大学物理答案

习题11

11-1．直角三角形ABC的A点上，有电荷q1?1.8?10q2??4.8?10?9?9C，B点上有电荷

C，试求C点的电场强度(设BC?0.04m，AC?0.03m)。

??q1E1?i24??0rACq解：1在C点产生的场强：，

?E2?q2?j24??0rBq2在C点产生的场强：C，

?????44∴C点的电场强度：E?E1?E2?2.7?10i?1.8?10j；

?jC点的合场强：

E?E?E2122?3.24?10V4???m，

?i方向如图：

??arctan1.82.7?33.7?3342'。

?911-2．用细的塑料棒弯成半径为50cm的圆环，两端间空隙为2cm，电量为3.12?10正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。

R解：∵棒长为l?2?r?d?3.12m，

q?9?1C的

2cm???1.0?10C?ml∴电荷线密度：

可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆O??x心处场强等于闭合线圈产生电场再减去d?0.02m长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。 解法1：利用微元积分：

dEOx?EO?14??0??Rd?R2cos?，

∴

解法2：直接利用点电荷场强公式：

????cos?d???4??0R?2sin???4??0R?2???d4??0R2?0.72V?mC，

?1?1；

由于d??r，该小段可看成点电荷：q???d?2.0?104??0R则圆心处场强：

方向由圆心指向缝隙处。

EO?q?2?11?9.0?10?92.0?10(0.5)?112?0.72V?m。

11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为?，四分之

一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强。 解：以O为坐标原点建立xOy坐标，如图所示。 ①对于半无限长导线A?在O点的场强：

???E?(cos?cos?)?Ax4??R2?0????E?(sin?sin?)Ay?4??0R2有：? ②对于半无限长导线B?在O点的场强：

x?E???E?(sin??sin)?Bx4??R2?0????E?(cos?cos?)By?4??0R2有：? ③对于AB圆弧在O点的场强：有：

??EABx????E??ABy??y?20?4??0Rcos?d???4??0R(sin?2?sin?)??20?4??0Rsin?d????4??0R(cos?2?cos?)

?EO?∴总场强：

EOx??4??0R，

EOy??4??0R，得：

?4??0R??(i?j)。

E?或写成场强：

O点的场强E。

22EO?EO?xy2?4??0R，方向45?。

11-4．一个半径为R的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为?，求环心处

dq4??0R；

?2YdE?dq解：电荷元dq产生的场为：

dE根据对称性有：?E?y?d??0，则：

?0o?dEX?dEx??dEsin????E??Rsin?d?4??0R2??2??0R，

R?2??0R?i方向沿x轴正向。即：???0sin??0。

11-5．带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度 为

，式中

为一常数，?为半径R与x轴

?0sin?d?4??0R所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度。

dE??dl4??0R2?解：如图，，

??dEx?dEcos????dEy?dEsin?考虑到对称性，有：Ex?0；

E?∴

?dEy??dEsin????0?0sin?d?4??0R2??04??0R??0(1?cos2?)d?2??08?0R，

方向沿y轴负向。

11-6．一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为?，求球心O处的电场强度。 解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为dl?Rd?，所带电荷：dq?2?r?dl。

dE?xdq3???2?rxdl3利用例11-3结论，有：dE?24??0(x?r)32224??0(x?r)2 22??2?Rcos??Rsin??Rd?4??0[(Rsin?)?(Rcos?)]?22r，

?∴

Ox?E?2?0化简计算得：

?20???1?E?isin2?d??4?0。 24?0，∴

11-7．图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为?。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即E?x图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox轴垂直于平板)。

解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面S1为高斯面，

??dE?dS?2E??Sx???q?2x??SS12时，由当和?，

E??d2?0?E?x?0；

?d2有：

??dx??S2E?dS?2E??S和?q?2d??S， 2时，由?当

O?d2?0d2x2?0。图像见右。 有：

11-8．在点电荷q的电场中，取一半径为R的圆形平面(如图所示)，

E??d?平面到q的距离为d，试计算通过该平面的E的通量.

解：通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、AB为半径、圆的平面

为周界的球冠面的电通量相同。

【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r，有r?球冠面一条微元同心圆带面积为：dS?2?rsin??rd?

