2017学年七年级下册华师大版数学全册教案及教学设计

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七年级下册华师大版数学全册教案及教学设计

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第6章一元一次方程

6．1从实际问题到方程

教学目的

1．通过对多个实际问题的分析，使学生体会到一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。

2．使学生会列一元一次方程解决一些简单的应用题。

3．会判断一个数是不是某个方程的解。

重点、难点

1．重点：会列一元一次方程解决一些简单的应用题。

2．难点：弄清题意，找出“相等关系”。

教学过程

一、复习提问

小学里已经学过列方程解简单的应用题，让我们回顾一下，如何列方程解应用题?

例如：一本笔记本1．2元。小红有6元钱，那么她最多能买到几本这样的笔记本呢?

解：设小红能买到工本笔记本，那么根据题意，得1.2x＝6 因为1.2×5＝6，所以小红能买到5本笔记本。

二、新授：

我们再来看下面一个例子：

问题1：某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可以乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆?

问：你能解决这个问题吗?有哪些方法? (让学生思考后，回答，教师再作讲评)

算术法：(328－64)÷44＝264÷44＝6(辆)

列方程解应用题：设需要租用x辆客车，那么这些客车共可乘44x人，加上乘坐校车的64人，就是全体师生328人，可得。44x+64＝328 （1）解这个方程，就能得到所求的结果。

问：你会解这个方程吗?试试看?

(学生可能利用逆运算求解，教师加以肯定，同时指出本章里我们将要学习解方程的另一种方法。)

问题2：在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁，就问同学：“我今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”

小敏同学很快说出了答案。“三年”。他是这样算的：

1年后，老师46岁，同学们的年龄是14岁，不是老师的三分之一。

2年后，老师47岁，同学们的年龄是15岁，也不是老师的三分之一。

3年后，老师48岁，同学们的年龄是16岁，恰好是老师的三分之一。

你能否用方程的方法来解呢？通过分析，列出方程：13＋x＝（45＋x）（2）

问：你会解这个方程吗?你能否从小敏同学的解法中得到启发？这个方程不像例l中的方程(1)那样容易求出它的解，小敏同学的方法启发了我们，可以用尝试，检验的方法找出方程(2)的解。也就是只要将x＝1，2，3，4，……代人方程(2)的两边，看哪个数能使两边的值相等，这个数就是这个方程的解。

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把x＝3代人方程(2)，左边＝13+3＝16，右边＝(45+3)＝×48＝16，

因为左边＝右边，所以x＝3就是这个方程的解。

这种通过试验的方法得出方程的解，这也是一种基本的数学思想方法。也可以据此检验一下一个数是不是方程的解。

问：若把例2中的“三分之一”改为“二分之一”，那么答案是多少?同学们动手试一试，大家发现了什么问题?

同样，用检验的方法也很难得到方程的解，因为这里x的值很大。另外，有的方程的解不一定是整数，该从何试起?如何试验根本无法人手，又该怎么办? 这正是我们本章要解决的问题。三、巩固练习

1．教科书第3页练习1、2。

2．补充练习：检验下列各括号内的数是不是它前面方程的解。

(1)x－3(x+2)＝6+x (x＝3，x＝－4)

(2)2y(y－1)＝3 (y＝－1，y＝2)

(3)5(x－1)(x－2)＝0 (x＝0，x＝1，x＝2)

四、小结。本节课我们主要学习了怎样列方程解应用题的方法，解决一些实际问题。谈谈你的学习体会。

五、作业。教科书第3页，习题6.1第1、3题。

6.2解一元一次方程

1．方程的简单变形

教学目的

通过天平实验，让学生在观察、思考的基础上归纳出方程的两种变形，并能利用它们将简单方程变形以求出未知数的值。

重点、难点

1．重点：方程的两种变形。

2．难点：由具体实例抽象出方程的两种变形。

教学过程

一、引入

上一节课我们学习了列方程解简单的应用题，列出的方程有的我们不会解，我们知道解方程就是把方程变形成x＝a形式，本节课，我们将学习如何将方程变形。

二、新授

让我们先做个实验，拿出预先准备好的天平和若干砝码。测量一些物体的质量时，我们将它放在天干的左盘内，在右盘内放上砝码，当天平处于平衡状态时，显然两边的质量相等。如果我们在两盘内同时加入相同质量的砝码，这时天平仍然平衡，天平两边盘内同时拿去相同质量的砝码，天平仍然平衡。

如果把天平看成一个方程，课本第4页上的图，你能从天平上砝码的变化联想到方程的变形吗?让同学们观察图6.2.1的左边的天平；天平的左盘内有一个大砝码和2个小砝码，右盘上有5个小砝码，天平平衡，表示左右两盘的质量相等。如果我们用x表示大砝码的质量，1表示小砝码的质量，那么可用方程x+2＝5表示天平两盘内物体的质量关系。

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问：图 6.2.1右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的?它所表示的方程如何由方程x+2＝5变形得到的?

