2011年高考试题 - 数学理（全国卷）解析版

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修II)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题

(1)复数z?1?i，z为z的共轭复数，则zz?z?1?

（A）?2i （B）?i （C）i （D）2i

【答案】B

【命题意图】本题主要考查复数的运算. 【解析】zz?z?1?|z|2?z?1?2-(1+i)-1=?i. (2)函数y?2x(x?0)的反函数为

（A）y?x24(x?R) （B）y?x242(x?0)

（C）y?4x2【答案】B

(x?R) （D）y?4x(x?0)

【命题意图】本题主要考查反函数的求法. 【解析】由原函数反解得x?x2y24,又原函数的值域为y?0,所以函数y?2x(x?0)的反函数为y?4(x?0).

- 1 -

(3)下面四个条件中，使a?b成立的充分而不必要的条件是

（A）a＞b?1 （B）a＞b?1 （C）a2＞b2 （D）a3＞b3

【答案】A

【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.

【解析】即寻找命题P,使P?a?b,且a?b推不出P,逐项验证知可选A. (4)设Sn为等差数列?an?的前n项和，若a1?1，公差d?2，Sk?2?Sk?24，则k?

（A）8 （B）7 （C）6 （D）5

【答案】D

【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一

Sk?2?Sk?[(k?2)?1?(k?2)(k?1)2?2]?[k?1?k(k?1)2?2]?4k?4?24，解得k?5.

解法二:Sk?2?Sk?ak?2?ak?1?[1?(k?1)?2]?(1?k?2)?4k?4?24，解得k?5.

(5)设函数f(x)?cos?x(??0)，将y?f(x)的图像向右平移的图像与原图像重合，则?的最小值等于

1?3个单位长度后，所得

（A） （B）3 （C）6 （D）9

3【答案】C

【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换. 【解析】由题意得

2???k??3(k?Z),解得??6k,又??0,令k?1,得?min?6.

(6)已知直二面角??l??,点A??，AC?l,C为垂足,B??，BD?l,D为垂 足．若AB?2,AC?BD?1，则D到平面ABC的距离等于

(A)23 (B)33 (C)63 (D) 1 ? A 【答案】C

【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法. 【解析】如图,过D作DE?BC,垂足为E,因为??l??是直二l D E 面角, AC?l,∴AC?平面?,

∴AC?DE,BC?DEC ?B ,ACIBC?C,∴DE?平面ABC,故DE的长为点D到平面

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ABC的距离.在Rt?BCD中,由等面积法得DE?BD?CDBC?1?32?63.

(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种

【答案】B

【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.

1【解析】分两类:一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有C4?4种；

二是取出2本画册,2本集邮册，此时赠送方法有C42?6种.故赠送方法共有10种. (8)曲线y?e?2x?1在点(0,2)处的切线与直线y?0和y?x围成的三角形的面积为

(A) (B) (C) (D)1

323112【答案】A

【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式.

【解析】y'??2e?2x,∴曲线y?e?2x?1在点(0,2)处的切线的斜率k??2,故切线方程是y??2x?2,在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为(0,0)、

(1,0)、(

23,

23)，∴三角形的面积是S?12?1?23?13.

5(9)设f(x)是周期为2的奇函数，当0?x?1时，f(x)?2x(1?x),则f(?)?

(A) - (B)? (C) (D)

211121244【答案】A

【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 【解析】由f(x)是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:

f(?52)?f(?52?2)?f(?11111)??f()??2??(1?)??22222

.

(10)已知抛物线C：y2?4x的焦点为F，直线y?2x?4与C交于A，B两点．则

cos?AFB?45

33(A) (B) (C)? (D)?

5545【答案】D

- 3 -

【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,余弦定理的应用.

?y2?4x【解析】联立?消去y得x2?5x?4?0,解得x?1,x?4,不妨设A点在x轴

?y?2x?4的上方,于是A，B两点的坐标分别为(4,4),(1,?2),又F(1,0),可求得

AB?35,AF?5,BF?222.在

??452VABF中,由余弦定理

c?oAFBs?AF?BF?AB2?AF?BF.

