自动控制原理及其应用_课后习题答案_3

第三章习题课 (3-1)3-1 设温度计需要在一分钟内指示出响 应值的98%,并且假设温度计为一阶系 应值的 求时间常数T。 统，求时间常数 。如果将温度计放在 澡盆内，澡盆的温度以10oC/min的速度 澡盆内，澡盆的温度以 的速度 线性变化，求温度计的误差。 线性变化，求温度计的误差。 解: c(t)=c(∞)98% t=4T=1 min T=0.25 e-t/T) c(t)=10(t-T+ r(t)=10t e(t)=r(t)-c(t) =10(T- e-t/T) ess=lim e(t) =10T=2.5 t→∞

第三章习题课 (3-2)3-2 电路如图，设系统初始状态为领. 电路如图，设系统初始状态为领. (1)求系统的单位阶跃响应 及uc(t1)=8 求系统的单位阶跃响应,及 求系统的单位阶跃响应 R1 时的t 时的 1值. C=2.5µF R0=20 k R1=200 k C ur R0 - ∞ R1/R0 uc K + 解: G(s)= =Ts + 1 + R1Cs+1 T=R1C=0.5 K=R1/R0=10 t -2t -T) uc(t)=K(1– e =10(1– e ) e-2t=0.2 -2t t=0.8 8=10(1– e ) 0.8=1– e -2t

第三章习题课 (3-2)(2) 求系统的单位脉冲响应，单位斜坡 求系统的单位脉冲响应， 响应,及单位抛物响应在 时刻的值. 及单位抛物响应在t 响应 及单位抛物响应在 1时刻的值. K g(t)= T e-t/T =4 解: t1=0.8 R(s)=1 1 R(s)= s2 uc(t)=K(t-T+Te-t/T)=4 1 1 Uc(s)=Ts K 1 s3 R(s)= s3 + 1 - T + T2 - T2 ) =K( s3 s2 s s+1/T 1 uc(t)=10( 2 t2 -0.5t+0.25-0.25e-2t) =1.2

第三章习题课 (3-3)3-3 已知单位负反馈系统的开环传递函 求系统的单位阶跃响应。 数，求系统的单位阶跃响应。 4 G(s)= s(s+5) C(s) 1 4 解: R(s)= s R(s) = s2+5s+4 4 1 1/3 4/3 C(s)=s(s+1)(s+4) = s + s+4 - s+1 1 4 c(t)=1+ 3 e -4t - 3 e -t

第三章习题课 (3-4)3-4 已知单位负反馈系统的开环传递函 求系统的上升时间t 峰值时间t 数，求系统的上升时间 r、峰值时间 p、 和调整时间t 超调量σ% 和调整时间 s。 1 G(s)= s(s+1) C(s) 1 = s2+s+1 解: R(s) ω d =ω n 1- 2 =0.866 ζ ζ 2 ω n=1 ω n=1 -1 1- 2 β =tg ζ =60o 2= 1 ωn ζ=0.5 ζ 3.14 π tr=π -β = 3.14-3.14/3 =2.42 tp=ω d = 0.866 =3.63 ωd 0.866 ζ - π 1-ζ 2 4 3 100% =16% ts=ζ ω =6 ts=ζ ω =8 e σ%= n n -1.8

e

第三章习题课 (3-6)3-6 已知系统的单位阶跃响应 已知系统的单位阶跃响应: -60t -10t c(t)=1+0.2e -1.2e (1) 求系统的闭环传递函数。 系统的闭环传递函数。 (2) 求系统的阻尼比和无阻尼振荡频率。 系统的阻尼比和无阻尼振荡频率。 1 + 0.2 - 1.2 = 600 解: C(s)= s s+60 s+10 s(s+60)(s+10) C(s)= 1 600 R(s)= s R(s) s2+70s+600 ω n=24.5 ζ 2 ω n=70 ω n2 =600 ζ=1.43

