ADINA_流体流固耦合分析手册

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流体流固耦合分析

手册

ADINA中国代表处

第一章计算流体力学概述第一章计算流体力学概述

1.1 计算流体力学概述

计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，简称CFD）是以计算机作为模拟手段，运用一定的计算技术寻求流体力学各种复杂问题的离散化数值解的计算方法。

计算流体力学可以看作是对基本守恒方程（质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程）控制下的流动过程进行数值模拟。通过这种数值模拟，可以得到极其复杂问题的流场内的各个位置上的基本物理量（如速度、压力、温度、浓度等）分布，以及这些物理量随时间的变化情况。

计算流体力学、理论流体力学、实验流体力学是流体力学研究工作的三种主要手段。理论分析具有普遍性，各种影响因素清晰可见、为实验和计算研究提供依据。对于非线性情况，只有少数问题能给出解析解。实验研究仍是研究工作的基石，数值研究的许多方面都密切依赖于实验研究提供数据；计算结果需由实验验证；观察实验现象分析实验数据以建立计算模型等等。数值模拟是特殊意义下的实验，也称数值实验，它比起实验研究，经济效益极为显著。三种手段既互相独立又相辅相成。

近年来，由于实际工程设计对于流体计算提出越来越高的要求，计算流体力学在明显地突破传统的单纯流体的观念，各种涉及到复杂物理现象的流体问题求解方法是计算流体力学发展的主要趋势，这些复杂现象是涉及热传递、多物质流动、相变、流固耦合体系求解、变边界（变流动区域）、湍流模拟等等。

从工程角度看，流体力学研究的起因通常是基于对各种工程结构的设计需要，例如分析飞机机翼在气流作用下随机摆动问题的目的，是要求流场计算结果要对机翼的非稳态振动、强度特性提出明确的力学设计指标。因此可以说，对于相当多的流体计算问题，实际上我们需要知道的是一个耦合力学系统的响应特性－流固耦合体系特性，尽管这是一个更为复杂的计算体系。流固耦合（Fluid-Structure Interaction，简称FSI）计算方法的开发和应用是目前工程计算流体力学发展的重点领域，也是计算流体力学指导工程设计的直接途径。

计算流体力学的发展和计算机硬件求解能力、工程设计需求高速增长密切相关，可以肯定地说计算流体力学在未来的研究领域和工程领域，都会越来越走向实用化，越来越发挥不可或缺的作用。

第一章计算流体力学概述

1.2 基本概念

流体是气体和液体的总称。在人们的生活和生产活动中随时随地都可遇到流体，大气和水是最常见的两种流体。

1.2.1 理想流体和粘性流体

流体在静止时虽不能承受切向力，但在运动时，任意相邻两层流体之间却是有相互抵抗作用力的，这种相互抵抗的作用力称为剪切力，流体所具有的这种抵抗两层流体相对滑动速度的性质称为流体的粘性。粘性是流体的固有属性之一，不论流体处于静止还是流动，都具有粘性。它是流体状态（压力、温度、组成）的函数。气体的粘性随温度的升高而增大，液体的粘性随温度的升高而减小。

自然界中存在的流体都具有粘性，具有粘性的流体统称为粘性流体。完全没有粘性的流体称为理想流体。自然界中并不存在真正的理想流体，它只是为便于处理某些流动问题所做的假设而已。

1.2.2 牛顿流体和非牛顿流体

牛顿内摩擦定律：

0lim n u u n n

τμμΔ→Δ?==Δ? 其中τ表示流体内摩擦应力，n Δ为法线方向的距离增量；u Δ为对应于的流体速度增量。

n Δ牛顿内摩擦定律表示流体内摩擦应力和单位距离上的两层流体间的相对速度成正比。比例系数μ称为流体的动力粘度，简称粘度。

牛顿流体：是指μ为常数的流体，即遵循牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。非牛顿流体：不符合上述条件的均称为非牛顿流体。

