等边三角形的性质习题精选附答案

等边三角形的性质习题精选

一．选择题（共14小题） 1．（2005?郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（ ）cm．

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A 30 B 40 D 60 ． 50 2．（2009?江干区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（ ） A B C D 3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，

当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ） A 15° B 22.5° C 30° D 45° 4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（ ） A Ll=L2 B L1＞L2 D 无法确定 ． L2＞L1 5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（ ） A B C 20+10 D 20﹣10 6．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（ ）

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A 阴影部分面积B 空白部分面积C 一样大 D 不确定 大 大 7．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC的面积等于（ ） A 190 B 192 C 194 D 196 8．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（ ） A 4个 B 5个 C 6个 D 7个 9．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（ ）

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www.jyeoo.com A 12 B 9 C 8 D 4 10．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（ ） A B C D 11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（ ）

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A 1 B 2 C 3 D 4 12．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（ ） A 36 B 32 C 30 D 28 13．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（ ） A 100 B 60 C 100 D 60 14．在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（ ） A 120° B 135° C 150° D 165° 二．填空题（共9小题） 15．（2007?沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 _________ ．

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16．（2012?南开区一模）如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为 _________ ．

17．如右图，以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON= _________ ．

18．已知正△ABC的面积是1，P是△ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有 _________ 个；△PAB的面积是 _________ ．

19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为 _________ ．

20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP= _________ ． 21．在正△ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE= _________ ．

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www.jyeoo.com 22

22．如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是 _________ ．

23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为 _________ ． 三．解答题（共7小题） 24．阅读材料：

如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：

，∴r1+r2=h（定值）．

（1）类比与推理

如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）． （2）理解与应用

△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？ _________ （填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _________ ．若不存在，请说明理

由．

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www.jyeoo.com 25．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．

26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD， （1）请说明DB=DE的理由．

（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．

27．如图，设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点（不是O）．求证：PA+PB+PC＞OA+OB+OC．

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28．如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数．

29．阅读下列材料，解答相应问题：

已知△ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h．点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h1，到AC的距离PF=h2，到BC的距离PH=h3．

如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h1=h，h2=h，因此得到：h1+h2=h．

小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h1+h2=h还成立吗？通过证明，他得到了肯定的答案．证明如下： 证明：如图3，连接AP． ∴S△ABC=S△ABP+S△APC．

设等边三角形的边长AB=BC=CA=a． ∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC， ∴BC?AD=AB?PE+AC?PF ∴a?h=a?h1+a?h2．

∴h1+h2=h．

（1）进一步猜想：当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与 h之间的数量关系，并证明．（借助答题卡上的图4）

（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明．

继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？请在答题卡上借助图5画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明．

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