第二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛参考试题及详解

第二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛参考试题及详解

“华罗庚金杯”少年数学邀请赛每隔一年举行一次。今年是第二届。问2000年是第几届？

【解法】“每隔一年举行一次”的意思是每2年举行一次。今年是1988年，到2000年还有2000-1988=12年，因此还要举行12÷2=6届。今年是第二届，所以2000年是2＋6=8届 答：2000年举行第八届。

【分析与讨论】这题目因为数字不大，直接数也能很快数出来：1988、1990、1992、1994、1996、1998、2000年分别是第二、三、四、五、六、七、八届。

一个充气的救生圈（如图32）。虚线所示的大圆，半径是33厘术。实线所示的小圆，半径是9厘米。有两只蚂蚁同时从A点出发，以同样的速度分别沿大圆和小圆爬行。问：小圆上的蚂蚁爬了几圈后，第一次碰上大圆上的蚂蚁？

【解法】由于两只蚂蚁的速度相同，由距离÷速度=时间这个式子，我们知道大、小圆上的蚂蚁爬一圈的时间的比应该等于圈长的比。而圈长的比又等于半径的比，即：33∶9。

要问两只蚂蚁第一次相遇时小圆上的蚂蚁爬了几圈，就是要找一个最小的时间，它是大、小圆上蚂蚁各自爬行一圈所斋时间的整数倍。由上面的讨论可见，如果我们适当地选取时间单位，可以使小圆上的蚂蚁爬一圈用9个单位的时间，而大圆上的蚂蚁爬一圈用33个单位的时间。这样一来，问题就化为求9和33的最小公倍数的问题了。不难算出9和33的最小公倍数是99，所以答案为99÷9=11。

答：小圆上的蚂蚁爬了11圈后，再次碰到大圆上的蚂蚁。

【分析与讨论】这个题目的关键是要看出问题实质是求最小公倍数的问题。注意观察，看到生活中的数学，这是华罗庚教授经常启发青少年们去做的。 图33是一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔？

【解法】这个题目的做法很多。由于时间所限，直接数是来不及的，而且容易出错。下图（图34）给出一个较好的算法。把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如图34。平行四边形中的棋孔数为9×9=91，每个小三角形中有10个棋孔。所以棋孔的总数是81＋10×4=121个

答：共有121个棋孔。

【分析与讨论】玩过跳棋的同学们，你们以前数过棋孔的数目吗？有兴趣的同学在课余时都可以数一数，看谁的方法最巧？

有一个四位整数。在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加，得数是2000.81。求这个四位数。

【解法1】由于得数有两位小数，小数点不可能加在个位数之前。如果小数点加在十位数之前，所得的数是原米四位数的百分之一，再加上原来的四位数，得数2000.81应该是原来四位数的1.01倍，原来的四位数是2000.81÷1.01＝1981。

类似地，如果小数点加在百位数之前，得数2000.81应是原来四位数的1.001倍，小数点加在千位数之前，得数2000.81应是原来四位数的1.0001倍。但是（2000.81÷1.001）和（2000.81÷1.0001）都不是整数，所以只有1981是唯一可能的答案。 答：这个四位数是1981。

【解法2】注意到在原来的四位数中，一定会按顺序出现8，1两个数字。小数点不可能加在个位数之前；也不可能加在千位数之前，否则原四位数只能是8100，在于2000.81了。

无论小数点加在十位数还是百位数之前，所得的数都大于1而小于100。这个数加上原来的四位数等于2000.81，所以原来的四位数一定比2000小，但比1900大，这说明它的前两个数字必然是1，9。由于它还有8，1两个连续的数字，所以只能是1981。

【分析与讨论】解法1是用精确的计算，解法2靠的是“判断”。判断也需要技巧，而且是建立在对问题的细致分析上。

这里需要指出，不能一看到得数2000.81中有二位小数就得出“小数点正好加在十位数之前”的结论。请同学们想想为什么？

图35是一块黑白格子布。白色大正方形的边长是14厘米，白色小正方形的边长是6厘米。问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？

【解法】格子布的面积是图36面积的9倍，格子布白色部分的面积也是图36上白色面积的9倍。这样，我们只需计算图36中白色部分所占面积的百分比就行了。这个计算很简单：

答：格子布中白色部分的面积是总面积的58％。

【分析与讨论】这个题目的关键是看到格子布可以分割成9块如图35的正方形。这实质上是利用了格子布的“对称性”：格子布图案是由一块图案重复地整齐排列而成的。

“对称”不仅是数学中的重要概念，而且是自然界构成的一条基本规律。因此，自古以来，在各个不同领域，如数学、物理学、化学、甚至美学等，都把“对称性”与“不对称性”作为重要的课题来研究。著名数学家H·魏尔曾专门写过一本名为《对称》的书（有中译本），内容非常丰富，思想极其深刻，很值得一读。

