最新初中数学函数基础知识知识点
更新时间:2023-04-11 08:57:01 阅读量: 实用文档 文档下载
最新初中数学函数基础知识知识点
一、选择题
1.均匀地向一个容器注水,最后把容器注满,在注水过程中,水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为折线),这个容器的形状可以是()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
试题分析:注水量一定,函数图象的走势是稍陡,平,陡;那么速度就相应的变化,跟所给容器的粗细有关.则相应的排列顺序就为D.故选D.
考点:函数的图象.
2.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的最大公里数(单位:km/L),如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,下列叙述正确的是()
A.以相同速度行驶相同路程,甲车消耗汽油最多
B.以10km/h的速度行驶时,消耗1升汽油,甲车最少行驶5千米
C.以低于80km/h的速度行驶时,行驶相同路程,丙车消耗汽油最少
D.以高于80km/h的速度行驶时,行驶相同路程,丙车比乙车省油
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意和函数图象可以判断各个选项是否正确,从而可以解答本题.
【详解】
解:由图可得:以相同速度行驶相同路程,甲车消耗汽油最少.故选项A错误.
以10km/h的速度行驶时,消耗1升汽油,甲车最多行驶5千米.故选项B错误.
以低于80km/h的速度行驶时,行驶相同路程,甲车消耗汽油最少.故选项C错误.
以高于80km/h的速度行驶时,行驶相同路程,丙车比乙车省油.故选项正确.
故选D .
【点睛】
本题考查了函数的图象,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
3.如图,在ABC ?中,90C =o ∠,30B ∠=o ,10AB cm =,P Q 、两点同时从点A 分别出发,点P 以2/cm s 的速度,沿A B C →→运动,点Q 以1/cm s 的速度,沿A C B →→运动,相遇后停止,这一过程中,若P Q 、两点之间的距离PQ y =,则y 与时间t 的关系大致图像是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意分当05t ≤≤、5t >时两种情况,分别表示出PQ 的长y 与t 的关系式,进而得出答案.
【详解】
解:在ABC ?中,90C =o ∠,30B ∠=o ,AB=10,
∴AC=5, 12
AC AB =, I. 当05t ≤≤时,P 在AB 上,Q 在AC 上,由题意可得:2AP t =,AQ t =, 依题意得:12AQ AP =,
又∵A A ∠=∠
∴APQ ABC V :V ,
∴90AQP C ∠=∠=? 则3PQ t =, II.当5t >,P 、Q 在BC 上,由题意可得:P 走过的路程是2t ,Q 走过的路程是t , ∴15533PQ t =+-,
故选:A .
【点睛】
此题主要考查了动点问题的函数图象,正确理解PQ 长与时间是一次函数关系,并得出函数关系式是解题关键.
4.下列各曲线中表示y 是x 的函数的是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】D
【解析】 根据函数的意义可知:对于自变量x 的任何值,y 都有唯一的值与之相对应,故D 正确. 故选D .
5.如图1,在扇形OAB 中,60O ∠=?,点P 从点O 出发,沿O A B →→以1/cm s 的速度匀速运动到点B ,图2是点P 运动过程中,OBP V 的面积()2y cm
随时间()x s 变化
的图象,则a ,b 的值分别为( ) 图1图2
A .4,
43π B .4,443π+ C .222π3 D .222223
π 【答案】B
【解析】
【分析】
结合函数图像中的(a ,3OB=OA=a ,S △AOB =3a 的值,再利用
弧长公式进而求得b 的值即可.
【详解】
解:由图像可知,当点P 到达点A 时,OB=OA=a ,S △AOB =43, 过点A 作AD ⊥OB 交OB 于点D ,
则∠AOD=90°,
∴在Rt △AOD 中,sin ∠AOD=
AD AO , ∵∠AOB=60°,
∴sin60°=
3AD AD AO a ==, ∴AD=3a , ∵S △AOB =43,
∴13432a a ??=, ∴a=4(舍负),
∴弧AB 的长为:
60441803ππ??=, ∴443
b π=+. 故选:B .
【点睛】
本题是动点函数图象问题,考查了扇形弧长、解直角三角形等相关知识,解答时注意数形结合思想的应用.
