《概率论与数理统计》课后习题答案

1

习题1.1解答

1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点。

解：??A?C?(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）

? ?

???(正，正)，（正，反）

?；B??（正，正），（反，反）

(正，正)，（正，反），（反，正）

?

2. 在掷两颗骰子的试验中，事件A,B,C,D分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件AB,A?B,AC,BC,A?B?C?D中的样本点。

解：???(1,1),(1,2),?,(1,6),(2,1),(2,2),?,(2,6),?,(6,1),(6,2),?,(6,6)?； AB??(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)?；

A?B??(1,1),(1,3),(1,5),?,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)?；

AC??；BC??(1,1),(2,2)?；

A?B?C?D??(1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)?

3. 以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C表示以下事件：

（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。

解：（1）ABC； （2）ABC； （4）ABC?ABC?ABC; （3）ABC?ABC?ABC；

（5）A?B?C；

（6）ABC； （7）ABC?ABC?ABC?ABC或AB?AC?BC （8）ABC； （9）A?B?C

4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：A2, A2?A3, A1A2, A1?A2, A1A2A3,

A1A2?A2A3?A1A3.

解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。

5. 设事件A,B,C满足ABC??，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：

A?B?C，AB?C，B?AC.

解：如图：

2

ACABCABCABCABCABCABC?ABCABCBA?B?C?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC;AB?C?ABC?C;B?AC?ABC?ABC?ABC?BA?ABC?BC?ABC 6. 若事件A,B,C满足A?C?B?C，试问A?B是否成立？举例说明。

解：不一定成立。例如：A??3,4,5?，B??3?，C??4,5?， 那么，A?C?B?C，但A?B。

7. 对于事件A,B,C，试问A?(B?C)?(A?B)?C是否成立？举例说明。

解：不一定成立。 例如：A??3,4,5?，B??4,5,6?，C??6,7?， 那么A?(B?C)??3?，但是(A?B)?C??3,6,7?。

8. 设P(A)?1，P(B)?1，试就以下三种情况分别求P(BA)：

23（1）AB??， （2）A?B， （3）P(AB)?1.

8解：

（1）P(BA)?P(B?AB)?P(B)?P(AB)?（2）P(BA)?P(B?A)?P(B)?P(A)?1612；

；

12?18?38（3）P(BA)?P(B?AB)?P(B)?P(AB)?。

9. 已知P(A)?P(B)?P(C)?1，P(AC)?P(BC)?1，P(AB)?0求事件

416A,B,C全不发生的概率。

3

解：P(ABC)?PA?B?C?1?P(A?B?C)

=1??P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?11?111?3?1?????0???0??

1616?444?810. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：A?“三个都是红灯”=“全红”； B?“全绿”； C?“全黄”； D?“无红”； E?“无绿”； F?“三次颜色相同”； G?“颜色全不相同”； H?“颜色不全相同”。

??解：

P(A)?P(B)?P(C)?P(F)?127?127?1271?1?13?3?319??127；P(D)?P(E)?3!3?3?3?292?2?23?3?3?827；

?19；P(G)?89；

P(H)?1?P(F)?1?.

11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：

（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。

解：

一次拿3件： （1）P?C98C2C310021?0.0588； （2）P?C2C98?C2C98C31001221?0.0594；

每次拿一件，取后放回，拿3次： （1）P?2?9832100每次拿一件，取后不放回，拿3次：

2?98?97?3?0.0588； （1）P?100?99?9898?97?96?0.0594 （2）P?1?100?99?98?3?0.0576； （2）P?1?9810033?0.0588；

12. 从0,1,2,?,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：

A1??三个数字中不含0与5?，A2??三个数字中不含0或5?。

4

解：

P(A1)?P(A2)?C83C1033?715；

32C9?C8C310?1415或P(A2)?1?C8C1310?1415

13. 从0,1,2,?,9中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。

32解：P?5P9?4P8P410?4190

14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： （1）6人中至少有1人生日在10月份； （2）6人中恰有4人生日在10月份； （3）6人中恰有4人生日在同一月份；

解： （1）P?1?1111212664??0.41；

2（2）P?C6?1112642??0.00061；

（3）P?C12C6116??0.0073

15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。

解：

P?

C4C13?C4C13C39C35213121??0.602或P?1?C4C13C13C13C3523111??0.602

5

习题1.2解答

1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。

解：

令Ai?“取到的是i等品”，i?1,2,3

P(A1A3)?P(A1A3)P(A3)?P(A1)P(A3)?0.60.9?23。

2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。

解：

令A? “两件中至少有一件不合格”，B? “两件都不合格”

C4P(B|A)?P(AB)P(A)?P(B)1?P(A)?1?2C10C262?21015

C3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求

（1） 两种报警系统I和II都有效的概率； （2） 系统II失灵而系统I有效的概率； （3） 在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。

解：令A? “系统（Ⅰ）有效” ，B? “系统（Ⅱ）有效”

则P(A)?0.92,P(B)?0.93,P(B|A)?0.85 （1）P(AB)?P(B?AB)?P(B)?P(AB)

?P(B)?P(A)P(B|A)?0.93?(1?0.92)?0.85?0.862 （2）P(BA)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?0.92?0.862?0.058 （3）P(A|B)?P(AB)P(B)?0.0581?0.93??0.8286

4. 设0?P(A)?1，证明事件A与B独立的充要条件是

P(B|A)?P(B|A)

证：

?：?A与B独立，?A与B也独立。

?P(B|A)?P(B),P(B|A)?P(B) ?P(B|A)?P(B|A)

?： ?0?P(A)?1?0?P(A)?1

又?P(B|A)?P(AB)P(A),P(B|A)?P(AB)P(A)?

而由题设P(B|A)?P(B|A)?P(AB)P(A)P(AB)P(A)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1lyt.html