近世代数自考2002下

二○○年下半年广东省高等教育自学考试

近世代数试卷

(考试时间：150分钟) (标准号：3764)

一、单项选择题(在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题干的括号内。每小题1分，共25分)

1．设A，B是两个集合，则A??B的意义是(C) A． 对于?a?A，a?B B． 对于a?B，a?A

C．存在a?A使a?B D．存在a?B，使a?A

2． 设R是实数集，R上的运算是普通实数乘法，以下映射(A)是R到R的同态映射。

A． ?：x ? |x| B． ?：x ? 2x C． ?：x ? ?x D． ?：x ? x +2 3． 设R是实数集，定义R到R的映射， ?：x ? x2 则有结论(D)。

A． ?是单射 B． ?是满射 C． ?是一一映射 D． ?不是单射，也不是满射

4．设z是整数集，在z上定义运算○， x○y = 2x + y ?1，满足(D )中的运算规律。 A．结合律 B．对加法的分配律 C．交换律 D． 消去律

5．设P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，Q = {0, 1, 2, 3}, 对于n?P，n = 4q + r，其中r是4除n的余数，定义?(n) = r，则?是P到Q上的映射，P的子集P1 = {1, 2, 4, 5, 6, 8}在?下的象是(A)。

A．{0, 1, 2} B．{4, 5, 8} C．{1, 2, 4, 5, 6, 8} D．{2, 5, 8} 6．四次对称群S4的元素(1234)的逆元是(D)。

A．(1324) B．(1234) C．(1423) D．(1432) 7．假定群的元a的阶是15，则a6的阶是(A)。

A．5 B．10 C．15 D．20 8．对于4次置换群S4，下列说法正确的是(B)。

A． S4只有两个子群 B． S4的所有偶置换作成子群 C． S4是交换群 D．S4是循环群 9． 模6的剩余类加群G中有(B)个元可以生成G本身。

A．1 B．2 C．3 D．4 10．设G是一个群，a, b, c?G，方程xaxba＝xbc的解是(A)。

A x = a?1bca-1b?1 B． x=bca?1b?1 C． x = a?1bcb?1a?1 D． x = bcb?1a?1 11．设?是环R到环R的同态，则(A)。

A． ?的同态核是R的理想 B． ?的同态核是R中的零元素 C． ?的同态核是R中的零元素 D． ?的同态核是R中的单位元 12．一个有单位元1的没零因子的交换环称作(A)。

A．整环 B．除环 C．域 D．整数环

13．在下面各情形中，R为一个环，N是R的子环，(B)中的N是R的主理想。

A．R = R (实数环)，N = Q (有理数环)

B．R = F[x]，(F为一域)，N＝{x2f (x) | f(x)?F[x]} C．R = Q (有理数环)，N = Z (整数环)

D．R = Z[x]，(Z为整数)，N = {2a0 + a1x + … + anxn | ai?Z} 14．设 R是整环，则(A)。

A．R上的多项式环R[x]一定是整环 B．R上的多项式环R[x]不一定是整环 C．R上的多项式环R[x]有零因子 D．R上的多项式环R[x]一定不是整环 15．设Z12是模12的剩余类环，则(C)中集合是Z12的子环。

A．{[2], [4], [6], [8], [10]} B．{[3], [6], [9]}

C．{[0], [4], [8]} D． {[0], [2], [3], [4], [6]} 16．设环R到R有一个环同态满射?，则下面论断(C)是正确的。 A． R与R若都是整环，则特征相等。 B．若R为无限集，则R也为无限集

C．R的元a的负元?a的象?(?a)为? (a)在R中的负元??(a) D．若R是域，则R也是域

17．在通常的加法、乘法下，不构成环的集合是(A)。

A． {3k + 1 | k?Z}，Z为整数集 B．复数集 C

C．所有偶整数集 D．{a+b7| a, b?Q}，Q为有理数集 18．设R是一个整环，R的特征为p (素数)，则有结论(B)

A．R的同态像R1的特征也是p B．R的子环的特征也是p C．R的零元的阶数是p D．R的商域的特征是? 19． 设 ? 和p分别是整环I中的单位和素元，则 ?p是I的(B)

A．单位 B．素元 c．有真因子p的元 D．有真因子 ? 的元 20． 设Z6[x]是模4的剩余类环上的多项式环，则 (D) 是Z6[x]中的单位。 A．x B．[5]x，[1]x C．[5]x +[1] D．[5], [1] 21．在z5[x]中，(C) 中的元素是f (x) = x2 ?x + [3] 的根。

A．[0] B． [1] C． [2] D． [3] 22．设R是一个有单位元的环，则 (C)。 A．R的每一个元素a对乘法有逆元a?1 B．R的元素a的对乘法的逆元有无限多个 C．R的元素a对乘法如有逆元，必是唯一的 D．R的每个元素对乘法都没有逆元

