苏州市高三数学二轮复习示范课教案--1.等差或等比数列的通项公式探索（吴蕾）.doc

等差或等比数列的通项公式探索

吴江高级中学 吴 蕾

一、复习要点

1.由已知等差数列或等比数列公式求通项；2.由递推关系式求通项公式;

3.由Sn与an关系式求通项； 4.由等差或等比数列的性质求通项公式. 二、考点回顾

1.（09江苏卷18题改编）设

?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，

2222满足a2?a3?a4?a5,S7?7，则数列?an?的通项公式为 ．

2. （10年新课标卷17改编）设数列

?an?满足a1?2，an?1?an?3?22n?1，则数列?an?的通项公式为 ．

)，则?Sn?通项3. 已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且Sn?1?2an(n?2,n?N*公式为 ，{an}的通项公式为 ．

4.（09年重庆卷14题）设a1?2，an?1?的通项公式bn= ． 5.(08陕西)已知数列{an}的首项a1a?22*，bn?n，n?N，则数列?bn?an?1an?133an?，an?1?，，?则{an}的通项公式，n?1252an?1为 ．

三、典型例题

例1 （10年江苏19（1））设各项均为正数的数列

2a2?a1?a3，数列Sn是公差为d的等差数列. （1）求数列?an?的通项公式（用n,d表示）.

1

???an?的前n项和为Sn，已知

变式：设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1?1，如果存在．．

??2n?m?k成立，求数列{an}的通项公式。 m,n,k?N(m?n?k)，使得?2S?S?S?nmk?*

例2 （2012年南通二模）设数列{an}的各项均为正数.若对任意的n?N*，存在

k?N*，使得an?k2?an?an?2k成立，则称数列{an}为“Jk型”数列．

（1）若数列{an}是“J2型”数列，且a2?8，a8?1，求a2n；

（2）若数列{an}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{an}是等比数列.

2

思考题：（10年江苏卷20）设M部分为正整数组成的集合，数列{an}的首项a1前n项和为Sn，已知对任意整数k?M，当整数n?k时,Sn?k都成立. （1）设M?1，

?Sn?k?2(Sn?Sk)?{1},a2?2,求a5的值；

（2）设M?{3,4},求数列{an}的通项公式

三、巩固检测

2?a10,2(an?an?2)?5an?1，1.（12年辽宁理14题）已知等比数列｛an｝为递增数列，且a5则数列｛an｝的通项公式an =______________．

2. （07年全国2理改编）设数列{an}的首项a1?(0,1),an?3?an?1，n?2，3，4，…．则2{an}的通项公式为 ．

3.（04年全国理22）设数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn?2an?(?1)n(n?1)，则数列{an}的通项公式为 .

4.（09年全国卷Ⅰ理改编）在数列{an}中，a1则数列{bn}的通项公式为 ．

3

a1n?1?1,an?1?(1?)an?n，设bn?n，

n2n1f(x)?ax(a?0,且a?1）的图象上一点，

3等比数列{an}的前n项和为f(n)?c,数列{bn}(bn?0)的首项为c，且前n项和Sn满

5.（09年广东卷文）已知点（1，）是函数足Sn－Sn?1=

6.（10年湖北理20第一问）已知数列{an}满足:a1?Sn+Sn?1（n?2）．求数列{an}和{bn}的通项公式．

13(1?an?1)2(1?an)，，?21?an1?an?1anan?1?0(n?1)；数列{bn}满足：bn?an?12?an2(n?1)，求数列{an}，{bn}的通项公

式．

7.（12年广东理19）设数列?an?的前n项和为Sn，满足2Sn且a1,a2?5,a3成等差数列． （1） 求a1的值；

（2） 求数列?an?的通项公式．

8.（12年广东文）设数列an前n项和为

?an?1?2n?1?1，n?N*，

??Sn，数列?Sn?前n项和为Tn，满足

Tn?2Sn?n2，n?N*. (1)求a1的值；

（2）求数列?an?的通项公式．

9.（08年山东理19改编）已知数列{bn}，b1?1，Sn为数列{bn}的前n项和，且满足

2bn，求数列{bn}的通项公式． ?1（n≥2）2bnSn?Sn

10.(09全国2理19)设数列{an}的前n项和为Sn, 已知a1?1,（1）设bn

4

Sn?1?4an?2，

?an?1?2an，证明数列{bn}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式．

；关于本节课的设计意图 一、高考趋势

数列是特殊的函数，是高中数学的重点内容，也是初等数论与高等数学知识的接轨之处，深受命题人员的青睐，是高考重点考查内容之一。江苏卷的数列综合题的趋势主要是以等差数列和等比数列为背景，考查等差或等比数列的定义、性质、通项公式与前n项和公式等，注重数列内部知识的综合，注重思想方法和探索能力的考查。在新高考中，08年、10年、11年都出现以奇数列1，3，5，7，?为原型，考查数列的基础知识和学生的推理能力。 二、本节课的教学目标

1.巩固求数列通项公式的基本方法：公式法，累加、累乘法，简单递推式求法；

2.由等差或等比数列的性质或衍生的性质探索通项公式，培养学生的逻辑思维能力与推理能力。

三、选题说明

1.考点回顾的题目主要考查内容是： (1)等差数列的公式及性质求通项公式； (2)累加法求通项；

(3)Sn与an关系式求通项，并体现Sn与an之间的互化；

(4)计算bn?1得到bn?1?2bn这个递推关系式，再用公式求通项。同时渗透小题或难题可用计算前几项进行归纳的思想；

(5)取倒数后化为an?1?pan?q（p,q为常数）； 2.例题设计

（1）例1 由Sn与an关系式，并根据题意找出a1与d的关系，再将通项用n,d表示。 例1的变式是将探究命题“Sn是等差数列时，是否成立，从而推广到一般性。

(2)例2（2012年南通二模）设数列{an}的各项均为正数.若对任意的n?N*，存在k?N*，使得an?k2?an?an?2k成立，则称数列{an}为“Jk型”数列．

（1）若数列{an}是“J2型”数列，且a2?8，a8?1，求a2n；

（2）若数列{an}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{an}是等比数列.

?an?从第二项起为等差数列”的逆命题

a解：（1）由题意，得a2，a4，a6，a8，?成等比数列，且公比q?8a2 所以a2n?a2qn?1???1213，

?12??n?4．

（2）证明：由{an}是“J4型”数列，得

a1，a5，a9，a13，a17，a21，?成等比数列，设公比为t.

5

由{an}是“J3型”数列，得

a1，a4，a7，a10，a13，?成等比数列，设公比为?1； a2，a5，a8，a11，a14，?成等比数列，设公比为?2； a3，a6，a9，a12，a15，?成等比数列，设公比为?3； 则

a13aa??14?t3，17??24?t3，21??34?t3． a1a5a943 所以?1??2??3，不妨记???1??2??3，且t??． 于是a3k?2?a1?k?1?a1??3?(3k?2)?1，

a3k?1?a5?k?2?a1t?k?2?a1? a3k?a9?k?3k?23?a1?a1??3?(3k?1)?1，

?a1t?2k?3?a1?k?13??3?3k?1，

所以an?a1???3n?1，故{an}为等比数列．

说明：本题类似于10年江苏卷20题，是对等比数列的性质与通项的探求。

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