第三章习题课 (3-7)3-7 设二阶系统的单位阶跃响应曲线如图， 设二阶系统的单位阶跃响应曲线如图， 系统的为单位反馈，求系统的传递函数。 系统的为单位反馈，求系统的传递函数。 tp= nπ 2 =0.1 c(t) ω 1ζ 1.3 解: 2 ζ - π 1-ζ 1 =0.3 e ζ π 1- 2 e ζ =3.3 0 0.1 t ζ π/ 1- 2 =ln3.3 =1.19 ζ ω n 1- 2 = 3.14 =31.4 2/ 1- 2 ζ ( π) ζ ζ =1.42 0.1 ω n=33.4 2 =1.42-1.

42 2 ζ ζ 9.86 ω2 n 1115.6 G(s)=s(s+2 ω n ) = s(s+22.7) ζ=0.35 ζ

第三章习题课 (3-8)3-8 已知单位负反馈系统的开环传递函 求系统K、 值以满足动态指标 值以满足动态指标： 数，求系统 、T值以满足动态指标： σ%≤30%,ts≤0.3(5%)。 G(s)= K s(Ts+1) K C(s) K = 解: R(s) = Ts2+s+K 2 1T K s + T s+ T 3 ts=ζ ω n ≤0.3 2 ω n= 1 ζ ω n≥10 T≤0.05 ζ T eζ -π 1ζ2

≤0.3

ζ≥0.35

ω n≥28.6 K≥40.9

ω n2 = K =817.96 T

第三章习题课 (3-11)3-11 已知闭环系统的特征方程式，试用 已知闭环系统的特征方程式， 劳斯判据判断系统的稳定性。 劳斯判据判断系统的稳定性。 (3) s4+8s3+18s2+16s+5=0 解： 劳斯表如下： 劳斯表如下： (1) s3+20s2+9s+100=0 s4 1 18 5 劳斯表如下： 劳斯表如下： s3 8 16 s3 1 9 s2 16 5 s2 20 100 1 4 s1 216 s 16 s0 5 系统稳定。 s0 100 系统稳定。 系统稳定。 系统稳定。

第三章习题课 (3-12)3-12 已知单位负反馈系统的开环传递函 试确定系统稳定时K值范围 值范围。 数，试确定系统稳定时 值范围。 K(0.5s+1) G(s)= s(s+1)(0.5s2+s+1) 解: 0.5s4+1.5s3+2s2+s++0.5Ks+K=0 s4 0.5 2 K b31= 1.5*2-0,5(1+0.5K) 1.5 s3 1.5 1+0.5K =1.67-0.167K s2 b31 K b = (1.67-0.167K)(1+0.5K)-1.5K 41 1.67-0.167K 1 s b41 0.25K<2.5 3-0,5-0.25K>0

第三章习题课 (3-13)3-13 已知系统结构如图，试确定系统稳 已知系统结构如图， 值范围。 定时τ值范围。 R(s) 10 C(s) 1 解: 10(1+ 1 ) s G(s)=s2+s+10 s- 1+ s s(s+1)τs

τ

10(s+1) =s(s2+s+10 s) τ 10(s+1) Φ(s)= s3 +s2+10 s2+10s+10 τ 10(1+10 )-10 τ b31= 1+10 >0 τ

s3 1 10 s2 (1+10 ) 10 τ b31 s1 s0 10 τ>0

第三章习题课 (3-14)3-14 已知系统结构如图，试确定系统稳 已知系统结构如图， 值范围。 定时τ值范围。R(s)

解: 10( s+1) τ G(s)= s2(s+1) s3 s2 s1 s0 1 1 b31 10

τ s+1 s -

s(s+1)

10

C(s)