S?d2?R2， rd??rsin?∴球冠面的面积：

?2?r(1?2??02?rsin??rd??2?rcos?20cos??drO

xd)r】

∵球面面积为：

?球冠?球面?S球面?4?r2?闭合球面?q，通过闭合球面的电通量为：

1(1?d)?q?q(1?d22?0，

S球面S球冠2r?02?0R?d。 由：，∴

11-9．在半径为R的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的场强分布，并作E~r关系曲线。

?球冠?)

解：由高斯定律

???S??1E?dS??0?qS内i，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r，长为l的高斯面。

22?rl?E???rl?0E??r2?0；

2（1）当r?R时，

2?rl?E?，有

2??Rl?0E??R（2）当r?R时，

??r?2?(r?R)?0E??2??R(r?R)?2?0r?即：；

图见右。

，则：

2?0r；

E?R2?0oRr

11-10．半径为R1和R2（R1?R2）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量?和??，试求：（1）r?R1；（2）R1?r?R2；（3）r?R2处各点的场强。

??1E?dS?解：利用高斯定律：

???S?0?qS内i。

（1）r?R1时，高斯面内不包括电荷，所以：E1?0； （2）R1?r?R2时，利用高斯定律及对称性，有：

2?rlE2??l?0，则：

E2??2??0r；

（3）r?R2时，利用高斯定律及对称性，有：2?rlE3?0，则：E3?0； ??E?0r?R1?????E??E?rR1?r?R22??r0???E?0r?R2?即：。

11-11．一球体内均匀分布着电荷体密度为?的正电荷，若保持电荷分布不变,

在该球体中挖去半径为r的一个小球体，球心为O?，两球心间距离OO??d，如图所示。求：

（1）在球形空腔内，球心O?处的电场强度E0；

（2）在球体内P点处的电场强度E，设O?、O、P三点在同一直径上，且OP?d。

解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为?的大球和带有电荷体密度为??的小球的合成。

（1）以O为圆心，过O?点作一个半径为d的高斯面，根据高斯定理有：

???4?d3E?dS???dE?0??S?033?0，方向从O指向O?； ?1（2）过P点以O为圆心，作一个半径为d的高斯面。根据高斯定理有：

???4?d3E?dS???dE?P1??S1?033?0，方向从O指向P， ?过P点以O?为圆心，作一个半径为2d的高斯面。根据高斯定理有：

??∴

S23???r?43EP2??E?dS????r23?0d， ?03?E?EP1?EP2??3?0(d?r324d)，方向从O指向P。

???E?cxi11-12．设真空中静电场E的分布为，式中c为常量，求空间电荷的分布。

解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面，

z????SE?dS?cx0??S 有：??S??1E?dS?q????Sx0?0S内， 由高斯定理：y

ox设空间电荷的密度为?(x)，有：∴?0

x0cx0??S??x00?(x)?Sdx?0???0c 。

?(x)dx??x00?0cdx，可见?(x)为常数?11-13．如图所示，一锥顶角为?的圆台，上下底面半径分别为R1和R2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为?，求顶点O的电势．(以无穷远处为电势零点)

解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x轴，在侧面上取环面元，

?2，环面圆宽：

dl?dxcos如图示，易知，环面圆半径为：

dS?2?r?dl?2??xtanr?xtan?2

?2?dxcos?2，

利用带电量为q的圆环在垂直环轴线上x0处电势的表达式： U环?14??0?qr?x0，

22dl?dxcos?2?2??xtandU?14??0?(xtan?22?dxcos2?2???tan?dx2?02r?2x有：

)?x考虑到圆台上底的坐标为：∴U?

x1?R1cot?2，

x2?R2cot?22，

?2，

?x2x1?2?0?tan?2dx??2?0?tan?2?R2cotR1cot?dx??(R2?R1)2?0。

12-4．一电量为q的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为R1、R2．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出E~r和V~r曲线. 解：由高斯定理，可求出场强分布： ?qE??124??0r???E2?0?q?E?32?4??0r?∴电势的分布为：