6.如图,在矩形ABCD 中,2AB =,3BC =,动点P 沿折线BCD 从点B 开始运动到点D .设运动的路程为x ,ADP ?的面积为y ,那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意当03x ≤≤时,3y =,当35x <<时,()131535222y x x =
??-=-+,由此即可判断.
【详解】
由题意当03x ≤≤时,3y =,
当35x <<时,()131535222
y x x =
??-=-+, 故选D .
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论是扇形思考问题.
7.小明从家骑车上学,先匀速上坡到达A 地后再匀速下坡到达学校,所用的时间与路程如图所示,如果返回时,上、下坡速度仍然保持不变,那么他从学校回到家需要的时间是( )
A .9分钟
B .12分钟
C .8分钟
D .10分钟
【答案】B
【解析】
【分析】 先根据图形,得到上坡、下坡的时间和距离,然后分别求出上、下坡的速度,最后计算返回家的时间
【详解】
根据图形得,从家到学校:上坡距离为1km ,用时5min ,下坡距离为2km ,用时为4min 故上坡速度115V =(km/min)
,下坡速度22142
V ==(km/min) 从学校返回家的过程中,原来的上下坡刚好颠倒过来,即上坡2km ,下坡1km
故上坡时间
12t 15=
=10(min),下坡时间21t 12
==2(min) ∴总用时为:10+2=12(min)
故选:B
【点睛】 本题考查从函数图象获取信息,解题关键是将函数图像中的数据与生活实际一一对应
8.如图,正方形ABCD 的边长为2,动点P 从点D 出发,沿折线D →C →B 作匀速运动,则△APD 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分类讨论:当点D在DC上运动时,DP=x,根据三角形面积公式得到S△APD=x,自变量x的取值范围为0<x≤2;当点P在CB上运动时,S△APD为定值2,自变量x的取值范围为2<x≤4,然后根据两个解析式对各选项中的图象进行判断即可.
【详解】
解:当点D在DC上运动时,DP=x,所以S△APD=1
2
AD?DP=
1
2
?2?x=x(0<x≤2);
当点P在CB上运动时,如图,PC=x﹣4,所以S△APD=1
2
AD?DC=
1
2
?2?2=2(2<x≤4).
故选:D.
【点睛】
此题考查动点问题的函数图象,解题关键在于掌握分类讨论的思想、函数的知识、正方形的性质和三角形的面积公式.注意自变量的取值范围.
9.为了锻炼学生身体素质,训练定向越野技能,某校在一公园内举行定向越野挑战赛.路线图如图1所示,点E为矩形ABCD边AD的中点,在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪,可监测运动员的越野进程,其中一位运动员P从点B出发,沿着B﹣E﹣D的路线匀速行进,到达点D.设运动员P的运动时间为t,到监测点的距离为y.现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示,则这一信息的来源是()
A .监测点A
B .监测点B
C .监测点C
D .监测点D
【答案】C
【解析】 试题解析:A 、由监测点A 监测P 时,函数值y 随t 的增大先减少再增大.故选项A 错误;
B 、由监测点B 监测P 时,函数值y 随t 的增大而增大,故选项B 错误;
C 、由监测点C 监测P 时,函数值y 随t 的增大先减小再增大,然后再减小,选项C 正确;
D 、由监测点D 监测P 时,函数值y 随t 的增大而减小,选项D 错误.
故选C .
10.甲乙两同学同时从400m 环形跑道上的同一点出发,同向而行,甲的速度为6/m s ,乙的速度为4/m s ,设经过xs 后,跑道上两人的距离(较短部分)为ym ,则y 与x 0300x ≤≤之间的关系可用图像表示为( )
A .
B .
C .
D .
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同向而行,二人的速度差为642/m s -=,二人间的最长距离为200,最短距离为0,从而可以解答本题.
【详解】
二人速度差为642/m s -=,
100秒时,二人相距2×100=200米,
200秒时,二人相距2×200=400米,较短部分的长度为0,
300秒时,二人相距2×300=600米,即甲超过乙600-400=200米.
∴()201004002(100200)2400(200300)x x y x x x x ?≤≤?=-<≤??-<≤?
,函数图象均为线段,只有C 选项符合题意.
故选:C .
【点睛】
本题考查了利用函数的图象解决实际问题以及动点问题的函数图象,正确理解函数图象表示的意义,理解问题的过程,就能够通过图象得到函数问题的相应解决.