学生回答后，教师归纳：方程两边都减去同一个数，方程的解不变。

问：若把方程两边都加上同一个数，方程的解有没有变?如果把方程两边都加上(或减去)同一个整式呢?

让同学们看图6.2.2。左天平两盘内的砝码的质量关系可用方程表示为3x＝2x+2，右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的?把天平两边都拿去2个大砝码，相当于把方程3x＝2x+2两边都减去2x，得到的方程的解变化了吗?如果把方程两边都加上2x呢?由图6.2.1和6.2.2可归结为；

方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。让学生观察(3)，由学生自己得出方程的第二个变形。即方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变：通过对方程进行适当的变形．可以求得方程的解。

例1．解下列方程

(1)x－5＝7 (2)4x＝3x－4

解：(1) 两边都加上5，得x＝7+5 即x＝12

(2) 两边都减去3x，得x＝3x－4－3x 即x＝－4

请同学们分别将x＝7+5与原方程x－5＝7；x＝3x－4－3与原方程4x＝3x－4比较，你发现了这些方程的变形。有什么共同特点? 这就是说把方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。

注意：“移项’’是指将方程的某一项从等号的左边移到右边或从右边移到左边，移项时要先变号后移项。

例2．解下列方程

(1)－5x＝2 (2) x＝

这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。

以上两个例题都是对方程进行适当的变形，得到x＝a的形式。

练习：课本第6页练习1、2、3。

练习中的第3题，即第2页中的方程①先让学生讨论、交流。

鼓励学生采用不同的方法，要他们说出每一步变形的根据，由他们自己得出采用哪种方法简便，体会方程的不同解法中所经历的转化思想，让学生自己体验成功的感觉。

三、巩固练习教科书第7页，练习

四、小结

本节课我们通过天平实验，得出方程的两种变形：

1．把方程两边都加上或减去同一个数或整式方程的解不变。

2.把方程两边都乘以或除以(不等零)的同一个数，方程的解不变。第①种变形又叫移项，移项别忘了要先变号，注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别。

五、作业教科书第7—8页习题6.2.1第1、2、3。

2、解一元一次方程

第一课时

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教学目的

1．了解一元一次方程的概念。

2．掌握含有括号的一元一次方程的解法。

重点、难点

1．重点；解含有括号的一元一次方程的解法。

2．难点；括号前面是负号时，去括号时忘记变号。

教学过程

一、复习提问

1．解下列方程：

(1)5x－2＝8 (2)5+2x＝4x

2．去括号法则是什么?“移项”要注意什么?

二、新授

一元一次方程的概念

前面我们遇到的一些方程，例如44x+64＝328 3+x＝(45+x) y－5＝2y+l 问：大家观察这些方程，它们有什么共同特征?(提示：观察未知数的个数和未知数的次数。)

只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是l，这样的方程叫做一元一次方程。

例1．判断下列哪些是一元一次方程

x＝3x－2 x－3＝－l 5x2－3x+1＝0 2x+y＝l－3y＝5

下面我们再一起来解几个一元一次方程。

例2．解方程(1) －2(x－1)＝4 (2) 3(x－2)+1＝x－(2x－1)

方程(1)该怎样解?由学生独立探索解法，并互相交流

此方程既可以先去括号求解，也可以看作关于(x－1)的一元一次方程进行求解。

第(2)题可由学生自己完成后讲评，讲评时，强调去括号时把括号外的因数分别乘以括号内的每一项，若括号前面是“－”号，注意去掉括号，要改变括号内的每一项的符号。

补充例题：解方程3x－[3(x+1)－(1+4)]＝l 方程中有多重括号，你会解这个方程吗?