0?r?R1R1?r?R2r?R2EO?qR1R2r

O当0?r?R1时，

?q4??0r(1?1R1U1?1)?R1rq4??0r2dr???R2q4??0r2R1R2rdrU

O?rR1R2R2； U2?当R1?r?R2时，当r?R2时，

??R2q4??0r22dr?qq4??0R2；

U3???rq4??0rdr?4??0r。

?812-5．半径R1?0.05m,，带电量q?3?10C的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内?8半径R2?0.07m，外半径R3?0.09m，带电量Q??2?10C。试求距球心r处的P点的

场强与电势。（1）r?0.10m（2）r?0.06m（3）r?0.03m。 解：由高斯定理，可求出场强分布：

?E1??E2???E?3??E4???0?q4??0r2r?R1R1?r?R2R2?r?R3Q?q2QqR1?0??R2R34??0rr?R3∴电势的分布为： 当r?R1时，

U1?

?R2q4??0r2R1dr?q??R3Q?q4??0r2dr?q4??0R1(1?1R2(1)?1Q?q4??0R3)?，

当R1?r?R2时，当R2?r?R3时，当r?R3时，

U2???Rr24??0rQ?q4??0r222dr???R3Q?q4??0r2dr?q4??0r?Q?q4??0R3R2，

U3??R3dr?Q?q4??0R3，

U4???rQ?q4??0rdr?Q?q4??0r，

r?R3∴（1）r?0.10m，适用于情况，有：

E4?Q?qQ?q3?9?10NU??900V44??0r24??r0，；

R?r?R2（2）r?0.06m，适用于1情况，有：

E2?q4??0r2?7.5?104N，

U2?q4??0(Q?q11?)??1.64?103VrR24??0R3；

r?R1（3）r?0.03m，适用于情况，有：

E1?0，

U1?q4??0(Q?q11?)??2.54?103VR1R24??0R3。

2

12-6．两块带有异号电荷的金属板A和B，相距5.0mm，两板面积都是150cm，电量分别为?2.66?10C，A板接地，略去边缘效应，求：（1）B板的电势；（2）AB间离A板

A1.0mm处的电势。

E??8??0有：

qdE?q1mm解：（1）由

?0S，

5mm?PB则：∴

UAB?Ed??0S，而UA?0，

?8UB??2.66?108.85?10?5?10?3?2?12?1.5?10??1000V13，

5离A板1.0mm处的电势：

12-7．平板电容器极板间的距离为d，保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。若插入厚度为t(t

UP??(?10)??200V解：（1）设极板带电量为Q0，面电荷密度为?0。

?0U1?E0?d??E0?无金属板时电势差为：

?0dU2?E0?(d?t)?， ?0有金属板时电势差为：

?0(d?t)，

d??0???0U1U2??0?0?0d?dd?tE0t(d?t)电势差比为：；

（2）设无金属板时极板带电量为Q0，面电荷密度为?0， 有金属板时极板带电量为Q，面电荷密度为?。

?0?由于U1?U2，有E0?d?E?(d?t)，即?0Q0?d???d??Et?0(d?t)

U∴Q

??0??d?td。

解法二：

无金属板时的电容为：

C0??0Sd，有金属板时的电容为：

C?QC0??0Sd?t。那么：

U1（1）当极板电荷保持不变时，利用（2）当极板电压保持不变时，利用

U知：U2Q?dd?t；

C?Q0U知：Q?d?td。

12-8．实验表明，在靠近地面处有相当强的电场E垂直于地面向下，大小约为130V/m.在离地面1.5km的高空的场强也是垂直向下，大小约为25V/m. （1）试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面)； （2）计算从地面到1.5km高空的空气中的平均电荷密度．

E0???0考察，选竖

E'??25解：（1）因为地面可看成无穷大导体平面，地面上方的面电荷密度可用直向上为正向，考虑到靠近地面处场强为E0??130V，所以： ???0E?8.85?10?12?(?130)??1.15?10?9Cm2；

??1E?dS??S（2）如图，由高斯定理

E'?S?E0(??S)????S?0?qS内i，有：

h?1.5km3?h?S?03，则：

?25?(?130)???1.5?108.85?10E0??130?12，

地面得：??6.2?10?13Cm。

12-9．同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为R1，电势为V1，外圆筒的内半径为R2，电势为V2.求其离轴为r处(R1

