郑州大学数值分析重点考察内容及各章习题

《数值分析》

重点考察内容及各章作业答案

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重点考察内容

基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。

第一章基础

掌握：误差的种类，截断误差，舍入误差的来源，有效数字的判断。 了解：误差限，算法及要注意的问题。 第二章插值

掌握：Hermite插值，牛顿插值，差商计算，插值误差估计。 了解：Lagrange插值 第三章数据拟合

掌握：给出几个点求线性拟合曲线。 了解：最小二乘原理 第四章数值积分微分

掌握：梯形公式，Simpson公式，代数精度，Gauss积分，带权Gauss积分公式推导，复化

梯形公式推导及算法。

了解：数值微分，积分余项 第五章直接法

掌握：LU分解求线性方程组，运算量 了解：Gauss消去法，LDL，追赶法 第六章迭代法

掌握：Jacobi,Gauss-Seidel迭代格式构造，敛散性分析，向量、矩阵的范数、谱半径 了解：SOR迭代

第七章Nolinear迭代法

掌握：牛顿迭代格式构造，简单迭代法构造、敛散性分析，收敛阶。 了解：二分法，弦截法 第八章 ODE解法

掌握：Euler公式构造、收敛阶。

了解：梯形Euler公式、收敛阶，改进Euler公式

题目类型：填空，计算，证明综合题

第一章 误差

1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。 2. 用Taylor展开近似计算函数f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)，这里产生是什么误差？ 3. 0.7499作

3的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几4位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字.

4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确： （1）（3）

11?x?,1?2x1?x1?cosx,x|x|?1（2）x?11?1?,xx|x|?1

x?0,|x|?1.（4）sin??sin?,???

5. 采用下列各式计算(2?1)6时，哪个计算效果最好？并说明理由。

（1） 11699?702（2）（3）（4） (3?22)63(2?1)(3?22)6. 已知近似数x*有4位有效数字，求其相对误差限。

上机实验题：

xkx1、利用Taylor 展开公式计算e??，编一段小程序，上机用单精度计算e的函数

k?0k!x?值. 分别取x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法. 2、已知定积分In??In??110xndx,n?0,1,2,?,20,有如下的递推关系 x?60n?11xxn(x?6)?6xn?11dx??dx?In?1

0x?6x?6n?6可建立两种等价的计算公式 (1) In?11?6In?1,取I0?0.154；1?nIn),取I20?0. (2) In?1?（n6n

来计算I1,I2,I3,I4,?,I19，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析。

第二章 插值法

1. 已知f(0)?2,f(1)??1，那么差商f[1,0]?_________. 2. n阶差商与导数的关系是f[x0,x1,?,xn]?__________________. 3. 由导数和差商的关系知，f[xi,xi]=__________________。

4. 已知函数f(x)在x?3,1,4的值分别是4，6，9，试构造Lagrange插值多项式。 5.取节点x0?0,x1?1,x2?2, 对应的函数值和导数值分别为f(x0)?1,f(x1)?2,f'(x1)?2，试建立不超过二次的插值多项式。(如果将最后一个条件改为f'(x2)?2，插值多项式如何计算？)

6．已知f(0)?1,f(1)?2,f'(1)?3,f(2)?9，试建立不超过3次的插值多项式，并写出插值余项.

7. 设f(x)?C4[a,b],求三次多项式p3(x),使之满足插值条件

?p(xi)?f(xi),??p'(x1)?f'(x1)i?0,1,2

28. 设P1(x)是过x0,x1的一次插值多项式，f(x)?C[a,b],其中[a,b]是包含x0,x1的任一区

间。试证明：对任一给定的x?[a,b]，在（a,b）上总存在一点?，使得

R(x)?f(x)?P1(x)?f??(?)(x?x0)(x?x)1。 2!9.证明关于互异节点{xi}in?0的Lagrange插值基函数{li(x)}in?0满足恒等式

l0(x)?l1(x)???ln(x)?1

上机习题：

1. 绘制4题的Lagrange的插值函数的图像。

第三章 数据拟合

1. 数据拟合与插值的区别是什么？

2. 最小二乘原理是使偏差?i的___________达到最小

3. 求过点（2,3），（0,1），（3,5）的线性拟合函数。

4. 用最小二乘法求一形如y?a?bx2的多项式，使与下列数据相拟合

x y

19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 第四章 线性方程组的直接解法

1. 线性方程组的解法大致可分为_____________，________________。 2. 平方根法和LDLT分解法要求系数矩阵A满足______________。

3. 上三角和下三角方程组的解法分别称为___________，____________。 4. 严格对角占优矩阵的定义是什么？ 5. 试求下面矩阵的杜利特尔分解

?62?（1） ??。 3?4???213??。 457（2） ??????285???15?2??x1??1???x???13?。 0436. 用列主元高斯消去法求解方程组????2??????206????x3????3???211??x1??1???x???1?。 6?167. 用LU分解法解方程组????2?????1027????x3????2??

上机实验题：

1. 编程实现列主元的高斯消去法 2. 编程实现LU分解法

第五章 线性方程组的迭代解法

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