10x(??4)?，所以y??(x?0) x8x4 y????44?1040?y?0，令，得驻点 x?x2??4 依题意目标函数存在最小值，且驻点唯一，所以当x?最小。

40米时，截面的周长??412?r?h 3R?R224?2??2 由2?r?R?，得r?，h?R?r?2?2?12、解：设漏斗的地面半径为r，高为h，则V?12R3?24?2??2(0???2?) 所以V??r?h?2324?R3?(8?2?3?2)8?V?0? V??，令，解得???

2224?234??? 依题意，目标函数存在最大值，且驻点唯一，所以当??8 ?时，函数取最大值，

3 即当??8?时，做成的漏斗容积最大。 3213、解：设内接直圆柱的底半径为r，高为2h，则圆柱的体积V?2?rh 因为球内接圆柱，所以有r?h?R，得h? 所以V?2?rR?r(0?r?R)， V??426222R2?r2

，

2?r(2R2?3r2)R?r22令V??0，得r?2R，此时2h?34R 32函数取最大值， R时，

3依题意，函数

存在最大值，且驻点=唯一，所以当r?所以内接直圆柱的半径为

24R、高为R时，体积最大。 3314、解：如图h?DA?DC?2?15sin??3tan? 因为DA?15sin??1.5,DC?3tan?， 所以h?15sin??3tan??0.5(0???2?2)

115cos3??33?h?0 h??15cos??3sec??，令，解得 cos??25cos? 此时sin??1?cos2??1?31?0.81， 253tan??sec2??1?1?1?2cos?25?1?1.39

1时，函数取最大值 5 依题意知，函数存在最大值，且驻点唯一，所以当cos??3 h?15sin??3tan??0.5?15?0.81?3?1.39?0.5?7.48?6 所该吊车能把屋架吊上去。

15、解：利润L(x)?R(x)?C(x)??0.01x?150x?500

L?(x)??0.02x?150，令L?(x)?0，得唯一驻点x?7500

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