解：∵R1

V1?V2?E?R2R1?2??0r，

?∴内外圆柱间电势差为：

(V1?V2)?则：2??0?ln(R2R1)

Ur?V2???2??0rdr??2??0lnR2R1

R1R2同理，r处的电势为：

R2?Ur?V2??R2r?2??0rdr??2??0lnR2r（*）

V1V2∴

2??0lnr?(V1?V2)ln(R2r)ln(R2R1)?V2。

ln(rR1)ln(R2R1)，与书后答案相同，或将（*）

【注：上式也可以变形为：r?V1?Ur?Ur??V1?(V1?V2)式用：

?R12??0rdr??2??0lnrR1计算，结果如上】

12-10．半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q，求：

（1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。 解：（1）首先考虑a和b的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：qa4??0ra?qb4??0rb┄①，再由系统电荷为Q，有：qa?qb?Q┄②

qa?QaQbqb?a?b，a?b；

C?Q?UQqa4??0a（或

C?Q?UQqb4??0b），将（1）结论代入，

两式联立得：

（2）根据电容的定义：有：C?4??0(a?b)。

12-11．图示一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小。

E?Q4??0r，

2解：由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为：

U?而电势差：

Q?ba??E?dr??baQ4??0r2dr?Q4??0E??b?aab， ab?U2∴4??0?Uabb?a，那么，场强表达式可写为：

Ea??bUb?ar。

因为要考察内球表面附近的场强，可令r?a，有：

dEa(b?a)a， bU(ab?a)22将a看成自变量，若有da得：

a?b2，此时：

?0(b?2a)?0时，出现极值，那么：

Eamin?4Ub。

12-12．一空气平板电容器，极板A、B的面积都是S，极板间距离为

d．接上电源后，A板电势UA?V，B板电势UB?0．现将一带有电荷q、面积也是S而厚度可忽略的导体片C平行插在两极板的中

间位置，如图所示，试求导体片C的电势。

V?EAB?d2?EBC?d2，而：

EAB??A?0，

qd2?0Sd2，

EBC?)?A???0解：由题意，??q

V??Ad?0?qd2?0S，则：

d2且

S，∴

?A?(V???0d。

导体片C的电势：

UC?UCB?ECB??A???0?

∴

UC?12(V?q2?0Sd)。

12-13．两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？ 解：（1）设小球

r1?R，大球

qr2?4R2，两球各自带有电量为q，有：

q2W0?接触之前的电势能：

4??0R?4??04R；

q1（2）接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为

q14??0R1?q24??0R2q1?q2?2q，大金属球带电为

q1?2q5，

q2，

8q5。

有：┄①和

q21┄②，①②联立解得：

4q2q2?W?那么，电势能为：

4??0R?16?25?25?W04??04R4??0R4??04R25。

q2264q2思考题12

12-1．一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有?q和?q的电荷，有人将两板的电场线画成如图所示，试指出这种画法的错误，你认为电场线应如何分布。

答：导体板是等势体，电场强度与等势面正交，

两板的电场线接近板面时应该垂直板面。

12-2．在“无限大”均匀带电平面A附近放一与它平行，且有一定厚度的“无限大”平面导

体板B，如图所示．已知A上的电荷面密度为??，则在导体板B的两个表面1和2上的感生电荷面密度为多少？

???1???2?2，2。 答：

12-3．充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力F与两极板间的电压

U之间的关系是怎样的？

答：对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力。

12-4．一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R，在腔内离球心的

距离为d处(d

U0?q4πε0d??q4πε0R

答：

12-5．在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体A内，放一 带有电荷为?Q的带电导体B，如图所示，则比较空腔导体A的

电势UA和导体B的电势UB时，可得什么结论？ 答：UA和UB都是等势体，

UB?Q4??0R3?Q4??0UA?Q4??0R3；

?11?????RR2??1?