所有气体和大多数低分子量液体均属牛顿型流体，如水、空气等；而某些高分子溶液、油漆、血液等则属于非牛顿流体。

下面用一个简单的例子来说明牛顿流体和非牛顿流体的差别。ADINA 的操作步骤参见第二部分。

第一章计算流体力学概述

例1 分别考虑两个平行板间的牛顿流体和非牛顿流体，如下图所示，给出流体速度大小为10m/s 。 v

先考虑牛顿流体

流体参数为常参数模型，密度为1，粘度为0.04。

/kg m 2/N s m ? 查看流场中纵坐标为0.3处的节点的速度大小，如下图所示：

非牛顿流体

非牛顿流体模型和牛顿流体模型的差别在于材料的定义。这里非牛顿流体使用Power Law 模型。流体参数：密度为1，常数3

/kg m 00.04,1,0.75A n μ===?。

查看非牛顿流体模型的计算结果，仍然画相同节点的处的速度图像，如下图所示，可以看出，非牛顿流体的速度增长较牛顿流体稍缓一些。 3

第一章计算流体力学概述

1.2.3 可压缩流体和不可压缩流体

根据密度ρ是否为常数，流体分为可压缩流体（compressible）与不可压缩流体(incompressible)两大类。在温度不变的情况下，当密度ρ为常数时，流体为不可压缩流体，否则为可压缩流体。空气为可压缩流体，水为不可压缩流体。

水的可压缩性是很小的，压强每增加一个大气压，其体积变化不到万分之一。工程中常用的其它工作液体，如液压油，机械油等，其体积模量数值也都很大，在一般工程计算中，可以忽略其可压缩性，将其看作是不可压缩流体。

气体的可压缩性与液体相比则大很多，因此在研究气流场的时候，当流速较低(<0.3马赫)时可以认为是不可压缩流体；当流速较高时需要考虑压强对气体密度的影响，甚至温度、压强对体积和密度的影响都必须考虑。

1.2.4 定常与非定常流动

根据流体的物理量（如速度、压力、温度等）是否随时间变化，将流动分为定常（steady）

与非定常（unsteady）两大类。当流动的物理量不随时间变化，即

()

时，为定常流动，

又称稳态流动；当流动的物理量随时间变化，即

()

≠

时，为非定常流动，又称非稳态流

动或瞬态流动。

1.2.5 层流和湍流

自然界中的流体流动状态主要分为两种形式－层流和湍流。在平行管的流动试验中，从流动质点的运动状态看，当仅发生层流时，流体质点互不干扰，流体流动呈线性或层状，且平行于管道轴线；当湍流（又称紊流）发生后，质点运动杂乱无章，除了平行于管道轴线的

第一章计算流体力学概述

运动以外，还存在着剧烈的横向运动。

层流和湍流是两种不同性质的流态。层流时，流体流速较低，质点受粘性制约，不能随意运动，粘性力起主导作用；湍流时，液体流速较高，粘性的制约作用减弱，惯性力起主导作用。液体流动时，究竟是层流还是湍流，通常要用雷诺数来判定。

雷诺数（Reynolds）是表征流体流动特性的一个重要参数。它是由管内的平均流速、

液体的运动粘度u ν、

管径三个参数决定的，即d Re ud ν=。又有运动粘度ν与动力粘度μ的关系，μνρ=，ρ为密度，所以雷诺数又可以表示为Re ud ρμ

=。从层流向湍流过渡发生在雷诺数约等于2300，即临界雷诺数的时候。当流体的实际流动时的雷诺数小于临界雷诺数时为层流，反之则为湍流。

对于非圆截面管道来说，做简单等效，可用R 代替上式中的， R 为通流截面的水力半径。它等于液流的有效截面积A 和它的湿周χ（通流截面上与液体接触的固体壁面的周长）之比，即d A R x