图37是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字。问：这六个方框中的数字的连乘积等于多少？

图 37

【解法】两数相减，习惯上先考虑个位数。但仔细看一下就会发现，两个二位数的个位是不确定的：这两个个位数同时加1或同时减1，它们的差不变。这样一来，六个方框中的数字的连乘积就会不确定了，除非有一个方框的数字是0，使得乘积总是0。这就启发我们试着找方框中的0。 两个三位数的首位当然不是0，因此减数的首位最少是1，被减数的首位至多是9。但因为差的首位是8，所以只有一种可能，就是被减数首位是9，减数的首位是1。

这样一来，第二位数上的减法就不能借位了。被减数的第二位至多是9而减数的第二位至少是0，这两数的差是9，所以也只有一种可能：被减数的第二位是9，减数的第二位是0。这样我们就确定了六个方框中有一个方框里的数必是0。 答：六个方框中的数字的连乘积等于0。

【分析与讨论】这道题不需要完全确定这两个三位数，而且也不能完全确定，例如被减数与减数可以分别是（996，102），也可以是（994，100），（999，105），等等。 有的同学会说：这个题目的答案是猜出来的。

“猜”也是数学上的一种方法。数学上有许多著名的猜想对数学的发展产生了重要的影响。这里要着重说明二点：第一，数学上的“猜想”不是毫无根据的“胡思乱想”，而是指数学家对

问题经过深入的分析或大量的例证检验后所设想的答案；是有一定道理的。象本题的解法中，我们经过分析发现，如果六个方框中没有0，这个题目的答案就不是唯一的了，所以猜想答案是0。如果猜测答案是100就没有道理了。第二，“猜想”不等于答案，猜想要经过严格的证明才能成为答案。例如，著名的哥德巴赫猜想至今还未能得到证明，因此仍然被称为“猜想”。

图38中正方形的边长是2米，四个圆的半径都是1米，圆心分别是正方形的四个顶点。问：这个正方形和四个圆盖住的面积是多少平方米？

【解法】每个圆和正方形的公共部分是一个扇形，它的面积是圆的面积的四分之一。因此，整个图形的面积等于正方形的面积加上四块四分之三个圆的面积。而四块四分之三个圆的面积等于圆面积的三倍。因此，整个图形的面积等于正方形的面积加上圆面积的三倍，也就是 2×2＋π×1×1×3≈13.42（平方米）。

答：这个正方形和四个圆盖住的面积约是13.42平方米。

有七根竹竿排成一行。第一根竹竿长1米，其余每根的长都是前一根的一半。 问：这七根竹竿的总长是几米？

【解法】我们这样考虑：取一根2米长的竹竿，把它从中截成两半，各长1米。取其中一根作为第一根竹竿。将另外一根从中截成两半，取其中之一作为第二根竹竿。如此进行下去，到截下第七根竹竿时，所剩下的一段竹竿长为

因此，七根竹竿的总长度是2米减去剩下一段的长，也

【分析与讨论】中国古代就有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这样一个算术问题。就是说，有一根一尺长的短棍，每天截去它的一半，永远也截不完。那么，每天剩下多少呢？第七天剩下多少呢？

用上面的解法计算七根竹竿的总长，时间是绰绰有余的。但如果先把每根竹竿都算出来再相加，需要通分，时间恐怕就来不及了。同学们不妨试一试。

有三条线段A、B、C，A长2.12米，B长2.71米，C长3.53米，以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形。问：第几个梯形的面积最大？

【解法】首先注意，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。但我们现在是比较三个梯形面积的大小，所以不妨把它们的面积都乘以2，这样只须比较（上底＋下底）×高的大小就行了。我们用乘法分配律：

第一个梯形的面积的2倍是：

（2.12＋3.53）×2.71＝2.12×2.17＋3.53×2.71 第二个：

（2.71＋3.53）×2.12＝2.71×2.12＋3.53×2.12 第三个：

（2.12＋2.71）×3.53＝2.12×3.53＋2.71×3.53

先比较第一个和第二个。两个式子右边的第一个加数，一个是2.12×2.71，另一个是2.71×2.12。由乘法交换律，这两个积相等。因此只须比较第二个加数的大小就行了。显然3.53×2.71比3.53×2.12大，因为2.71比2.12大。因此第一个梯形比第二个梯形的面积大。

类似地，如果比较第一个和第三个，我们发现它们有边第二个加数相等，而第一个加数2.12×2.71＜2.12×3.53。因此第三个梯形比第一个梯形面积大。 综上所述，第三个梯形面积最大。 答：第三个梯形面积最大。

【分析与讨论】做这个题目应该充分利用所学过的乘法交换律、乘法分配律等知识，而不应该直接计算面积。很明显，直接计算三个梯形的面积要浪费很多时间。

有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃。中午12点整， 电子钟响铃又亮灯。问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？

【解法】因为电子钟每到整点响铃，所以我们只要考虑哪个整点亮灯就行了。从中午12点起，每9分钟亮一次灯，要过多少个9分钟才到整点呢？由于1小时＝60分钟，这个问题换句话说就是：9分钟的多少倍是6O分钟的整数倍呢？这样一来问题的实质就清楚了：是求9分和60最小公倍数。