习题13

13-1．如图为半径为R的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和

极化电荷的总和，已知极化强度为P(沿x轴)。 （1）P?P0；（2）解：可利用公式

P?P0xy算出极化电荷。 首先考虑一个球的环形面元，有：dS?2?Rsin?(Rd?)，

SSq'?????R。

??P?dS?????Pcos?dSRO?x?dSR（1）P?P0时，由?'?Pcos?知?1'?P0cos?， q1'???P0cos??2?Rsin?d???0y??2?RP022??0sin2?d2??0；

2?Pr?Rsin?（2）

P?P0?xR时，

2?2'?P02xRcos??P02Rcos?R?0cos??P0cos?2O?x， x?Rcos?q2'???P0cos??2?Rsin?d??2?RP0?cos?dcos?0

?2?RP032cos?3?0??4?RP032。

2?7

13-2．平行板电容器，板面积为100cm，带电量?8.9?106C，在两板间充满电介质后，

其场强为1.4?10V/m，试求：（1）介质的相对介电常数?r；(2)介质表面上的极化电荷密度。

E???0?r，有：

?r?Q解：（1）由

?0ES?8.9?108.85?10?12?76?4?1.4?10?100?10?7.18

?52（2）?'?P??0(?r?1)E?7.66?10Cm

d13-3．面积为S的平行板电容器，两板间距为d，求：（1）插入厚度为3，相对介电常数

d为?r的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为3的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？

E0???0，

d3解：（1）电介质外的场强为：

Er??r??0?r，

而电介质内的场强为：

U??所以，两板间电势差为：

C?QU??03?2d???0?r?d3，

C?SUd?3?0?rS(2?r?1)d，而

那么，

C0??0Sd，∴C0?3?r2?r?1；

d3d（2）插入厚度为3的导电板，可看成是两个电容的串联， 有：

C1?C2??0Sd/3?3?0Sd， ?3C0C?33C1?C22d22。 ?C0∴

13-4．在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷

C?C1C2?3?0S的面电荷密度分别为?0与??(绝对值)，试求：（1）电介质内的场强E；（2）相对介电常数?r。

????1E?dS?解：（1）由：

E????S?0?(q?q')?r，有：

???0??'?0（∵?'给出的是绝对值） ?0???0?0E??r?0?0???0?r，有：?0E?0?0??'?0??'。 （2）又由

13-5．在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。若导体内表面的自由电荷

面密度为?，则电介质表面的极化电荷面密度为多少？(已知电介质的相对介电常数为?r)

????q'???P?dS??S解：由，考虑到P??0(?r?1)E，

有：

???SS??E?dS??q'?0(?r?1)，

?q'?q?q'联立，有：?0(?r?1)(??1)q??1q'??r?'??r???rr得：，∴。 与

????q?q'?E?dS??0?0，

13-6．如图所示，半径为R0的导体球带有电荷Q，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为R1和R2，相对电容率为?r，求：介质内、外的电场强度大小和电位移矢量大

小。

??qi???SD?dS??S内解：利用介质中的高斯定理。

（1）导体内外的电位移为：r?R0，

E?DD?Q4?r2；r?R0，D?0。

（2）由于

?0?r，所以介质内外的电场强度为：

r?R0时，E1?0；R1?r?R0时，R2?r?R1E2?D?0?Q4??0r；

E4?D2时，

E3?D?r?0?Q24??r?0r；r?R2时，

?0?Q4??0r。

2

13-7．一圆柱形电容器，外柱的直径为4cm，内柱的直径可以适当 选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度 大小为E0?200kV/m，试求该电容器可能承受的最高电压。

