应用多元统计分析课后答案 - 朱建平版

第二章

2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X?(X1,X2,?Xp)?的联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是X?(X1,X2,?Xp)?的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p。 2.2设二维随机向量(X1解：设(X1X2)?服从二元正态分布，写出其联合分布。

??12?12??，则其联?2?，协方差矩阵为?2????212?X2)?的均值向量为μ???1合分布密度函数为

?12??1???f(x)????2??2????21?2?2.3已知随机向量(X1221?1/2?12??????1??112exp??(x?μ)??(x?μ)?。 ?22??21?2?????X2)?的联合密度函数为

f(x1,x2)?2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)] 22(b?a)(d?c)其中a?x1?b，c?x2?d。求

（1）随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量X1和X2的协方差和相关系数； （3）判断X1和X2是否相互独立。

（1）解：随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差；

fx1(x1)??dc2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]dx 22(b?a)(d?c)d2(d?c)(x1?a)x2 ?(b?a)2(d?c)22(d?c)(x1?a)x2?(b?a)2(d?c)2cd??dc2[(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]dx2 22(b?a)(d?c)2[(b?a)t?2(x1?a)t]dt

(b?a)2(d?c)2c??d?c02(d?c)(x1?a)x2?(b?a)2(d?c)2所以

dc[(b?a)t2?2(x1?a)t2]?(b?a)2(d?c)20d?c?1 b?a?b?a?。 b?a由于X1服从均匀分布，则均值为，方差为

122?1?同理，由于X2服从均匀分布fx2(x2)??d?c??0方差为

2x1??c,d?其它，则均值为

d?c，2?d?c?122。

（2）解：随机变量X1和X2的协方差和相关系数；

cov(x1,x2)??db

ca?b??d?c?2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]?x?x?dx1dx21??2?22?a?22(b?a)(d?c)?????(c?d)(b?a)

36cov(x1,x2)???x?x121? 3（3）解：判断X1和X2是否相互独立。

X1和X2由于f(x1,x2)?fx1(x1)fx2(x2)，所以不独立。

2.4设X?(X1,X2,?Xp)?服从正态分布，已知其协方差矩阵?为对角阵，证明其分量是相互独立的随机变量。

解： 因为X?(X1,X2,?Xp)?的密度函数为

?1??1/2?1??1?f(x1,...,xp)??Σexp?(x?μ)Σ(x?μ)?? ??2??2??p??12???2?2? 又由于Σ???????2???p??22Σ??12?2??p

?1??2?1??Σ?1???????12?2?????? ???1?2??p?则f(x1,...,xp)

??1???2??1??p?1?1??222?1/2?1???Σ?????exp?(x?μ)Σ??12p???2???2?????????

12?2??????????(x?μ)???????1??2???p??p222??11(xp??p)??1??1(x1??1)1(x2??3)???????exp???...????? 12p?2222?2?2??2????12p????i?1p1?i?(xi??i)2?exp????f(x1)...f(xp) 22?i?2??则其分量是相互独立。

2.5由于多元正态分布的数学期望向量和均方差矩阵的极大似然分别为

??X??Xin μi?1nn???(X?X)(X?X)?n Σiii?1?35650.00???12.33???X??μ?17325.00? ??152.50?????201588000.0038900.0083722500.00?13.06716710.00???38900.00Σ?83722500.0016710.0036573750.00??-736800.00-35.800-199875.00?-736800.00??-35.80? ?-199875.00?16695.10??0??111???

I?注：利用 Xp?1?X?1n, S?X?(In?1n1? 其中 )Xnn??nn?1??0?在SPSS中求样本均值向量的操作步骤如下：

1. 选择菜单项Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives，打开Descriptives对话框。

将待估计的四个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.1。

图2.1 Descriptives对话框

2.

单击Options按钮，打开Options子对话框。在对话

框中选择Mean复选框，即计算样本均值向量，如图2.2所示。单击Continue按钮返回主对话框。

图2.2 Options子对话框

3. 单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表2.1，即

样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2）。

表2.1 样本均值向量

在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下： 1. 选择菜单项Analyze→Correlate→Bivariate，打开

Bivariate Correlations对话框。将三个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.3。

2.

图2.3 Bivariate Correlations对话框

单击Options按钮，打开Options子对话框。选择

Cross-product deviations and covariances复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图2.4。单击Continue按钮，返回主对话框。

3.

图2.4 Options子对话框

单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给

出相关分析表，见表2.2。表中Covariance给出样本协差阵。（另外，Pearson Correlation为皮尔逊相关系数矩阵，Sum of Squares and Cross-products为样本离差阵。）

2.6 渐近无偏性、有效性和一致性；

2.7 设总体服从正态分布，X~Np(μ,Σ)，有样本X1,X2,...,Xn。由于X是相互独立的正态分布随机向量之和，所以X也服从正态分布。又

n?n?nE(X)?E??Xin???E?Xi?n??μn?μ

i?1?i?1?i?1?n?1D(X)?D??Xin??2?i?1?n所以X~Np(μ,Σ)。

1DX????in2i?1n?Σ?i?1nΣ nn1??2.8 方法1： Σ?(Xi?X)(Xi?X)? n?1i?11n?XiX? ??i?nXX

n?1i?1n1?)??E(?XiX? E(Σi?nXX) n?1i?11?n???EXX?nEXX ??????ii? n?1??i?1?1?nΣ?1Σ?n?(n?1)Σ?Σ。 ????n?1?i?1n?n?1方法2：S?n?(Xi?1ini-X)(Xi-X)?