=。关于层流和湍流的区别，可用典型的后台阶流动模型进行说明。这部分内容请参考第四章。

1.3 流体力学方程组

流体流动满足三个基本方程：

（1）质量守恒方程。它反映的是物质不生不灭这一最自然的物理定律。它用以描

述流体密度ρ的变化规律。它不需要补充任何其他关系式，也就是说，质量

守恒方程是物质不生不灭的最直观的体现，方程的形式十分简单。质量守恒

方程也称连续性方程。

（2）动量守恒方程。它反映的是牛顿定律，即物体在力的作用下做加速运动。具

体说，物质体所受的合力等于其质量与加速度的积，也可以理解为流体微团

所受的力等于其动量变化率。因此，只要能求出合力，便可以得到动量守恒

方程。合力包括体积力f ρ和面积力n P 。体积力可以是多相物质的相互作用

力、远程力（如重力与电磁力）和惯性力。面积力主要是压力和粘性应力。

第一章计算流体力学概述

（3）能量守恒方程。能量守恒属于经典的热力学定律。流体微团单位质量的能量

即总能E 包括内能e 与动能12

V V ?。合力所做的功、热传导、

（由化学反应等引起的）生成热都引起总能的变化。

1.3.1预备知识

流体速度，分别表示x,y,z 方向上的速度分量。 123(,,)u u u =u 123,,u u u ρ是密度，p 是压强，T 是热力学温度。

若有过点1,23(,)x x x =x 的面积微元，单位法向量为n 。

dS 在[,内沿n 方向流过dS 的流体体积为]t t dt +dSdt ?u n

在[,内沿n 方向流过dS 的流体质量为]t t dt +dSdt ρ?u n

在[,内沿n 方向流过dS 的流体动量为]t t dt +(()dSdt dSdt ρρ?=?u u n)u u n

其中 2112132

21223231323u u u u u u u u u u u u u u u ???????????

u u =面积微元受到n 正向一侧的流体压力为dS p dS ?n （压力方向与法线方向相反）

热力学中，有状态方程(,)p f T ρ=

（1.1）若p RT ρ=，则为理想气体。

用e 表示单位质量流体的内能，单位体积中流体的能量为212e ρρ+u ，（）

22212u u u =++u 23在[,内沿n 方向流过的流体能量为]t t dt +dS 21()2

e u dSdt ρρ+

?u n

1.3.2理想流体力学方程组

（1）质量守恒方程

质量守恒定律表述为：单位时间内流体微元中质量的增量，等于同一时间间隔内流入该微元的净质量，即 6

第一章计算流体力学概述

2121(,)(,)t t t dx t dx dSdt ρρρΩΩΓ?=??∫∫∫∫x x u n （1.2）

Γ为区域的边界

Ω质量守恒方程的微分形式为

()0p t

ρρ?+?u = （1.3） p 表示散度，31212u u u p 3

x x x ???=

++???u 。质量守恒方程又称为连续性方程。

（2）动量守恒方程动量守恒定律表述为：单位时间内流体微元中动量的增量，等于同一时间间隔内流入该微元的动量与外力冲量的和，外力包括作用在边界Γ上的表面力和作用在区域Ω上的体积力。

123(,,)F F F =F 22211121(,)(,)()t t t t t t t dx t dx dSdt p dSdt dxdt

ρρρρΩΩΓΓΩ?=????+∫∫∫∫∫∫∫∫u x u x u u n n F （1.4）动量守恒方程的微分形式为：

()()p pI t

ρρ?+?+=?u u u ρF （1.5）写成分量形式，并利用连续性方程化简得：

311,1,2,i i k i k k i

u u p u F i t x x ρ=???++==???∑3 （1.6）或者写成

1d gradp dt ρ

+u F = （1.7）其中，31k k k

d u dt t x =??=+??∑，表示固定流体质点对t 的导数。

（3）能量守恒方程

能量守恒定律描述为：单位时间内流体微元中能量的增量，等于同一时间间隔内流入该微元的能量与外力做功的和。

第一章计算流体力学概述

2221112111()(,)()(,)221()2t t t t t t e t dx e t dx e dSdt p dSdt dxdt ρρρρρρρΩΩΓΓ+

