第二讲 函数的单调性与最值
更新时间:2023-05-20 05:34:01 阅读量: 实用文档 文档下载
含答案
第二讲 函数的单调性与最值
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
若函数f(
x)在区间D上是________或________,则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,________叫做y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
含答案
1. f(x)=x2-2x (x∈[-2,4])的单调增区间为__________;f(x)max=________. 2x
2.函数f(x)=[1,2]的最大值和最小值分别是________________.
x+1
3.已知函数y=f(x)在R上是减函数,A(0,-2)、B(-3,2)在其图象上,则不等式-2<f(x)<2的解集为________________________________________________________________. 4.下列函数f(x)中满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是( ) 1A.f(x)=
xC.f(x)=e2
B.f(x)=(x-1)2
D.f(x)=ln(x+1)
1 <f(1)的实数x的取值范围是 ( ) 5.已知函数f(x)为R上的减函数,则满足f x
A.(-1,1)
B.(0,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞
)
C.(-1,0)∪(0,1)
题型一 函数单调性的判断及应用
例1 已知函数f(x)=x+1-ax,其中a>0. (1)若2f(1)=f(-1),求a的值;
(2)证明:当a≥1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上为单调减函数; (3)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求a的取值范围.
含答案
x
已知f(x)= (x≠a).
x-a
(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
题型二 求函数的单调区间
例2 求函数log1(x2 3x 2)的单调区间.
2
求函数yx+x-6的单调区间.
题型三 抽象函数的单调性及最值
例3 已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,2
f(1)=-.
3
(1)求证:f(x)在R上是减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
含答案
x
函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切x>0,y>0都有f y =f(x)-f(y),当
x>1时,有f(x)>0. (1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性并加以证明. (3)若f(4)=2,求f(x)在[1,16]上的值域.
A组 专项基础训练题组
一、选择题
1.(2010·北京)给定函数①y=x,②y=log1(x 1),③y=|x-1|,④y=2x1,其中在区
+
1
2
2
间(0,1)上单调递减的函数的序号是 ( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
a
2.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是( )
x+1A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1)
B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1]
3.已知定义在R上的增函数f(x),满足f(-x)+f(x)=0,x1,x2,x3∈R,且x1+x2>0,x2
+x3>0,x3+x1>0,则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 A.一定大于0 C.等于0 二、填空题
4.函数f(x)=x-2x-3的单调增区间为______________________________________. 5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题: ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0; f x1 -f x2 ③>0;
x1-x2f x1 -f x2 ④<0.
x1-x2
其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.(填序号)
( )
B.一定小于0 D.正负都有可能
含答案
6.已知a>0且a≠1,若函数f(x)=loga(ax2-x)在[3,4]上是增函数,则a的取值范围是__________. 三、解答题
11
7.已知函数f(x)(a>0,x>0),
ax
(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; 1 1
2上的值域是 2 ,求a的值. (2)若f(x)在 2 2
ax
8.试讨论函数f(x)=x∈(-1,1)的单调性(其中a≠0).
x-1
B组 专项能力提升题组
一、选择题
b
1.若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是( )
xA.增函数
B.减函数
C.先增后减
x
D.先减后增
a x>1
2.已知f(x)= a是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为
4-x+2 x≤1 2( )
A.(1,+∞) C.(4,8)
B.[4,8) D.(1,8)
2
x+4x, x≥0,
3.已知函数f(x)= 若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是 ( ) 2
4x-x, x<0,
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
含答案
二、填空题 4.已知函数f(x)____________.
5.若函数f(x)=a|x-b|+2在[0,+∞)上为增函数,则实数a、b的取值范围是____________.
ax+1
6.设函数f(x)=(-2,+∞)上是增函数,那么a的取值范围是__________.
x+2a
ex-2 x≤0
7.已知函数f(x)= (a是常数且a>0).对于下列命题:
2ax-1 x>0
-
3-ax
(a≠1).若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是a-1
①函数f(x)的最小值是-1; ②函数f(x)在R上是单调函数;
1 ③若f(x)>0在 2 上恒成立,则a的取值范围是a>1;
x1+x2f x1 +f x2
④对任意的x1<0,x2<0且x1≠x2,恒有f 其中正确命题的序号是
2 2<________.