不难算出9和60的最小公倍数是180。这就是说，从正午起过180分钟，也就是3小时，电子钟会再次既响铃又亮灯。

答：下一次既响铃又亮灯时是下午3点钟。

【分析与讨论】这样的问题在生活中到处都会遇到。同学们能不能再举些例子呢？

一副扑克牌有四种花色，每种花色有13张。从中任意抽牌。问：最少要抽多少张牌，才能保证有四张牌是同一花色的？

【解法】这里“保证”的意思就是无论怎样抽牌，都一定有4张牌为同一花色。

我们先看抽12张牌是否能保证有4张同花的？虽然有时12张牌中可能有4张同花，甚至4张以上同花，但也可能每种花色正好3张牌，因此不能保证一定有4张牌同花。 那末，任意抽13张牌是否保证有4张同花呢？我们说可以。证明如下：

如果不行的话，那末每种花色最多只能有3张，因此四种花色的牌加起来最多只能有12张，与抽13张牌相矛盾。所以说抽13张牌就可以了。 这种证明的方法称为反证法。

答：至少要抽13张牌，才能保证有四张牌是同一花色的。

【分析与讨论】这个题目用的是所谓“抽屉原则”。比如说有4个抽屉，要在里面放13本书，那么至少有一个抽屉要放4本。这个原则也被称作“鸽子笼原则”或“重迭原则”。

抽屉原则虽然简单，在数学上却有很多巧妙的应用。有兴趣的同学可以阅读常庚哲著的《抽屉原则及其他》这本书。

有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。问：这个班共有多少同学？

【解法1】假定先增加一条船，那么正好每条船坐6人。现在去掉两条船，就会余下6×2＝12名同学没有船坐。而现在正好每条船9人，也就是说，每条船增加9-6＝3人，正好可以把余下的12名同学全部安排上去，所以现在还有12÷3＝4条船，而全班同学的人数是9×4＝36人。 答：这个班共有36个人。

【解法2】由题目的条件可知，全班同学人数既是6的倍数，又是9的倍数，因而是6和9的公倍数。6和9的最小公倍数是18。如果总数是18人，那么每船坐6人需要有18÷6＝3条船，而每船坐9人需要18÷9＝2条船，就是说，每船坐6人比每船坐9人要多一条船。但由题目的条件，每船坐6人比每船坐9人要多用2条船。可见总人数应该是18×2＝36。

【分析与讨论】我国古代有很多类似于这个题目的问题，流传到现在。例如“鸡兔同笼”之类。

这道题也可以用列方程来解。同学们不妨试一试。

四个小动物换座位。一开始，小鼠坐在第1号位子，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号。以后它们不停地交换位子。第一次上下两排交换。第二次是在第一次交换后再左

【分析与讨论】这样的问题在生活中到处都会遇到。同学们能不能再举些例子呢？

一副扑克牌有四种花色，每种花色有13张。从中任意抽牌。问：最少要抽多少张牌，才能保证有四张牌是同一花色的？

【解法】这里“保证”的意思就是无论怎样抽牌，都一定有4张牌为同一花色。

我们先看抽12张牌是否能保证有4张同花的？虽然有时12张牌中可能有4张同花，甚至4张以上同花，但也可能每种花色正好3张牌，因此不能保证一定有4张牌同花。 那末，任意抽13张牌是否保证有4张同花呢？我们说可以。证明如下：

如果不行的话，那末每种花色最多只能有3张，因此四种花色的牌加起来最多只能有12张，与抽13张牌相矛盾。所以说抽13张牌就可以了。 这种证明的方法称为反证法。

答：至少要抽13张牌，才能保证有四张牌是同一花色的。

【分析与讨论】这个题目用的是所谓“抽屉原则”。比如说有4个抽屉，要在里面放13本书，那么至少有一个抽屉要放4本。这个原则也被称作“鸽子笼原则”或“重迭原则”。

抽屉原则虽然简单，在数学上却有很多巧妙的应用。有兴趣的同学可以阅读常庚哲著的《抽屉原则及其他》这本书。

有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。问：这个班共有多少同学？

【解法1】假定先增加一条船，那么正好每条船坐6人。现在去掉两条船，就会余下6×2＝12名同学没有船坐。而现在正好每条船9人，也就是说，每条船增加9-6＝3人，正好可以把余下的12名同学全部安排上去，所以现在还有12÷3＝4条船，而全班同学的人数是9×4＝36人。 答：这个班共有36个人。

【解法2】由题目的条件可知，全班同学人数既是6的倍数，又是9的倍数，因而是6和9的公倍数。6和9的最小公倍数是18。如果总数是18人，那么每船坐6人需要有18÷6＝3条船，而每船坐9人需要18÷9＝2条船，就是说，每船坐6人比每船坐9人要多一条船。但由题目的条件，每船坐6人比每船坐9人要多用2条船。可见总人数应该是18×2＝36。

【分析与讨论】我国古代有很多类似于这个题目的问题，流传到现在。例如“鸡兔同笼”之类。

这道题也可以用列方程来解。同学们不妨试一试。

四个小动物换座位。一开始，小鼠坐在第1号位子，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号。以后它们不停地交换位子。第一次上下两排交换。第二次是在第一次交换后再左

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