E?r?R?2??0?rr，

解：由介质中的高斯定理，有：

Ur?∴

?Rr??E?dr??Rr?2??0?rrdr??2??0?rlnRr，

Rr， r0?Re，

?∵击穿场强为E0，∴2??0?rdUrRr0?rE0，则

Ur?rE0ln令drr?r0?0，有：

Rr0?E0ln?E0?0lnRr0?1?，∴

Umax?r0E0lnRE0e?147KV∴

。

13-8．一平行板电容器，中间有两层厚度分别为d1和d2的电介质，它们的相对介电常数为?r1和?r2，极板面积为S，求电容量。

解：∵D1?D2??，∴

U?E1d1?E2d2?E1???0?r1，

?E2???0?r2，

?d1?0?r1??d2?0?r2，

而：

C?QU??r1?r2?0Sd1?0?r1?r2S?r2d1??r1d2。

12有：

?r1?d2?r2we?13-9．利用电场能量密度量为Q。

?E2计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为R，带电

Qr?E??14??R3?0E??Q?E?22?4??0r?解：首先求出场强分布：

r?ROR?r?R

2W?∴

????02EdV?2?02?R0(Qr4??0R)4?rdr?32?02??R(Q4??0r2)4?rdr22

?3Q220??0R。

13-10．半径为2.0cm的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为

4.0cm和5.0cm，当内球带电量为3.0?10?8C时，求：（1）系统储存了多少电能?（2）用

导线把壳与球连在一起后电能变化了多少？ 解：（1）先求场强分布：

?E1?0?q?E?224??0r?E???E3?0?q?E3?24??0r?r?R1R1?r?R2R2?r?R3r?R3R1?R2R3

we?122考虑到电场能量密度W1??E2，有：球与球壳之间的电能： q)4?rdr?222???????02EdV?2?02?RR1(q24??0rq4??0r8??0R1q2(1?1R2)?1.01?10?4球壳外部空间的电能： W2?J

?02EdV?2?02??R3(2)4?rdr?228??0R3?8.1?10?5J，

?4∴系统储存的电能：W?W1?W2?1.82?10J；

（2）如用导线把壳与球连在一起，球与球壳内表面所带电荷为0，所以W1'?0 而外表面所带电荷不变，那么：W'?W2?8.1?10

13-11．球形电容器内外半径分别为R1和R2，充有电量Q。（1）求电容器内电场的总能量；（2）证明此结果与按

We?1Q2?5J。

2C算得的电容器所储电能值相等。

E?Q24??0r，（R1?r?R2）

解：（1）由高斯定理可知，球内空间的场强为：利用电场能量密度W?we?12?ER2R12，有电容器内电场的能量： Q4??0r2????02EdV?R2R12?02?()4?rdr?1R11R222Q28??0)?(1R1?1R2)?Q(R2?R1)8??0R1R22；

UR1R2?（2）由

?Q4??0rdr?2Q4??0(?Q(R2?R1)4??0R1R2，

C?QUR1R2?4??0R1R2R2?R1则球形电容器的电容为：，

We?1Q2那么，

2C?Q(R2?R1)8??0R1R22。（与前面结果一样）

13-12．一平行板电容器的板面积为S，两板间距离为d，板间充满相对介电常数为?r的均匀介质，分别求出下述两种情况下外力所做的功：（1）维持两板上面电荷密度?0不变而把介质取出；（2）维持两板上电压U不变而把介质取出。 解：（1）维持两板上面电荷密度?0不变，有介质时：（D??0?rE，?0?D）

W2?12W1?121?0Sd2?0?r2?0?rESd?2，

?0ESd?21?0Sd22取出介质后：

?0，

?W?W2?W1?1?0Sd22外力所做的功等于静电场能量的增加：（2）维持两板上电压U不变，有介质时：取出介质后：∴

W2?12CU2?02d(1?1?r；

2)W1?12CU2?1?0?rSU，

?1?0S2dU2，

?W?W2?W1?1?0S2U(1??r)2d。

思考题13

13-1．介质的极化强度与介质表面的极化面电荷是什么关系？ 答：σ??Pcosθ。

13-2．不同介质交界面处的极化电荷分布如何？ 答：

?1??P1?en1，

??P2?en?22

?P?(P1?P2)?en 即在两种介质的交界面上，极化电荷的面密度等于两种介质的极化强度

的法向分量之差。

13-3．介质边界两侧的静电场中D及E的关系如何？

答：在两种介质的交界面上，若无自由电荷电位移矢量在垂直界面的分量是连续的，平行于界面的分量发生突变。电场强度在垂直界面的分量是不连续的，有突变。

13-4．真空中两点电荷qA、qB在空间产生的合场强为E?EA?EB.系统的电场能为

We????12V0?0Ed???2???V012V0?0E?Ed?2

1V0???12?0EAd?????2?0EBd??2???V0?0EA?EBd?.