三、解答题
8.已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0时,有f a +f b
成立. a+b
(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明它; 11
(2)解不等式:f(xf();
2x-1
(3)若f(x)≤m2-2am+1对所有的a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
第二讲 答案
要点梳理
1.(1)f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 上升的 下降的 (2)增函数 减函数 区间D 2.(1)f(x)≤M (2)f(x0)=M (3)f(x)≥M (4)f(x0)=M 基础自测
4
1.[1,4] 8 2.1 3.(-3,0) 4.A 5.C
3题型分类·深度剖析
例1 (1)解 由2f(1)=f(-1),
含答案
可得22-2a2+a,得a=
. 3
(2)证明 任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,
f(x1)-f(x2)x1+1-ax1x2+1+ax2=x1+1-x2+1-a(x1-x2)
=
2
x21-x2x1+1+x2+1
a(x1-x2)
=(x1-x2)
x1+x2 a . x1+1x2+1
∵0≤x1<x1+1,0<x2x2+1,
∴x+1x+112
x+x又∵a≥1,∴f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x)在[0,+∞)上单调递减. (3)解 任取1≤x1<x2, f(x1)-f(x2) =(x1-x2)
x+x a , x1+1x2+1
∵f(x)单调递增,所以f(x1)-f(x2)<0. 又x1-x2<0, 那么必须
-a>0恒成立. x1+1+x2+1x1+x2
222
∵1≤x1<x2 2x21≥x1+1,2x2>x2+1, 2x1≥x1+1,2x2x2+1. 相加得2(x1+x2)>x1+1+x2+1
22
,∴0<a. 22x+1x+112
x1+x2
变式训练1 (1)证明 任设x1<x2<-2, 则f(x1)-f(x2)=
xx x1+2x2+2
2 x1-x2 = x1+2 x2+2
∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,
∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)解 任设1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=
xxx1-ax2-a
含答案
a x2-x1 = x1-a x2-a ∵a>0,x2-x1>0,
∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,∴a≤1. 综上所述知0<a≤1.
例2 解 令u=x2-3x+2,则原函数可以看作y=log1u与u=x2-3x+2的复合函
2
数.令u=x2-3x+2>0,则x<1或x>2.
∴函数y=log1(x2 3x 2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).
2
3
又u=x2-3x+2的对称轴x=.
2
∴u=x2-3x+2在(-∞,1)上是单调减函数,在(2,+∞)上是单调增函数. 而y=log1u在(0,+∞)上是单调减函数,
2
∴y=log1(x2 3x 2)的单调减区间为(2,+∞),单调增区间为(-∞,1).
2
变式训练2 解 令u=x2+x-6,y=x+x-6可以看作有y=u与u=x2+x-6的 复合函数.
由u=x2+x-6≥0,得x≤-3或x≥2.
∵u=x2+x-6在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而yu在(0,+∞)上是增函数.
∴yx+x-6的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞). 例3 (1)证明 方法一 ∵函数f(x)对于任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令x=y=0,得f(0)=0. 再令y=-x,得f(-x)=-f(x). 在R上任取x1>x2,则x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). 又∵x>0时,f(x)<0,
而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2). 因此f(x)在R上是减函数. 方法二 设x1>x2,
则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2),
含答案
∴f(x)在R上为减函数. (2)解 ∵f(x)在R上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数,
∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3). 而f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2. 变式训练3 解 (1)∵当x>0,y>0时, xf y=f(x)-f(y),
∴令x=y>0,则f(1)=f(x)-f(x)=0. (2)设x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, x 则f(x2)-f(x1)=f x ,
1
xx∵x2>x1>0.>1,∴f x1>0. x1
∴f(x2)>f(x1),即f(x)在(0,+∞)上是增函数. (3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函数. ∴f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f(16), x ∵f(4)=2,由f y =f(x)-f(y), 16 知f 4 =f(16)-f(4), ∴f(16)=2f(4)=4,
∴f(x)在[1,16]上的值域为[2,4]. 课时规范训练 A组
1.B 2.D 3.A 4.[3,+∞) 5.①③ 6.(1,+∞) 7.(1)证明 设x2>x1>0,设x2-x1>0, x1x2>0,∵f(x2)-f(x1) 11 11= ax2- ax1 11x2-x1=-, x1x2x1x2
∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的.