(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成600二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4?，则圆N的面积为

(A)7? (B)9? (C)11? (D)13?

【答案】D

【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质. 【解析】如图所示,由圆M的面积为4?知球心O到圆M的距离OM?23,在Rt?OMNON?12OM?3,故圆N中,?OMN?30?, ∴

R?ON22的半径r??13,∴圆N的面积为S??r2?13?.

r(12)设向量ar，br，crrrr1满足|a|?|b|?1，agb??2rrrrr?，?a?c,b?c??60，则|c|的最

大值等于

(A)2 (B)【答案】A

3 (c)2 (D)1

【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积运算、向量加减法、四点共圆的条件及数形结合的思想.

uuurruuurruuurr【解析】如图，设AB?a,AD?b,AC?c，则

?BA?D120?,?B B?CD，6?BAD??BCD?180??，∴

A

C A,B,C,D四点共圆，当

rAC为圆的直径时，|c|最大，最

大值为2.

D - 4 -

绝密★启用前

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修II)

第Ⅱ卷

注意事项：

1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。

2第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。 3第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上(注意：在试卷上作答无效) ．．．．．．．．(13)(1?x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为 . 【答案】0

【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.

r18【解析】由Tr?1?C(?x)?(?1)Cx得x的系数为C220,x9的系数为C2,而0r20rrr202C20=C20,所以x的系数与x1829的系数之差为0.

55(14)已知??(,?),sin??2?,则tan2?? .

【答案】?43

【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系和二倍角的正切公式. 【解析】由??(,?),sin??2?55得cos???255,故tan??sin?cos???12,

∴tan2??2tan?1?tan?2??43.

x2(15)已知F1、F2分别为双曲线C:

9?y227?1的左、右焦点，点A?C，点M的坐

标为(2，0)，AM为?F1AF2的平分线．则|AF2|? . 【答案】6

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【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理，双曲线的第一定义和性质. 【解析】QAM为?F1AF2的平分线，∴

|AF2||AF1|?|MF2||MF1|?48?12 ∴|AF1|?2|AF2|

又点A?C，由双曲线的第一定义得|AF1|?|AF2|?2|AF2|?|AF2|?|AF2|?2a?6. (16)己知点E、F分别在正方体ABCD?A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且

B1E?2EB,CF?2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .

【答案】

23

【命题意图】本题主要考查正方体中二面角的求法.

【解析】延长FE交CB的延长线于G,连结AG,则AG为面AEF与面ABC的交线,由B1E?2EB,CF?2FC1得CF?2BE,∴B为GC中点.设正方体的棱长为1,则

AG?AC?222?2,又GC?2,∴AC?AG?GC∴?CAG?90QFC?平面ABC,∴

FA?AG∴?CAF是面AEF与面ABC所成的二面角的平面角,在RtVACF2中,tan?CAF?CF2?3?,故面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于AC3223.

三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤.

(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

VABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A?C?90?, ,求C.

【命题意图】本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、辅助角公式,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【解析】由a?c?2b及正弦定理可得

A? sinsiCn?2sB i n …………………………………3分

又由A?C?90?,B?180?(A?C),故

cosC?sinC?

2sin(A?C)

- 6 -

=2sin(90??2C)

=2cos2C …………………………………7分

22cosC?22sinC?cos2C,

cos(45?C)?cos2C?

因为 0??C?9?0, 所以 2C?4?5?C,

C?15? …………………………………10分

【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.

(18)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不

购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.

(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；

(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望. 【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望，考查考生分析问题、解决问题的能力. 【解析】记A表示事件: 该地的1位车主购买甲种保险；

B表示事件: 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C表示事件: 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种； D表示事件: 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.

(I)P(A)?0.5, P(B)?0.3, C?A?B ……………………………3分

P(C)?P(A?B)?P(A)?P(B)?0.8

……………………………6分

(Ⅱ)D?C,P(D)?1?P(C)?1?0.8?0.2

X:B(100,0.2),即X?所以期望 EX?100服从二项分布, ……………………………10分

0?.2. 2 ……………………………12分

【点评】概率与统计是每年的必考题，一般安排在解答题的前3题.本题属于已知

概率求概率类型. 考查保险背景下的概率问题，要求考生熟练掌握独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望.