（1）说明等式后面三项能量的意义；

（2）A、B两电荷之间的相互作用能是指哪些项？

（3）将A、B两电荷从给定位置移至无穷远，电场力做功又是哪些项？

试求直线电流I2受到电流I1磁场的作用力。 解：在直线电流I2上任意取一个小电流元I2dl， 此电流元到长直线的距离为x，无限长直线电流I1 在小电流元处产生的磁感应强度为：

B??0I12?x?，

dl?dxcos60，有：

0再利用dF?IBdl，考虑到

F?dF??0I1I22?x?dxcos60，

0∴

?ba?0I1I22?x?dxcos600??0I1I2?lnba。

14-12．在电视显象管的电子束中，电子能量为12000eV，这个显像管的取向使电子沿水平方向由南向北运动。该处地球磁场的垂直分量向下，大小为B?5.5?10T，问：（1）电子束将偏向什么方向？（2）电子的加速度是多少？（3）电子束在显象管内在南北方向上通

?5过20cm时将偏转多远？

???f?qv?B可判断出电子束将偏向东。 解：（1）根据

（2）利用

E?12南??B北mv2，有：

a?v??2EqBm电子束方向m，

2Em?6.28?1014qvBm而f?qvB?ma，∴

y?m?s?1

（3）

14-13．一半径为R的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的 长直导线的电流I等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长 直导线单位长度所受的磁力。

i?I1121Lat?a()2?3mm22v。

解：设半圆柱面导体的线电流分布为

?0i2?R?R，

如图，由安培环路定理，i电流在O点处产生的磁感应强度为：

dB??Rd?y，

BO?可求得：

?dBy??0iR2?R??0sin??d???0I1?R；

2???又∵dF?Idl?B，

dB??O故

dF?BOI2dl?f?dFdl??0I1I2?R22dl?，

?0I1I2?R，而I1?I2，

有：

f?dFdl??0I22所以：

?R。

14-14．如图14-55所示，一个带有电荷q(q?0)的粒子， 以速度v平行于均匀带电的长直导线运动，该导线的线电荷 密度为?（??0），并载有传导电流I。试问粒子要以多大 的速度运动，才能使其保持在一条与导线距离为d的平行线上？

???lB?dl??0I知： 解：由安培环路定律?电流I在q处产生的磁感应强度为：

B??0I2?d，方向?；

F洛?qvB?qv?0I2?d， 运动电荷q受到的洛仑兹力方向向左，大小：

同时由于导线带有线电荷密度为?，在q处产生的电场强度可用高斯定律求得为：

E??2??0d，q受到的静电场力方向向右，大小：

F电?q?2??0d；

欲使粒子保持在一条与导线距离为d的平行线，需

qv?0IF洛?F电，

即：2?d

?q?2??0d，可得

v???0?0I。

14-15．截面积为S、密度为?的铜导线被弯成正方形的三边， 可以绕水平轴OO?转动，如图14-53所示。导线放在方向竖 直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I时，导线离开原来 的竖直位置偏转一个角度?而平衡，求磁感应强度。

解：设正方形的边长为a，质量为m，m??aS。

平衡时重力矩等于磁力矩：

???202M?p?BM?BIasin(90??)?BIacos?； m由，磁力矩的大小：

重力矩为：

M?mgasin??2mg?a2sin??2mgasin?

2?gSItan?平衡时：BIacos??2mgasin?，∴

2B?2mgIatan??。

14-16．有一个U形导线，质量为m，两端浸没在水银槽中， 导线水平部分的长度为l，处在磁感应强度大小为B的均匀 磁场中，如图所示。当接通电源时，U导线就会从水银槽中 跳起来。假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略， 试由导线跳起所达到的高度h计算电流脉冲的电荷量q。 解：接通电流时有F?BIl?mdvdt?BIlI?dqdt，

，而

则：mdv?Bldq，积分有：

1mv2q??v0mBldv?mvBl；

BlBl又由机械能守恒：2。

14-17．半径为R的半圆形闭合线圈，载有电流I，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，如图所示。求：

（1）线圈所受力矩的大小和方向（以直径为转轴）；

（2）若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直的位置，则力矩做功为多少？ ?mgh，有：v?2gh，∴

q?mv?m2ghI?R????n2解：（1）线圈的磁矩为：pm?ISn，

???M?p?B，此时线圈所受力矩的大小为： m由

M?pmBsin2R?B?2?12?RIB2??磁力矩的方向由pm?B确定，为垂直于B的方向向上，如图；

；

I?M（2）线圈旋转时，磁力矩作功为：

A?I??m?I??2m??1m??I(B?2?R?0)??12B?RI222。 】

o?S?B【或：

A??Md???2120?RIBsin?d??212?RIB 思考题

14-1．在图（a）和（b）中各有一半径相同的圆形回路L1、L2，圆周内有电流I1、I2，其分布相同，且均在真空中，但在（b）图中L2回路外有电流I3，P1、P2为两圆形回路上的对应点，则：

