人教A版高中数学必修5《二章 数列 复习参考题》优质课教案 - 25

《数列求和——裂项相消法》教学设计

高二理科数学学业水平复习课（1课时）

一、学情分析：

学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节专题复习课，将会根据已知数列的特点利用裂项相消法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。所教的班级是高二年级的理科民族班,学生具有较好的数学基础，但在数学应变能力上依然有一定的欠缺。

二、教法设计：

本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以问题情景为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在思考题及练习中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。

在教学过程中采取如下方法：

①诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；

②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性； ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

三、教学设计：

1、教材的地位与作用：

对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。

2、教学重点、难点：

教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点学习裂项相消法求和。 教学难点：解题过程中方法的正确选择及熟练应用。 3、教学目标： (1)知识与技能：

会根据通项公式选择求和的方法，并能运用裂项相消法求数列的前n项。

(2)过程与方法：

①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力；

②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。

(3)情感、态度与价值观：

①通过对数列的通项公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；

②通过对数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯； ③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。

四、教学过程： 教 学 步 骤 教 学 活 动 教师提问，学生回答问题。 教师提问，学生回答问题。 一、复习引入 （一）引入 1、对一个数列我们应关注它什么? ２、对一个非特殊数列，如何求和？ （转化为等差、等比数列） 3、引导学生回忆数列几种常见的求和方法: ①公式法 ②并项求和 ③分组求和法 ④倒序相加法 ⑤错位相减法 ⑥裂项相消法 ４、提出问题：如何对非特殊的数列求和？ 设计意图 充分发挥学生学习的能动性,以学生为主体,展开课堂教学。 通过学生对几种常见的求和方法的归纳、总结,简单回忆各方法的应用背景。把遗忘的知识点形成了一个完整的知识体系。 二、例题选讲： ?1? 思考1多媒体显示题思考1你会求数列 ?? 的前n项和吗？ 目，学生先独立思考，?n(n?1)?之后小组讨论，最后由学生代表上黑板写出解1111Sn??????????法，教师点评。 1?22?33?4n(n?1) 教师讲解： ??1 思考2多媒体显示题思考2你会求数列 ?的前n项和吗？ ?目学生先独立思考，后?(2n?1)(2n?1)?讨论，最后学生板书，1111教师点评。 Sn?????????? 1?33?55?7(2n?1)(2n?1) 教师讲解： 思考3先让学生在草稿纸上计算，此题在消项通过4个思考，让学生能分析和式的特点，从易到难，逐一攻破。从而能熟练应用裂项相消求和。 思考1、2、都是最常见的裂项题型，裂项相消的时候都是相邻相消，最后剩下第一项和最后一项，要熟练应用裂项求和方法，此乃基础，必需牢牢掌握。思考1的分母差值为1，而思考2的分母差值则为2，难度上层层推进。 思考3较?1?思考3你会求数列 ??的前n项和吗？ ?n(n?2)?Sn? 1111????????? 1?32?43?5n(n?2)1??思考4你会求数列 ??的前n项和吗？ ?n?n?1?1111Sn?????????? 1?22?33?4n?n?1 归纳一：你能说说“裂项相消求和法”的特征吗？ 归纳二 裂项相消求和经常用到下列拆项公式： 上部分同学会感觉比较吃力，鼓励学生大胆计算，善于发现困难和问题。学生思考，讨论后，教师重点讲解对通项的处理，以及消去的项和留下的项的处理。 思考4由学生独立思考后讨论，最后根据学生出现的问题有针对性地进行解答。特别强调分母有理化从而达到拆项的思想。 通过前面的三个思考，让学生归纳“裂项相消求和法”的特征。 师生共同总结裂项相消法常见的拆项公式。 111(1)＝－； nn?n＋1?n＋11111(2)＝2(－)； ?2n－1??2n＋1?2n－12n＋1 1111(3)?(?)n(n?k)knn?k 11（4）＝k(n＋k－n). n＋n＋k 之思考一二则在裂项相消的时候难度加大，剩下的项不再是首尾两项，对学生能力的要求更高了。 通过三个思考，事实上也就可以归纳裂项相消求和法的特征。这不仅让学生对方法的理解上进一步升华，也是让学生养成学后及时总结的好习惯。 思考4与1、2、3在形式上稍有区别，分母带有根号，但依然可用裂项相消求和法。也是让学生在裂项形式上全面掌握，不留死角。 通过4个极具代表性的思考，让学生对裂项相消求和方法常用到的拆项公式有一个归纳。 练习1 求和： 学生独立练习，析书，1111＋＋＋…＋.教师点评。 1＋21＋2＋31＋2＋3＋…＋n 练习2 学生独立练习，析书，1数列?a?的通项公式为a?,设b?loga?loga?loga?????loga教师点评。 三、学生反馈练习 nn3nn3132313n,?1?求数列??的前n项和。?bn? 四、小结 1、遇到怎样类型的数列求和你会想到裂项? 2、裂项相消的特征是什么？ 教师引导学生小结。 五、课后作业 1、已知等差数列?an?满足：a3?7,a5?a7?26, ?an?的前n项和为Sn.(1)求an和Sn;(2)令bn=1(n?N*),求数列?bn?的前n项和Tn.2an?1 反馈练习的训练充分发挥学生的主体地位,营造生动活泼的课堂教学气氛。 通过学生的评析,激发学生学习热情,发散学生思维,培养学生的合作,探究意识。进一步加强裂项相消求和方法。 启发、引导学生归纳总结,一方面了解学生对本堂课的接受情况,另一方面培养学生的归纳总结能力。使知识系统化,条理化。 通过作业题的两个训练,达到引起学生积极思维的目的,提高分析问题、解决问题能力来满足不同层次学生需要,符合因材施教原则。从而达到培养学生养成“题后思考”的习惯和2、在等比数列?an?中，an?0,（n?N?),公比q?(0,1)，且a1a5?2a3a5?a2a8?25,a3与a5的等比中项为2.（1）求数列?an?的通项公式；（2）设bn?5?log2an,数列?bn?的前n项和为Sn，设Tn? 提高数学能力的效果。 111++???+，求Tn.S1S2Sn 六、教学评价 自主性：注重发展学生的个性,分层式练习和选择性作业,充分体现学生的主体地位。 实践性：通过学生评析中的练习题,给学生提供了一个很好的做数学的学习环境和学习机会。 可行性: 所教的班级是高二年级的理科民族班,学生具有较好的数学功底, 具备一定的独立思考、合作探究能力。 有效性: 通过学生的练习与评析, 给学生提供了一个发现问题,讨论问题,解决问题的平台,为学生高效获取知识和提高综合素质创造条件。 五、课后反思： 数列求和的题型多样，求和的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决。等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。

因而数列求和问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。求数列的前n项和的方法策略是：公式法、并项分组法、裂项法、错位相减法、倒序相加法等。只要仔细辨析数列通项的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出前n项和的关键。当然，这前提是熟练掌握各种方法，正如本节中的裂项求和方法。

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