11.如图,矩形ABCD 的周长是28cm ,且AB 比BC 长2cm .若点P 从点A 出发,以1/cm s 的速度沿A D C →→方向匀速运动,同时点Q 从点A 出发,以2/cm s 的速度沿A B C →→方向匀速运动,当一个点到达点C 时,另一个点也随之停止运动.若设运动时间为()t s ,APQ V 的面积为()2cm S ,则()2
cm S 与()t s 之间的函数图象大致是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据条件求出AB 、AD 的长,当0≤t≤4时,Q 在边AB 上,P 在边AD 上,如图1,计算S 与t 的关系式,分析图像可排除选项B 、C ;当4<t≤6时,Q 在边BC 上,P 在边AD 上,如图2,计算S 与t 的关系式,分析图像即可排除选项D ,从而得结论.
【详解】
解:由题意得2228AB BC +=,2AB BC =+,
可解得8AB =,6BC =,即6AD =,
①当0≤t≤4时,Q 在边AB 上,P 在边AD 上,如图1,
S △APQ =211222
AP AQ t t t ==g g , 图像是开口向上的抛物线,故选项B 、C 不正确;
②当4<t≤6时,Q 在边BC 上,P 在边AD 上,如图2,
S △APQ =118422
AP AB t t =?=g , 图像是一条线段,故选项D 不正确;
故选:A .
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象,根据动点P 和Q 的位置的不同确定三角形面积的不同,解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S 与t 的函数关系式.
12.下列图象中不是表示函数图象的是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的定义可知,满足对于x 的每一个取值,y 都有唯一确定的值与之对应关系,据此即可确定函数的个数.
【详解】
解:A 选项:满足对于x 的每一个取值,y 都有唯一确定的值与之对应关系,故A 是函
数;
B选项:满足对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应关系,故B是函数;
C选项:不满足对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应关系,故C不是函数;D选项:满足对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应关系,故D是函数,
故选:C.
【点睛】
主要考查了函数的定义.函数的定义:在一个变化过程中,有两个变量x,y,对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应,则y是x的函数,x叫自变量.
13.如图1.已知正△ABC中,E,F,G分别是AB,BC,CA上的点,且AE=BF=CG,设△EFG的面积为y,AE的长为x,y关于x的函数图象如图2,则△EFG的最小面积为
()
A 3
B
3
C.2 D3
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据图2判断△EFG的面积y最小时和最大时分别对应的x值,从而确定AB,EG的长度,求出等边三角形EFG的最小面积.
【详解】
由图2可知,x=2时△EFG的面积y最大,此时E与B重合,所以AB=2,
∴等边三角形ABC3
∴等边三角形ABC3
由图2可知,x=1时△EFG的面积y最小,
此时AE=AG=CG=CF=BG=BE,
显然△EGF是等边三角形且边长为1,
所以△EGF
3
故选A.
【点睛】
本题是运动型综合题,考查了动点问题的函数图象等边三角形等知识点.解题关键是深刻理解动点的函数图象,了解图象中关键点所代表的实际意义,理解动点的完整运动过程.
14.如图,点P是?ABCD边上的一动点,E是AD的中点,点P沿E→D→C→B的路径移动,设P点经过的路径长为x,△BAP的面积是y,则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是()
A. B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意分类讨论,随着点P位置的变化,△BAP的面积的变化趋势.
【详解】
通过已知条件可知,当点P与点E重合时,△BAP的面积大于0;当点P在AD边上运动时,△BAP的底边AB不变,则其面积是x的一次函数,面积随x增大而增大;当P在DC 边上运动时,由同底等高的三角形面积不变,△BAP面积保持不变;当点P带CB边上运动时,△BAP的底边AB不变,则其面积是x的一次函数,面积随x增大而减小;
故选D.
【点睛】
本题以动点问题为背景,考查了分类讨论的数学思想以及函数图象的变化规律.
15.某工厂加工一批零件,为了提高工人工作积极性,工厂规定每名工人每天薪金如下:生产的零件不超过a件,则每件3元,超过a件,超过部分每件b元,如图是一名工人一天获得薪金y(元)与其生产的件数x(件)之间的函数关系式,则下列结论错误的()
A.a=20
B.b=4
C.若工人甲一天获得薪金180元,则他共生产45件.