?+=?+???+?∫∫∫∫∫∫∫∫222u x u x u u n u n F u Ω (1.8) 将能量守恒方程化为微分形式

2211()()22

e p e p t ρρρρρ?++++=?u u u ?F u (1.9) 利用连续性方程化简得：

20de p d dt dt

ρρ+= （1.10）方程（1.1）（1.3）（1.7）（2.0）构成了理想流体力学的基本方程组。

1.3.3粘性流体力学方程组

自然界中并不存在真正的理想流体，对于粘性系数为μ（动力学粘性系数，又称第一粘性系数）的流体，它的基本方程组为：

质量守恒方程（1.3）不变

()0p t

ρρ?+?u = （1.11）动量守恒方程为

()()p t

ρρ?+?=?u u u -P ρF （1.12）其中

{},ij p =P '2()3

j i ij ij ij ij j i u u p p p p x x δμδ??=?++?+??u u μδ， '23

μλ=+μ，称为膨胀粘性系数，又称第二粘性系数。能量守恒方程为

2211()(())()22

e p e p p gradT t ρρρρκρ?+++=+?u u u -u ?F u (1.13) 其中为热传导系数。

κ 方程（1.1）（2.1）（2.2）（2.3）构成了粘性流体力学方程组。

对于不可压的粘性流体，密度ρ为常数，取1ρ≡，则有

第一章计算流体力学概述

（1.14）

0p =u 方程（2.2）变为

31,1,2,i i k i i k k i

u u p u u F i t x x μ=???+?Δ+==???∑3 （1.15）方程（2.4）（2.5）即为三维不可压的粘性流体的Navier-Stokes 方程，简称N-S 方程。

第二章偏微分方程的数值解法第二章偏微分方程的数值解法

在计算流体力学中，研究流体运动规律的手段是采用数值计算方法，求解描述流体运动基本规律的数学方程，以数值模拟的结果为依据研究流体运动的物理特征。数值计算方法是计算流体力学的基础。本章介绍目前应用比较广泛的计算方法：有限差分方法、有限体积法和有限元法。此外，还包括ADINA开发的FCBI和FCBI-C单元算法。

2.1 有限差分方法

有限差分法是数值求解偏微分方程最经典的方法。它是在求解域内，以差分网格或差分节点将连续的求解域化为有限的离散点集。然后将偏微分方程中的导数项用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的代数方程组。求出代数方程的解，即为偏微分方程的数值解。由于ADINA是基于有限体积和有限元方法的系统，所以这里对有限差分法不做详细介绍。

2.2 有限体积法

有限体积法又称控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律。

我们把节点看成是控制体积的代表，一个小的控制体积上的物理量定义并存储在该节点上。小的控制体可以是线段（一维），正方形（二维）或正方体（三维）

一维

积分时，对以o点为中心的小控制体积，a点的值用c点和o点的平均值来代替。

第二章偏微分方程的数值解法

二维

在面积分时，最简单的方法是取界面中心点的值为其平均值，例如，如下图所示，对于以o 点为几何中心的小控制体，取de 边中点a 上的值为de 界面上的平均值

三维

小控制体D k 的几何中心点上的值为控制体内的平均值。

以二维热传导方程为例，描述有限体积法的求解步骤。

考虑某一容积内的热传导问题，当热传导系数为常数时，温度T 满足Laplace 方程，即（2.1）

0T Δ=Δ是Laplace 算子：22

22x y

??Δ=+??。将方程的定解域D 划分为有限个相等体积，内部网格离散点取在体积的几何中心，边

第二章偏微分方程的数值解法

界点取在半点上。考虑以（i,j ）点为几何中心的体积B ，在有限体积方法中，（i,j ）点上的物理量代表以该点为中心的体积B 内的平均值。本例中描述的物理规律是体积B 内的热流量的变化为零。

热流量和温度分布的关系可由Fourier 关系给出

q k T =?? （2.2）

对（2.1）取散度，且考虑到上述物理规律，有

()q k T ???=???=0S 0 （2.3）

应用散度定理，可得 V S

d d τ??=?∫∫∫∫∫A A n ()()D

S k T dD k T dS ???=??=∫∫∫∫∫n （2.4）这里为曲面S 的外法向。对体积B 的外表面进行积分（二维问题为面积），这里仍以边界面中心点上的函数值为界面上的平均值，则有 n 111,,,,222(()((i j i j i j i j T T T T k y k y k x k x x x y y ?+??????+?+???? 12

0+= （2.5）对于内点，采用中心差分逼近导数项，可得

,1,1,,,,1

,1,0i j i j

i j i j

i j i j i j i j

T T T T T T T T k y k y k x k x x x x x ?+?+?????+?+ = （2.6）

最后可得逼近微分方程的离散方程

1,,1,,1,,12211(2)(2)i j i j i j i j i j i j T T T T T T x y

?+?+?++?+= 0 （2.7）有限体积法便于求解复杂的计算区域。这种情况下，计算域内离散后有限个体积的外形可能是任意的多面体（三维），故积分后所得的函数值可能不是在规正的离散点上，需要通过插值求得。