?? ???X-μ?(X?μ)X-μ?(X?μ)??????ii?1n ??(X-μ)(X-μ)??2?(X-μ)(X-μ)??n(X?μ)(Xμ?Xμ)?

iiii?1i?1n ??(X-μ)(X-μ)??2n(X?μ)(X?μ)??n(X?μ)(X?μ)?

iii?1nn ??(X-μ)(X-μ)??n(X?μ)(X?μ)?

iii?1S1?n?E()?E??(Xi-μ)(Xi-μ)??n(X?μ)(X?μ)?? n?1n?1?i?1?1?nE(Xi-μ)X(i-μ??)nEX(?μ)(X?μ ???n?1?i?1故

???)?Σ。 ?S为Σ的无偏估计。 n?12.9.设X(1),X(2),...,X(n)是从多元正态分布X~Np(μ,Σ)抽出的一个简单随机样本，试求S的分布。

证明： 设

???Γ??????***1n***???1?n*??*?*??(?ij)为一正交矩阵，即Γ?Γ?I。 ?1??n?X2?Xn?Γ?，

令Ζ=(Ζ1Ζ2?Ζn)=?X1由于Xi(i?1,2,3,4,?n)独立同正态分布,且Γ为正交矩阵

所以???(?1?2??n)独立同正态分布。且有

1n1nE(Χi)?nμ，Var(Zn)?Σ。 Ζn?Χi，E(Ζn)???ni?1ni?1E(Ζa)?E(?rajΧj)j?1nn(a?1,2,3,?,n?1)

?n?rajj?1n1μ n?rnj?0 ?nμ?raji?1Var(Ζa)?Var(?rajΧj)

j?12??rVar?Χj??Σ?raj?Σ

2ajj?1j?1nnn所以Ζ1Ζ2?Ζn?1独立同N(0,Σ)分布。

又因为S?n?(Xi?1nj?X)(Xj?X)?

??XjX?j?nXX?

j?11n1n?????因为nXX??n?nXi??nXi??ZnZ???n

ni?1??ni?1??n又因为

?XX???Xjjj?11X2???X1???X???Xn??2?

????X???n???X1X2?X?1????X2??? ?Xn?ΓΓ?????X????n??Z?1????Z?Zn??2?

?????Z????n?njjnn??Z1Z2所以原式

?XX??ZZ???ZZ??ZZ?

jjnnj?1j?1n??Z2Z????Z1Z12?...?ZnZn-ΖnΖn

故S?????，由于Z,Z,?,Zjj12n?1j?1n?1独立同正态分布

Np(0,Σ)，所以

S???j??j~Wp(n?1,?)

j?1n?12.10.设Xi(ni?p)是来自Np(μi,Σi)的简单随机样本，i?1,2,3,?,k，

（1）已知μ1?μ2?...?μk?μ且Σ1?Σ2?...?Σk?Σ，求μ和Σ的估计。 （2）已知Σ1?Σ2?...?Σk?Σ求μ1,μ2,...,,μk和Σ的估计。

1??x?解：（1）μn1?n2?...?nk??xa?1i?1knaai，

??Σ???xa?1i?1knaai?x??xia?x??

n1?n2?...?nk (2) lnL(μ1,?,μk,Σ)

?ln??(2?)Σ??p?n21knaaexp[???(xi-μa)?Σ-1(xia-μa)]

2a?1i?11n1knaalnL(μ,Σ)??pnln(2?)?lnΣ???(xi-μa)?Σ-1(xia-μa)

222a?1i?12?lnL(μ,Σ)n?11kna??Σ???(Xia?μa)(Xia?μa)??Σ?1??0

?Σ22a?1i?1?lnL(μj,Σ)?μj解之，得

??Σ?1(Xij?μj)?0(j?1,2,...,k)

i?1nj1?j?xj?μnj?xi?1njij??，Σ???xj?1i?1knj??xx?x???ijjijj

n1?n2?...?nk第三章

3.1 试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。

其基本思想和步骤均可归纳为：

答：

第一，提出待检验的假设和H1；

第二，给出检验的统计量及其服从的分布；

第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界 值，从而得到否定域；

第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。

均值向量的检验：

统计量 拒绝域

均值向量的检验：

在单一变量中

当?2已知 z?当?2未知 t?2(X??0)?n |z|?z?/2

(X??0)n |t|?t?/2(n?1)

S1n （S?(Xi?X)2作为?2的估计量） ?n?1i?1 一个正态总体H0：μ?μ0

2协差阵Σ已知 T02?n(X?μ0)?Σ?1(X?μ0)~?2(p) T02???

协差阵Σ未知

(n?1)?p?12n?p2T~F(p,n?p) T?F?

(n?1)p(n?1)p2?1 （T?(n?1)[n(X?μ0)?S 两个正态总体H0：μ1?μ2 有共同已知协差阵 T02?n(X?μ0)]）

n?m2?Σ?1X (X?Y)(?Y)?~2p( ) T02???n?m(n?m?2)?p?12T~F(p,?nm??p1) F?F? 有共同未知协差阵 F?

(n?m?2)p????n?m?n?m2?1（其中 T?(n?m?2)? (X?Y)?S?(X?Y)?）

n?mn?m????(n?p)nZ?S-1Z~F(p,n?p) F?F? 协差阵不等n?m F?p协差阵不等n?m F? 多个正态总体H0：?1??2????k

(n?p)nZ?S-1Z~F(p,n?p) F?F? p

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