说明：方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。

三、巩固练习教科书第9页，练习，l、2、3。

四、小结

本节课我们学习了一元一次方程的概念，并学习了含有括号的一元一次方程的解法。用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项，并且不要搞错符号。

五、作业教科书第12页习题6．2，2第l题。

第二课时

教学目的：

使学生掌握去分母解方程的方法，并从中体会到转化的思想。对于求解较复杂的方程，要注意培养学生自觉反思求解的过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。

重点、难点

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1、重点：掌握去分母解方程的方法。

2、难点：求各分母的最小公倍数，去分母时，有时要添括号。

教学过程

一、复习提问

1．去括号和添括号法则。

2．求几个数的最小公倍数的方法。

二、新授

例1：解方程－＝1

分析：如何解这个方程呢?此方程可改写成

＝1

所以可以去括号解这个方程，先让学生自己解。

同学们，想一想还有其他方法吗?能否把方程变形成没有分母的一元一次方程，这样，我们就可用已学过方法解它了。

解法二；把方程两边都乘以6，去分母。比较两种解法，可知解法二简便。

想一想，解一元一次方程有哪些步骤? 先让学生自己总结，然后互相交流，得出结论。

解一元一次方程，一般要通过去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成x＝a的形式。解题时，要灵活运用这些步骤。

补充例2：解方程＝－

问：如果先去分母，方程两边应同乘以一个什么数?应乘以各分母的最小公倍数，5、2、3的最小公倍数。

三、巩固练习教科书第10页，练习1、2。

(练习第1题是辨析题，引导学生进行分析、讨论，帮助学生在实践中自我认识和纠正解题中的错误)

四、小结

1．解一元一次方程有哪些步骤?

2．同学们要灵活运用这些解法步骤，掌握移项要变号，去分母时，方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上。

五、作业教科书第12页习题6.2.2第2题。

第三课时

教学目的：

理解一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列一元一次方程解简单应用题。

重点、难点

1、重点：弄清应用题题意列出方程。

2、难点：弄清应用题题意列出方程。

教学过程

一、复习

1、什么叫一元一次方程？

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2、解一元一次方程的理论根据是什么？

二、新授。

例1、如图6.2.4（课本第10页）天平的两个盘内分别盛有51克，45克食盐，问应该从盘A 内拿出多少盐放到月盘内，才能两盘所盛的盐的质量相等?

先让学生思考，引导学生结合填表，体会解决实际问题，重在学会探索：已知量和未知量的关系，主要的等量关系，建立方程，转化为数学问题。

分析：设应从A盘内拿出盐x，可列表帮助分析。等量关系；A盘现有盐＝B盘现有盐

完成后，可让学生反思，检验所求出的解是否合理。(盘A现有盐为5l－3＝48，盘B现有盐为45+3＝48。)

培养学生自觉反思求解过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。

例2. 学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖，初一同学每人搬6块，其他年级同学每人搬8块，总共搬了400块，问初一同学有多少人参加了搬砖?

引导学生弄清题意，疏理已知量和未知量：

1．题目中有哪些已知量?

(1)参加搬砖的初一同学和其他年级同学共65名。

(2)初一同学每人搬6块，其他年级同学每人搬8块。

(3)初一和其他年级同学一共搬了400块。

2．求什么? 初一同学有多少人参加搬砖?

3．等量关系是什么?

初一同学搬砖的块数十其他年级同学的搬砖数＝400

如果设初一同学有工人参加搬砖，那么由已知量(1)可得，其他年级同学有(65－x)人参加搬砖；再由已知量(2)和等量关系可列出方程6x+8(65－x)＝400，也可以按照教科书上的列表法分析

三、巩固练习教科书第11页练习1、2、3

第l题：可引导学生画线图分析等量关系是：AC十CB＝400

若设小刚在冲刺阶段花了x秒，即t1＝x秒，则t2(65－x)秒，再由等量关系就可列出方程：6(65－x)+8x=400

四、小结

本节课我们学习了用一元一次方程解答实际问题，列方程解应用题的关键在于抓住能表示问题含意的一个主要等量关系，对于这个等量关系中涉及的量，哪些是已知的，哪些是未知的，用字母表示适当的未知数(设元)，再将其余未知量用这个字母的代数式表示，最后根据等量关系，得到方程，解这个方程求得未知数的值，并检验是否合理。最后写答案。