对于非定常流动，方程中应增加对时间t 的导数项，离散时可以简单地以差分方式来代替时间导数。

2.3 有限元法

有限元法的基本思想是采用近似解逼近微分方程的准确解，这是一种区域性的离散方

第二章偏微分方程的数值解法

法。它的特点是对求解域形状没有限制，边界条件易于处理。下面以二维Poisson 方程边值问题为例，简要描述建立有限元方程的过程。

0(,),(,)(,)u f x y x y u u x y ?Ω

?Δ=∈Ω???=?? （2.8）如果21(,)()(u x y C C ∈Ω∩Ω)，即在区域Ω内二阶连续可微，在Ω的闭包Ω上一阶连续可微，那么对任意1(,)()x y C ?∈Ω，有

()()()x y x x y y u dxdy u u dxdy u u dxdy x y ????ΩΩΩ???????Δ=?+++????????

∫∫∫∫∫∫? x x

y y u dS u u dxdy ???ΩΩ???=++???∫

∫∫ n （2.9）下面离散化方程

（1）单元剖分

把区域分割为一系列三角形单元的组合，这是由于三角形剖分在几何上有很大的灵活性，对边界的逼近程度较好，因此常采用三角形剖分，把三角形的顶点称为节点，对单元和节点进行编号。设节点为Ω(,)(1,2,,)i i i p x y i NP =…，单元为e k (1,2,,k )NE =…。

在区域Ω进行三角形剖分以及进行节点编号时应注意以下几点：

a) 每个单元的顶点只能是相邻单元的顶点，不能是相邻单元边上的点

b) 尽量避免出现大的钝角，大的边长

c) 在(,)u x y 的梯度变化可能比较剧烈的地方，网格要密，变化较小的地方，可以相对得把网格打稀疏点

d) 单元的编号可以任意，但节点标号的好坏直接影响总刚度阵的带宽，要求所有两个相邻节点编号之差的绝对值中的最大者越小越好。例如，考虑下图区域的三角剖分 13

第二章偏微分方程的数值解法

按竖的方向由左到右对节点编号要比按按横的方向由上到下对节点编号好。

（2）插值多项式

采用线性插值，在二维情形，线性函数的一般形式

u ax by c =++ （2.10）

它有三个待定系数，对每个单元，为了确定其线性插值的具体形式，需要在3个点上给定u 的值，通常就取这个单元的3个顶点。假设在节点上的值为，即

。现任取单元，它的3个顶点是，记为，

它们的顺序是逆时针。为了使插值函数（2.10）在3个顶点上的取值分别为，则a,b,c 满足

i P u i u (,)(1,2,,)i i y i u x u i NP ==…j m

e ,,i j m P P P i j m e PP P =Δ,,i j m u u u i i i j j m m ax by c u ax by c u ax by c u ?++=?++=??++=? （2.11）解得

111111121111111212i j m i j m j m i e i j m i j m j m i e i i j j m m i j j j m m i i e y y y a u u u y y y x x x b u u u x x x x y x y x y c u u x y x y x y ??=

++??????

??=?????????

??=++?????? m u 其中

1211

i e j

j m m x y x y x y = e 恰好是三角形单元的面积，把它们代入（2.10）

，可得单元e 上的插值函数 i j m e PP P =Δ(,)(,)(,)i i j j m u N x y u N x y u N x y u =++m （2.12）

第二章偏微分方程的数值解法

其中

111112j j j i m m m e y x x N x y y x x y ??=?+???

j m y ? 1()2i i e

a x

b y

c =++ i 11,,11j j j i i i m m m y x x a b c y x x =

=?=j m y y

设{}[](,,),(,,)T

i j m i j m e u u u N N N N δ==，则在单元上有 e []{}e u N δ= （2.13）

u 的梯度向量可以表示为

{}j i m e j

i m N N N u x x x x u u N N N y y y y δ?????????????????

????==??????

??????????????

{}[]{}12i j m e i j m e a a a B b b b e δδ??=????

