信息光学第二章习题答案

第二章作业

2.4 试阐述傅里叶自成像与一般几何成像的不同。 2.5 为什么说自由空间的菲涅尔衍射过程是一个低通滤波过程？其截止频 率是多少？ 2.6 光场从入射面经自由空间传输至某一距离后，在观测面上某点得到零 强度分布。现在入射面上先后放置两互补衍射屏，试问在观测点处先后所 得的强度有什么关系？说明理由。

x y 2 x y 2 解：1)双矩孔透射率函数为： t x , y rect , rect , 1 1 1 1 1 1

X

Y

X

Y

用单位振幅的单色平面波垂直照明，其透射光场为： Ut x1, y1 t x1, y1 2)在观察面上的衍射场为：2 2 y0 1 ikz i 2kz x0 U 0 ( x0 , y0 ) e e U t ( x1 , y1 ) i z 2 2 y0 1 ikz i 2kz x0 x y 2 x1 y1 2 = e e rect 1 , 1 rect , i z Y Y X X

2 2 eikz i 2kz ( x0 x1 y1 2 y0 ) e rect rect i z X X y1 2 rect 利用矩形函数可分离变量特性 Y 2 2 eikz i 2kz ( x0 i f y i f y y0 ) e X sin c Xf x Y sin c Yf e Y sin c Yf e y y i z 2 2 eikz i 2kz ( x0 i f y i f y y0 ) e XY sin c Xf x sin c Yf y e e i z 2 2 eikz i 2kz ( x0 y0 ) e 2 XY sin c Xf x sin c Yf y cos f y i z 2 2 eikz i 2kz ( x0 y0 ) e 2 XY sin c Xf x , Yf y cos f y i z

3)将 f x x0 z , f y y0 z 代入上式得到衍射图样的光强分布：I x0 , y0 U 0 ( x0 , y0 )U 0* ( x0 , y0 ) x0 y0 2 y0 2 XY 2 ,Y sin c X cos z z z z 2

将

X Y 3 10 m 1 , 1 m 1, m 1代入 z z z 22

y0 XY 2 2 3 I x0 , y0 4 sin c 10 x , y cos 0 0 z 2

4)讨论远场光强的分布特性：讨论x0方向的衍射图案。令y0=0,有

I x0 , y0 4 XY sin c 2 10 x0 2

n 其极小值位置为：x0 (m ) n 1, 2,... 10

讨论y0方向的衍射图案。令x0=0,有2 3 y0 I x0 , y0 4 XY sin c 2 y0 cos 2 2

3 其极小值位置由y0 n n 1, 2,... 及 y0 2n 1 决定， 2 2 1 5 7 即y0 , 1, , 2, , 3... 3 3 3

解：环形带的透过率函数为： x1 y1 x1 y1 t ( x1 , y1 ) rect , rect , 2 a 2 a a

a

用单位振幅的单色平面波垂直照明，其透射光场为：Ut x1, y1 t x1, y1

在观察面上的衍射场为：2 2 y0 1 ikz i 2kz x0 U 0 ( x0 , y0 ) e e t ( x1 , y1 ) i z 2 2 eikz i 2kz ( x0 x y x y1 y0 ) e rect 1 , 1 rect 1 , i z 2 a 2 a a a 2 2 eikz i 2kz ( x0 2ax0 2ax0 y0 ) 2 e , 4a sin c i z z z

ay0 ay0 i 2 ( 0z 0z ) 2 , a sin c e z z

x

y

于是光强分布为：x y y x 1 I x0 , y0 4a 2 sin c 2a 0 , 2a 0 a 2 sin c a 0 , a 0 e z z z z z 2 x y i 2 0 0 z z 2

解：用单位振幅的单色平面波垂直照明模块，其 透射光场为：Ut x, y t1 x t2 y

夫琅和费衍射远场光场分布为：1 ikz i 2kz [ x02 y02 ] 1 ikz i 2kz [ x02 y02 ] U ( x0 , y0 ) e e {U t ( x, y )} e e {t1 ( x )t2 ( y )} i z i z 1 ikz i 2kz [ x02 y02 ] e e {t1 ( x )} {t2 ( y )} i z