τ 10 10

10( s+1) τ Φ(s)= s3 +s2+10 s+10 τ 10 -10 >0 τ b31= 1 τ>1

第三章习题课 (3-16)3-16 已知单位反馈系统的开环传递函数， 已知单位反馈系统的开环传递函数， 试求K 并求稳态误差e 试求 p、Kv和Ka .并求稳态误差 ss. 1+ 2+ 2 2 R(s)= s r(t)=I(t)+2t+t s2 s3 10 (2s+1) 10(2s+1) = 解： (1) G(s)=200 20=s(0.5s+1)(0.1s+1) (2) G(s)= s(s+2)(s+10) s2(0.1s2+0.4s+1) (3) G(s)= s2(s2(0.1s+1)(0.2s+) +4s+10) R0 1 ess1=ss1=0 =21 Kp=20=∞ eess1=0 Kpp K=∞ 1+K υ=1 υ=0 υ=2 K =0υ=10 ess2=∞ = 2 = 2 eess2=0 10 ss2 K K υ K υ=∞ =∞=∞ K =1 ess3eess3=2 Ka=0aa=0 ss3 K essess=∞=2 =∞ess

第三章习题课 (3-17)3-17 已知系统结构如图。 已知系统结构如图。 C(s) (1) 单位阶跃输入 单位阶跃输入: R(s) K1 1 s2 - σ%=20% ts =1.8(5%) τs 确定K 确定 1 和τ值 。 K1 K1 解: G(s)= 2 Φ(s)= s2+Kτs+K s +Kτs 1 1 1 ζ - π 1-ζ 2 ζ 2 ω n=Kτ =0.2 e 1 3 =1.8 ζ=0.45 2 =K ωn ts=ζ ω n 1 3 =3.7 K =ω 2 ω n= n =13.7 τ=0.24 1 1.8*0.45

第三章习题课 (3-17)1 r(t)=I(t), t , 2 t

2 (2) 求系统的稳态误差： 求系统的稳态误差： 1 K1 τ = 1 G(s)= 2 解: s +Kτs s( 1 Kτ s+1)1

1 R(s)= s υ=1 R(s)= s1 2 1 R(s)= s3

Kp=∞ K =K υ Ka=0

ess1=0

τ ess2= =0.24ess3=∞

第三章习题课 (3-18)3-18 已知系统结构如图。为使ζ=0.7时 已知系统结构如图。为使 时 单位斜坡输入的稳态误差e 单位斜坡输入的稳态误差 ss=0.25 确定 K 和τ值 。 R(s) K C(s) - s(s+2) K 解: G(s)= s2+2s+K s τ

τ

K Φ(s)= s2+(2+K )s+K τ 2+K =0.25 ω n=2+K =2*0.7 K τ ess= Kτ ζ 2 ω n2 =K τ= 0.25K-2 K=31.6 τ=0.186 K

K 2+K τ = 1 s+1) s(2+K τ

τs

第三章习题课 (3-19)3-19 系统结构如图。 r(t)=d1(t)=d2(t)=I(t) 系统结构如图。D1(s) R(s) E(s) D2(s) G(s)

+

-

F(s)

+ C(s)

解: -G2(s)H(s) Ed(s)= 1+G (s)G (s)H(s) (1) 求r(t)作下的稳态误差. ·D(s) 作下的稳态误差. 作下的稳态误差 1 2 1 -F(s) 1 1 -1 essd= lim s [ s ]s + essr=lim s· 1+G(s)F(s) = 1+G(0)F(0) s→0 1+G(s)F(s) 1+G(s)F(s) s→0 -[1+F(s)] (2) 求d=(t)和d2(t)同时作用下的稳态误差. 同时作用下的稳态误差. 和 同时作用下的稳态误差 1 1+G(0)F(0)

(3) 求d1(t)作用下的稳态误差. 作用下的稳态误差. 作用下的稳态误差 1 K F(s)= Js G(s)=Kp + s -F(s) 1 essd= lim s1+G(s)F(s) s s→0 - 1 1 =0 Js = lim s K) 1 s s→0 1+(Kp+ s Js

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