- 7 -

(19)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

如图，四棱锥S?ABCD中， AB//CD,BC?CD，侧面SAB为等边三角形，

AB?BC?2,CD?SD?1.

(Ⅰ)证明：SD?平面SAB；

(Ⅱ)求AB与平面SBC所成角的大小. 【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合.

解法一：(Ⅰ)取AB中点E，连结DE，

则四边形BCDE为矩形，DE?CB?2，连结

SE，则SE?AB，SE?3. 又SD?1,故ED2?SE2?SD2,所以?DSE为直角. ………………3分

由AB?DE,AB?SE,DEISE?E,得AB?平面SDE,所以AB?SD.

SD与两条相交直线AB、SE都垂直.

所以SD?平面SAB. ………………6分 另解:由已知易求得SD?1,AD?5,SA?2,于是SA?SD?AD.可知SD?SA,同理可得SD?SB,又SAISB?S.所以SD?平面SAB. ………………6分 (Ⅱ)由AB?平面SDE知，平面ABCD?平面SDE. 作SF?DE,垂足为F,则SF?平面ABCD,SF?作FG?BC,垂足为G,则FG?DC?1. 连结SG.则SG?BC.

又BC?FG,SGIFG?G,故BC?平面SFG,平面SBC?平面SFG.……9分 作FH?SG,H为垂足,则FH?平面SBC.

FH?SF?FGSG?37222SD?SEDE?32. ,即F到平面SBC的距离为

217.

由于ED//BC,所以ED//平面SBC,E到平面

SBC的距离d也为

217.

设AB与平面SBC所成的角为?,则

- 8 -

sin??dEB?217,??arcsin217.……12分

解法二：以C为原点,射线CD为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系

C?xyz.

设D(1,0,0),则A(2,2,0)、B(0,2,0). 又设S(x,y,z),则x?0,y?0,z?0.

uuruuruuur(Ⅰ)AS?(x?2,y?2,z),BS?(x,y?2,z),DS?(x?1,y,z), uuruur由|AS|?|BS|得

(x?2)?(y?2)?z?222x?(y?2)?z222, 故x?1.

uuur由|DS|?1得y2?z2?1,

uur又由|BS|?2得x2?(y?2)2?z2?4,

1232即y2?z2?4y?1?0,故y?13,z?. ………………3分

uurr33uur33uuu13于是S(1,,),AS?(?1,?,),BS?(1,?,),DS?(0,,),

22222222uuuruuruuuruurDS?AS?0,DS?BS?0.

故DS?AS,DS?BS,又ASIBS?S,

所以SD?平面SAB. ………………6分

r(Ⅱ)设平面SBC的法向量a?(m,n,p), ruurruurruurruur则a?BS,a?CB,a?BS?0,a?CB?0.

uur33uur),CB?(0,2,0), 又BS?(1,?,22?33p?0,?m?n?故? ………………9分 22?2n?0?ruuur取p?2得a?(?3,0,2),又AB?(?2,0,0),

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uuurruuurrAB?acos?AB,a??uuurr?|AB|?|a|217.

217故AB与平面SBC所成的角为arcsin. ………………12分

【点评】立体几何一直以来都是让广大考生又喜又忧的题目.为之而喜是因为只要能建立直角坐标系，基本上可以处理立体几何绝大多数的问题；为之而忧就是对于不规则的图形来讲建系的难度较大，问题不能得到很好的解决.今年的立几问题建系就存在这样的问题，很多考生由于建系问题导致立几的完成情况不是很好.

(20)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

设数列?an?满足a1?0且求?an?的通项公式； (Ⅱ)设bn?1?an?1nn11?an?1?11?an?1.

,记Sn??bk?1k,证明：Sn?1.

【命题意图】本题主要考查等差数列的定义及其通项公式,裂项相消法求和,不等式的证明，考查考生分析问题、解决问题的能力. 【解析】(Ⅰ)由题设

11?an11?a111?an?1?11?an?1,

即｛｝是公差为1的等差数列.

又

=1,故

1n11?an=n.