{t1 ( x )} {t10 t cos(2 f x x )} {t10 ' 10

' t10 2

i 2 f x x i 2 f x x e e }

t10 ( f1 ) 同样有

' t10 2

( f1 f x ) ( f1 f x ) ' 20' t20 2

{t2 ( y )} {t20 t cos(2 f y y )} {t2 t20 ( f 2 ) 于是' t20 2

ei 2 f y y e i 2 f y y }

( f 2 f y ) ( f 2 f y )

{t1 ( x )} {t2 ( y )}= t10 ( f1 ) t10 2 ( f1 f x ) ( f1 f x ) '

t ( f ) 20 2

' t20 2

( f 2 f y ) ( f 2 f y ) t10 ( f1 )t20 ( f 2 ) t' t10 2 ' t10 2 ' t20 2 ' t10 2 ' t10 2

' t20 10 2

( f1 ) ( f 2 f y )

t' t10 2

' t20 10 2

( f1 ) ( f 2 f y ) ( f1 f x )t20 ( f 2 ) ( f1 f x ) ( f 2 f y ) ' t20 2 ' t20 2

' t20 2

( f1 f x ) ( f 2 f y ) ( f1 f x )t20 ( f 2 ) ( f1 f x ) ( f 2 f y )' t10 2

( f1 f x )

( f2 f y )

t10t20 ( f1 , f 2 ) t ' t10 2 20 ' ' t10 t20 2 2 ' ' t10 t20 2 2

' t20 10 2

( f1 , f 2 f y ) t' ' t10 t20 2 2 ' t10 2 20 ' ' t10 t20 2 2

' t20 10 2

( f1 , f 2 f y )

t ( f1 f x , f 2 )

( f1 f x , f 2 f y ) t ( f1 f x , f 2 )

( f1 f x , f 2 f y ) ( f1 f x , f 2 f y )

( f1 f x , f 2 f y )

可见有九种空间频率分量 (0,0),(0, f y ),( f x ,0),(f x , f y ),(-f x , f y )

f x =cos / ,f y =cos / , 换算

成角谱为 (0, 0), (0, f ) y cos ,cos ( f x , 0) ( f , f ) x y ( f x , f y ) 零级 y方向 1级 x方向 1级 x方向1级，y方向 1级 x方向-1级，y方向 1级

' ' U t x, y t1 x t2 y t t cos 2 f x t t x 10 10 20 20 cos 2 f y y

由欧拉公式得 ei 2 f x x e i 2 f x x e cos 2 f x x ,cos 2 f y y 2i 2 f y y

e 2

i 2 f y y

1 ' i 2 f y y i 2 f y y 1 ' i 2 f x x i 2 f x x U t x, y t10t20 t10t20 e e t20t10 e e 2 2 1 ' ' i 2 f x x 2 f y y i 2 f x x 2 f y y i 2 f x x 2 f y y i 2 f x x 2 f y y t10t20 e e e e 4

2.4、试阐述傅里叶自成像与一般几何成像 的不同。

答：傅里叶成像是指用单色光波垂直照射一个周期 性结构物体(如透射光栅)时，在物体的后面周期 性距离上出现物体的像。它与一般的几何成像不同点： (1)照明方式是单色光垂直照明，几何成像也没 有这个限制。 (2)只对周期性结构的物体成像，而几何成像没 有这个限制。 (3)它可在一系列位置上成像，而几何成像对物 距、光学系统一定时，像的位置是唯一确定的。

2.5、为什么说自由空间的菲涅尔衍射过程 是一个低通滤波过程？其截止频率是多少？答：菲涅耳衍射的传递函数为： i 2 z e H fx, f y 0 1 f x f y2

2

f x2 f y2

1

2

其它fx2 f y2 1

由上式可知，当空间频率满足 时，光束在 自由空间传输只是附加了空间频率相关的相位，相 对振幅分布不变。 1 f f H f , f 0 。这说明该系统是一个低 当 时， x y 通滤波器。2 2 2 x y 2

其截止频率为：

0

fx2 f y2

1

2.6、光场从入射面经自由空间传输至某一距 离后，在观测面上某点得到零强度分布。现 在入射面上先后放置两互补衍射屏，试问在 观测点处先后所得的强度有什么关系？说明 理由。

答：由于自由空间传输时的复振幅为0,由巴 俾涅原理可知，两个互补屏之间有：U1 P 0 U2 P 0 I1 P 0 I2 P 0

即在观测点处先后所得的强度相等。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1mxe.html