1 11
,2上的值域是 2 ,又f(x)在 2 上单调递增, (2)解 ∵f(x)在 2 2 2 1 12
∴f f(2)=2.∴易得a= 2 25
含答案
8.解 设-1<x1<x2<1, 则f(x1)-f(x2)=
axax x1-1x2-1
a x2-x1 x1x2+1 =. x1-1 x2-1
2∵-1<x1<x2<1,∴x2-x1>0,x21-1<0,x2-1<0.-1<x1x2<1,
∴x1x2+1>0. x2-x1 x2x1+1 ∴ x1-1 x2-1
因此,当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数. B组
1.B 2.B 3.C 4.(-∞,0)∪(1,3] 5.a>0且b≤0 6.[1,+∞) 7.①③④
8.解 (1)任取x1,x2∈[-1,1],且x1<x2, 则-x2∈[-1,1],∵f(x)为奇函数, ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) f x1 +f -x2 =(x1-x2),
x1+ -x2
f x1 +f -x2
由已知得>0,x1-x2<0,
x1+ -x2 ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[-1,1]上单调递增. (2)∵f(x)在[-1,1]上单调递增,
1
∴ -1≤x21,
1 -1≤ x-11.
11
x+,2x-1
3
∴-x<-1.
2
(3)∵f(1)=1,f(x)在[-1,1]上单调递增. ∴在[-1,1]上,f(x)≤1. 问题转化为m2-2am+1≥1, 即m2-2am≥0,对a∈[-1,1]成立.
含答案
下面来求m的取值范围. 设g(a)=-2m·a+m2≥0.
①若m=0,则g(a)=0≥0,对a∈[-1,1]恒成立.
②若m≠0,则g(a)为a的一次函数,若g(a)≥0,对a∈[-1,1]恒成立,必须g(-1)≥0,且g(1)≥0, ∴m≤-2,或m≥2.
∴m的取值范围是m=0或m≥2或m≤-2.
正在阅读:
第二讲 函数的单调性与最值05-20
寒假社会实践报告通知02-29
03-高墩多跨连续刚构桥最优合龙顺序选择08-19
《党校工作条例》李君如解读12-05
日本语专业第二册习题0712-23
浅谈社会保障基金的管理与监督-201020070-宋姜威10-01
入党申请书模板02-24
仲裁申请书模板03-31
2015年产品质量回顾报告片06-21
寒假社会实践范文02-17
- 教学能力大赛决赛获奖-教学实施报告-(完整图文版)
- 互联网+数据中心行业分析报告
- 2017上海杨浦区高三一模数学试题及答案
- 招商部差旅接待管理制度(4-25)
- 学生游玩安全注意事项
- 学生信息管理系统(文档模板供参考)
- 叉车门架有限元分析及系统设计
- 2014帮助残疾人志愿者服务情况记录
- 叶绿体中色素的提取和分离实验
- 中国食物成分表2020年最新权威完整改进版
- 推动国土资源领域生态文明建设
- 给水管道冲洗和消毒记录
- 计算机软件专业自我评价
- 高中数学必修1-5知识点归纳
- 2018-2022年中国第五代移动通信技术(5G)产业深度分析及发展前景研究报告发展趋势(目录)
- 生产车间巡查制度
- 2018版中国光热发电行业深度研究报告目录
- (通用)2019年中考数学总复习 第一章 第四节 数的开方与二次根式课件
- 2017_2018学年高中语文第二单元第4课说数课件粤教版
- 上市新药Lumateperone(卢美哌隆)合成检索总结报告
- 调性
- 函数
- 实验一常用DOS命令操作应用
- 湖泊治理——HDP景观水直接净化技术
- 江西省南康市职业中等专业学校大记事
- 2011年第九届希望杯五年级初赛试题及讲解
- 淘淘商城第五天笔记
- 鲁教版七年级下册英语期末检测题
- 小升初阅读——古诗文选择题
- 高中英语阅读理解题型及解题技巧
- 第二章 写作主体与客体
- 16算理、几何推理分析及尺规作图与推理
- 2011-2012年度第一学期班主任工作计划
- 常见的五种悬架类型
- 2012版深圳牛津英语七年级上册期末复习资料-Unit 4 Seasons-试题4
- 能治病的奇特方法:打通任督二脉的奇特方法
- 螺纹大小径公差对照表1
- 八年级物理下册第九章电与磁单元测试卷及答案
- 隧道工程作业指导书云桂项目部
- 欧盟统一商标注册要件研析——以案例为基础的解读
- 最新 广东 音乐教案花城版第八册(2013版)
- 关于苏轼的材料_朗月清辉_新浪博客