D.人乙一天生产40(件),则他获得薪金140元
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意和函数图象可以求得a、b的值,从而可以判断选项A和B是否正确,根据C和D的数据可以分别计算出题目中对应的数据是否正确,从而可以解答本题.
【详解】
解:由题意和图象可得,
a=60÷3=20,故选项A正确,
b=(140?60)÷(40?20)=80÷20=4,故选项B正确,
若工人甲一天获得薪金180元,则他共生产:20+18060
203050
4
-
=+=(件),故选
项C错误;
由图象可知,工人乙一天生产40(件),他获得的薪金为:140元,故选项D正确,
故选:C.
【点睛】
本题考查函数图象的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
16.如图,在平行四边形ABCD中,AC=4,BD=6,P是BD上的任一点,过点P作EF∥AC,与平行四边形的两条边分别交于点E、F,设BP=x,EF=y,则能反映y与x之间关系的图象是()
A.B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
图象是函数关系的直观表现,因此须先求出函数关系式.分两段求:当P在BO上和P在OD上,分别求出两函数解析式,根据函数解析式的性质即可得出函数图象.
解:设AC与BD交于O点,
当P在BO上时,
∵EF∥AC,
∴EF BP
AC BO
=即
43
y x
=,
∴
4
3
y x =;
当P在OD上时,有
6
43 DP EF y x DO AC
-
==
即,
∴y=
4
8 3
x
-+.
故选C.
17.下列图象中,表示y是x的函数的是()A.B.C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
函数就是在一个变化过程中有两个变量x,y,当给x一个值时,y有唯一的值与其对应,就说y是x的函数,x是自变量.注意“y有唯一的值与其对应”对图象的影响.
【详解】
解:根据函数的定义可知,每给定自变量x一个值都有唯一的函数值y相对应,
所以A. B. D错误.
故选C.
【点睛】
本题考查了函数的概念,牢牢掌握函数的概念是解答本题的关键.
18.某种签字笔的单价为2元,购买这种签字笔x支的总价为y元,则y与x之间的函数关系式为()
A.y=-1
2
x B.y=
1
2
x C.y=-2x D.y=2x
【答案】D
【解析】
依题意有:y=2x,
故选D.
19.如图,在△ABC中,AC=BC,有一动点P从点A出发,沿A→C→B→A匀速运动.则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是()
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
试题分析:
如图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵在△ABC中,AC=BC,∴AD=BD.
①点P在边AC上时,s随t的增大而减小.故A、B错误;
②当点P在边BC上时,s随t的增大而增大;
③当点P在线段BD上时,s随t的增大而减小,点P与点D重合时,s最小,但是不等于零.故C错误;
④当点P在线段AD上时,s随t的增大而增大.故D正确.故答案选D.
考点:等腰三角形的性质,函数的图象;分段函数.
20.如图1所示,A,B两地相距60km,甲、乙分别从A,B两地出发,相向而行,图2中的1l,2l分别表示甲、乙离B地的距离y(km)与甲出发后所用的时间x(h)的函数关系.以下结论正确的是( )
A.甲的速度为20km/h
B.甲和乙同时出发
C.甲出发1.4h时与乙相遇
D.乙出发3.5h时到达A地
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意结合图象即可得出甲的速度;根据图象即可得出甲比乙早出发0.5小时;根据两
条线段的交点即可得出相遇的时间;根据图形即可得出乙出发3h 时到达A 地.
【详解】
解:A .甲的速度为:60÷2=30,故A 错误;
B .根据图象即可得出甲比乙早出发0.5小时,故B 错误;
C .设1l 对应的函数解析式为111y k x b =+,
所以:111
6020b k b =??+=?, 解得113060k b =-??=? 即1l 对应的函数解析式为13060y x =-+;
设2l 对应的函数解析式为222y k x b =+,
所以:22220.503.560k b k b +=??+=?, 解得 22
2010k b =??=-? 即2l 对应的函数解析式为22010y x =-,
所以:30602010y x y x =-+??=-?, 解得 1.418x y =??=?
∴点A 的实际意义是在甲出发1.4小时时,甲乙两车相遇, 故本选项符合题意; D .根据图形即可得出乙出发3h 时到达A 地,故D 错误.
故选:C .
【点睛】
本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.
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