=Ω∑ （2.14） []B 是阶常数矩阵，称为应变矩阵。

23×这里的称为单元上的线性插值基函数。 (,)(,,)s N x y s i j m =e

（3）单元刚度阵与单元荷载向量

由（2.8）（2.9）式可得

x x y y u u dxdy f dxdy ???Ω??+=??∫∫∫∫ （2.15）

把上边的积分式按所剖分的单元改写为

11()n NE NE

x x y y e n n u u dxdy f dxdy ???==+=∑∫∫ （2.16）并用节点函数值来表示等式中的每一项。

在单元中，设，i j m e PP P =Δ(,)u x y (,)x y ?在节点(,,s P

s i j m )=上的函数值分别为15

第二章偏微分方程的数值解法

*,s s u u ，则由（2.14）式得

{}{}()T

x x y y e e u u dxdy u dxdy ???+=??∫∫∫∫ []{}[]{}{}[]{}**()()T e e

e e e e B B dxdy K δδδ=

=∫∫δB （2.17）其中 [][][][][]T T

e e e e e e ii ij im e

e e ji jj jm e e e mi mj mm K B B dxdy B k k k k k k k k k ==????=??????∫∫ （2.18）

这是个3矩阵，称为单元刚度阵。

3×刚度系数

)(),,4e s t s t st e s t s t e N N N N k a a x x y y

????=+=+=???? ,,b b s t i j m （2.19）（2.16）的右端项可化为

[]{}{}{}**()()()T T T e e e e e e f dxdy f dxdy N fdxdy F ??δδ===∫∫

∫∫∫∫ （2.20）

其中 {}[]

(,,),,,T e e e T i j m e e e

s s e F N fdxdy F F F F N fdxdy s i j m ====∫∫∫∫ （2.21）

{}e F 称为单元荷载向量。

（4）总体刚度阵和总体荷载向量

将单元刚度阵和单元荷载向量代入（2.16）式中，把{}e δ，{}e F ，{}e K 分别扩充为维的向量和维的矩阵，然后叠加。例如，若NP NP NP ×j i m <<，则

第二章偏微分方程的数值解法

{}{},e e e j jj ji e e e i ij ii i e e e e e m mj mi m F k k k F K F k k k F k k k ???????????????==??????????????????M M M L L L M M M L L L M M M L L L M M M e jm e m e m ???????????

M L M L M L M

{}e e e e e j j jj ji jm e e e e e e i i ij ii im e e e e e mj mi mm m m F k k k F F k k k k k k F δδδ??????????????????????????????????==????????????????????????????????????

M M M M M L L L L M M M M M L L L L M M M M M L L L L M M M M M 虚点和其他空白地方都是零，扩充后叠加可得

{}

[]{}{}[]**11n n NE NE T T e e n n K F δδδ==???=??????∑∑??? 由{}*δ的任意性及[][]

1n NE e n K K ==∑，[][]1n NE e n F F ==∑得到代数方程组

[]{}[]K δ=F （2.22）

流体力学方程经过离散化后得到的是一个代数方程组，它们可能是线性的或非线性的。线性方程组可以用Gauss 消去法，追赶法等，非线性方程组可以用Newton 迭代法求解。ADINA 有求解器来计算，这些迭代方法不作介绍。

2.4 FCBI和FCBI-C

介绍一种基于有限体积技术的方法，‘flow-condition-based interpolation ’方法，简记为FCBI 。FCBI 是有限体积法的一种特例，它局部地满足质量和动量守恒。通过对速度的插值来满足迎风条件。和其它单元算法相比较，使用FCBI 单元通常有更好的稳定性和精确度。FCBI-C 与FCBI 相似，它适用于大规模问题的求解。详细的介绍参考第五章。

第二章偏微分方程的数值解法

2.5 对时间项的积分

稳态分析中没有时间项，不用考虑时间项的积分，这里的积分指的是在瞬态分析中。假设已经得到了t 时刻的解，要求t t + 时刻的解，t 为时间步长。初始条件定义在0时刻的解上。ADINA 有两种时间积分方法：Euler 法和Composite 积分格式。

Euler 法：方程()u f u t ?=?是根据

()t t t t t u u tf u α++=+

来计算的，其中。Euler 法是一阶精度的格式，当

(1)t t t t t u u ααα+=?+ u + 112α<≤时，是无条件稳定的。尽管在时间上能达到二阶精度，但当12

α=时，结果是不稳定的，除非速度非常小。默认的一阶精度格式是欧拉向后积分方法（Euler Backward Method ）。

Composite 积分格式中，时刻的解是根据连续的两个子时间步

t + t 12()(1)()t t t t

t t t

t t t t u u tf u u u tf γγβγγα+++++=+=+? u 来计算的。其中21(1),2,(21)t t t t t u u u βγγαββγβαα++=?+=?=? 。当112