23．设R是实数环，则 (A) 是多项式环R[x]中的素元。

A．2x + 4 B．x2 ?7 C．x3 ?6 D．4x2 + 8x + 4 24．令Q为有理数域，问 ([Q(i)?2?:Q(i)]?(B)。

A．1 B．2 C．3 D． 4 25．假设 F是有理数域，那么复数i在F上的极小多项式是(D)

A．x + 1 B．x2 + x + 1 C．x2 ? x + 1 D．x2 + 1

二、填空题 (每小题2分，共20分)

26． 设映射?为A到B的单射，?为B到c的单射，那么?? 是 A到C的单 映射。 27．设A = {a, b, c}，A上的代数运算○由运算表给出

则(a○b)○c = a 。

28．设 ? 是A的一个一一变换，则??1 [?(a)] = a ，其中a是A的一个元。 29． 设G是群，a, b?G，则(ab)?1 = b?1a?1 。

30． 包含n个元的集合的全体置换作成的群叫 n次对称 群 。

31．设有限群G与有限群G同态，它们的元素个数分别为m、n，则m、n的大小关系为 m ? n 。

32． 设R是实数域上的2阶方阵环，则R 不满足 交换律。 33． 无零因子环R的特征是指 非零元对加法的相同的阶 。 34．设C是复数域，则含于C中且含有i的最小子域是 Q(i) 。 35．在唯一分解环R中，d ? R，a1, a2, ．．．, an ? R，d称为元a1, a2, ．．．, an的最大公因子，

如果(1) d是a1, a2, ．．．, an的公因子；(2) 若c是a1, a2, ．．．, an的公因子，则c是d的公因子 。

三、计算题(一) (9分)

36．设 Z8是模8的剩余类加群，求出Z8的所有子群，[3], [2]生成的子群分别是什么？ 解：Z8的所有子群是： ([0]) = {[0]};

([1]) = ([3]) = ([5]) = ([7]) = {[0], [1], [2] , [3] , [4] , [5] , [6] , [7]} ([2]) = ([6]) = {[0], [2] , [4] , [6]}

([4]) = {[0], [4]} 三、计算题(一) (9分)

37．设 Q是有理数域，f (x) = x2 + x + 1，在环Q[x]/(f (x))中计算：

(2x2?x?3)?(3x2?4x?1),22(x?1)。

?1?1解： (2x?x?3)?(3x?4x?1) (x?1)

?(2x2?x?3)(3x2?4x?1) ??x。

?6x4?5x3?11x2?13x?3

?30x?3；

五、应用题（10分）

38． 令R为由全体整数作成的集合，问：R对于运算

a ? b = a + b ? 1，a ○ b = a + b ? ab 是否作成环？为什么？ 解：是。

R对 ? 作成加群，零元为 1，?a?R的负元是 2 ? a； R对 ○ 作成半群；? 与 ○ 满足分配律。

六、证明题（一）（每小题5分，共10分）

39． 设Z是整数集，在Z上定义关系“～”：?a,b?Z，a～b当且仅当 ?7|(a ? b)， 证明：“～”是Z上的等价关系。

证： 1? 对 ?a?Z， ∵ ?7|(a ? a) ∴ a～a；

2? 对 ?a,b?Z， a～b，?7|(a ? b),从而 ?7|(b ? a), ∴ b～a； 3? 对 ?a,b,c?Z， 若 a～b，b～c，则 ?7|(a ? b)，?7|(b ? c)，

∴ ?7|(a ? c)， 即 a～c； 由 1?, 2?, 3? 可知，“～”是Z上的等价关系。

40． 设G是一个群，u是G中取定的元。在G中规定运算“○”，a○b = au?2b，其中右边是G中的运算，u?1是u在G中的逆元。 证明：G在“○”下是群。

证： 1? 对 ?a,b?G， a○b?G；

2? 对 ?a,b,c?Z， (a○b)○c = (au?2b)u?2c = au?2(bu?2c) = a○(b○c)； 3? G对○有单位元u2；

4? 对?a?G，a有逆元u2a?1u2 。

七、证明题（二）（每小题8分，共16分）

41． 设Q是有理数域，Q[x]中多项式x2 ?1，x2 + 2x + 1生成的理想是

(x2 ?1, x2 + 2x + 1) = I。 证明：I = (x + 1)。 证：x2 ?1和x2 + 2x + 1的最大公因式是x + 1。 42． 设Z为整数环，Zm是模m的剩余类环。(m)是Z中由m生成的理想。证明：Z / (m) = Zm。 证： 对?a, b?Z，a ? b?(m) ? m | a ? b, ∴ Z / (m) = Zm 。

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