(A)??B?dl?L1??L2B?dl，BP1?BP2B?dl，BP1?BP2；

(B)(D)??L1B?dl?B?dl???L2B?dl，BP1?BP2； 。

(C)??L1B?dl???L2；

??L1??L2B?dl，BP1?BP2

答：B的环流只与回路中所包围的电流有关，与外面的电流无关，但是回路上的磁感应强

度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加。所以（C）对。

14-2．哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B随x的变化关系？（x坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心O）

B??0IR223答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度∴x?0时，

B?2(R?x)22

?0I2R（x??R），

B??0IR2x32。

根据上述两式可判断（C）图对。

14-3．取一闭合积分回路L，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则： (A)回路L内的?(B)回路L内的?(C)回路L内的?III不变，L上各点的B不变； 不变，L上各点的B改变； 改变，L上各点的B不变；

I(D)回路L内的 ?改变，L上各点的B改变. 答：（B）对。

14-4．一载有电流I的细导线分别均匀密绕在半径为R和r的长直圆筒上形成两个螺线管(R?2r)，两螺线管单位长度上的匝数相等．两螺线管中的磁感应强度大小BR和Br应满足：

(A)BR?2Br；(B)BR?Br；(C)2BR?Br；(D)BR?4Br.

答：对于长直螺线管：B??0nI，由于两螺线管单位长度上的匝数相等，所以两螺线管磁感应强度相等。（B）对。

14-5．均匀磁场的磁感应强度B垂直于半径为r的圆面。今以该圆周为边线，作一半球面S，则通过S面的磁通量的大小为多少？ 答：??B?r。

14-6．如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，在磁场作用下，线圈向什么方向转动？

cd受力外，答：ab受力方向垂直纸面向里，在力偶矩的作用下，ab2垂直纸面向里运动，cd垂直纸面向外运动，从上往下看，顺时针旋

转。

14-7．一均匀磁场，其磁感应强度方向垂直于纸面，两带电粒子在磁场

中的运动轨迹如图所示，则

（A） 两粒子的电荷必然同号；

（B） 粒子的电荷可以同号也可以异号； （C） 两粒子的动量大小必然不同； （D） 两粒子的运动周期必然不同。 答：选（B）

习题15

15-1．一圆柱形无限长导体，磁导率为?，半径为R，通有沿轴线方向的均匀电流I，求： （1）导体内任一点的H、B和M；（2）导体外任一点的H、B。 解：如图，面电流密度为：

i?I2?l（1）当r?R时，利用：?有：2?r?H1??ri，

2?R。 ??H?dl??IR， I?∴导体内任一点的磁场强度

H1?Ir2?R，

B1?2?Ir2?R，

22再由B??H，有导体内任一点的磁感应强度：

M?B利用公式

，有磁化强度：

??H?dl??I?l（2）当r?R时，利用：?有：

H2?I?0?HM?1?Ir?02?R?Ir2?R2?Ir2?R2(??0?1)；

导体外任一点的磁场强度：

2?r，磁感应强度：

B2??0I2?r。

15-2．螺绕环平均周长l?10cm，环上绕有线圈N?200匝，通有电流I?100mA。试求：（1）管内为空气时B和H的大小； （2）若管内充满相对磁导率解：（1）

H?BB??0nI??0NL?r?4200的磁介质，B和H的大小。

?7I?4??10?100?10?3?2.5?10?4rT，

IIO?0?200Am；

NLI?200Am（2）

H?，

B??H??0?rH?4??10?7?4200?200?1.05T。

15-3．螺绕环内通有电流20A，环上所绕线圈共400匝，环的平均周长为40cm，环内磁感应强度为1.0T，计算： （1）磁场强度；（2）磁化强度；（3）磁化率；（4）磁化面电流和相对磁导率。 解：（1）磁场强度：

H?NLI?4000.4?20?2?104Am；

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