所以an?1?由(Ⅰ)得

bn?1? ……………………………5分# (Ⅱ)

an?1n

n ??n?1?n?1gn , 1n?1n?1

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nnSn??k?1bk??k?1(1k?1k?1)?1?1n?1?1…………………………12分

【点评】2011年高考数学全国卷将数列题由去年的第18题后移,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.

(21)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

已知O为坐标原点，F为椭圆C：x?2y22?1在y轴正半轴上的焦点，过F且

斜率为?2的直线l与C交与A、B两点，点P满足

uuruuuruuurrOA?OB?OP?0.

(I)证明：点P在C上；

(II)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、

点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。 【解析】(I)F(0,1),l的方程为y??2x?1,代入x?22y22?1并化简得

4x?22x?1?0. …………………………2分

设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3), 则x1?2?4226,x2?2?46,

x1?x2?,y1?y2??2(x1?x2)?2?1,

由题意得x3??(x1?x2)??2222,y3??(y1?y2)??1,

所以点P的坐标为(?,?1).

- 11 -

经验证点P的坐标(?2222,?1)满足方程x?2y22?1,故点P在椭圆C上 …6分

(II)由P(?,?1)和题设知，Q(22,1)，PQ的垂直平分线l1的方程为

y??22x. ①

21,),AB42设AB的中点为M,则M(2214的垂直平分线l2的方程为

y?x?. ②

21,). 88由①、②得l1、l2的交点为N(?22282 …………………………9分

3118|NP|?(??)?(?1?218)?2, |AB|?1?(?2)g|x2?x1|?322,

|AM|?324,

2281218338|MN|?(4?)?(2?)?2,

|NA|?|AM|?|MN|?223118, 故 |NP?, |||NA又 |NP?, ||NA|?|NB|, ||NQ所以 |NA?, Q||NP?||N?B||N由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上. ……………12分 【点评】本题涉及到平面微向量，有一定的综合性和计算量，完成有难度. 首先出题位置和平时模拟几乎没有变化，都保持全卷倒数第二道题的位置，这点考生非常适应的。相对来讲比较容易，是因为这道题最好特点没有任何的未知参数，我

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们看这道题椭圆完全给出，直线过了椭圆焦点，并且斜率也给出，平时做题斜率不给出，需要通过一定条件求出来，或者根本求不出来，这道题都给了，反而同学不知道怎么下手，让我求什么不知道，给出马上给向量条件，出了两道证明题，这个跟平时做的不太一样，证明题结论给大家，需要大家严谨推导出来，可能叙述的时候有不严谨的地方。这两问出的非常巧妙，非常涉及解析几何本质的内容，一个证明点在椭圆上的问题，还有一个疑问既然出现四点共圆，这都是平时很少涉及内容。从侧面体现教育深层次的问题，让学生掌握解析几何的本质，而不是把套路解决。其实几年前上海考到解析几何本质问题，最后方法用代数方法研究几何的问题，什么是四点共圆？首先在同一个圆上，首先找到圆心，四个点找圆形不好找，最简单的两个点怎么找？这是平时的知识，怎么找距离相等的点，一定在中垂线，两个中垂线交点必然是圆心，找到圆心再距离四个点距离相等，这就是简单的计算问题。方法确定以后计算量其实比往年少.

(22)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

(I)设函数f(x)?ln(1?x)?2xx?2，证明：当x?0时，f(x)?0；

910)19(II)从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：p?(?1e2

【命题意图】本题为导数、概率与不等式的综合,主要考查导数的应用和利用导数证明不等式.考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【解析】(I) f(x)?'x22(x?1)(x?2) …………………………2分

当x?0时, f'(x)?0,所以f(x)为增函数,又f(0)?0,因此当x?0时,

f(x)?0. …………………………5分

10020(II) p?100?99?98?L?81.

又99?81?902,98?82?902,L91?89?902, 所以p?(910)19.

2x由(I)知: 当x?0时,ln(1?x)?x?2 因此 (1?2x)ln?(x119e?). 1092?2,即(109)19在上式中,令x?所以p?(910)19,则 19ln2?e2.

?1 …………………………12分

【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生

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牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱.作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，有时还伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1lyr.html