五、作业教科书第12页习题6.2.2第3、4、5、6题。

6．3实践与探索

第一课时

教学目的

让学生通过独立思考，积极探索，从而发现；围成的长方形的长和宽在发生变化，但在围的过程中，长方形的周长不变，由此便可建立“等量关系”同时根据计算，发现随着长方形长与宽的

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变化，长方形的面积也发生变化，且长方形的长与宽越接近时，面积越大。通过问题3的教学，让学生初步体会数形结合思想的作用。

重点、难点

1．重点：通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题。

2．难点：找出“等量关系”列出方程。

教学过程

一、复习提问

1．列一元一次方程解应用题的步骤是什么?

2．长方形的周长公式、面积公式。

二、新授

问题1．用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形。

(1)使长方形的宽是长的专，求这个长方形的长和宽。

(2)使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积。

(3)比较(1)、(2)所得两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗?

让学生独立探索解法，并互相交流。第(1)小题一般能由学生独立或合作完成，教师也可提示：与几何图形有关的实际问题，可画出图形，在图上标注相关量的代数式，借助直观形象有助于分析和发现数量关系。

分析：由题意知，长方形的周长始终不变，长与宽的和为60÷2＝30(厘米)，解决这个问题时，要抓住这个等量关系。

第(2)小题的设元，可让学生尝试、讨论，对学生所得到的结论都应给予鼓励，在讨论交流的基础上，使学生知道，不是每道应用题都是直接设元，要认真分析题意，找出能表示整个题意的等量关系，再根据这个等量关系，确定如何设未知数。

(3)当长方形的长为18厘米，宽为12厘米时长方形的面积＝18×12＝216(平方厘米)

当长方形的长为17厘米，宽为13厘米时，长方形的面积＝221(平方厘米)

∴(1)中的长方形面积比(2)中的长方形面积小。

问：(1)、(2)中的长方形的长、宽是怎样变化的?你发现了什么?如果把(2)中的宽比长少“4厘米”改为3厘米、2厘米、1厘米、0.5厘米长方形的面积有什么变化?猜想宽比长少多少时，长方形的面积最大呢?并加以验证。通过计算，发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面积也发生变化，并且长和宽的差越小，长方形的面积越大，当长和宽相等，即成正方形时面积最大。

实际上，如果两个正数的和不变，当这两个数相等时，它们的积最大，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理。

三、巩固练习教科书第14页练习1、2。

第l题，组织学生讨论，寻找本题的“等量关系”。用一块橡皮泥捏出的各种形状的物体，它的体积是不变的。因此等量关系是：圆柱的体积＝长方体的体积。

第2题，先让学生根据生活经验，开展讨论，解这道题的关键是什么?题中的等量关系是什么?

通过思考，使学生明确要解决“能否完全装下”这个问题，实质是比较这两个容器的容积大小，因此只要分别计算这两个容器的容积，结果发现装不下，接着研究第2个问题，“那么瓶内水面还有多高”呢?如果设瓶内水面还有x厘米高，那么这里的等量关系是什么?

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等量关系是：玻璃杯中的水的体积十瓶内剩下的水的体积＝原来整瓶水的体积。从而列出方程四、小结

本节课同学们认真思考，积极探索，通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步体会到运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，有些等量关系是隐藏的，不明显，同学们要联系实际，积极探索，找出等量关系。

五、作业教科书第15页，习题6.3.1第1、2、3。

第二课时

教学目的

通过分析储蓄中的数量关系，以及商品利润等有关知识，经历运用方程解决实际问题的过程，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。

重点、难点

1．重点：探索这些实际问题中的等量关系，由此等量关系列出方程。

2．难点：找出能表示整个题意的等量关系。

教学过程

一、复习

1．储蓄中的利息、本金、利率、本利和等含义，它们之间的数量关系：利息＝本金×年利率×年数

本利和＝本金×利息×年数＋本金

2．商品利润等有关知识。

利润＝售价－成本＝商品利润率

二、新授

在本章6.l练习中讨论过的教育储蓄，是我国目前暂不征收利息税的储种，国家对其他储蓄所产生的利息征收20％的个人所得税，即利息税。今天我们来探索一般的储蓄问题。

问题2、小明爸爸前年存了年利率为2.43％的二年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买了一只价值48.6元的计算器，问小明爸爸前年存了多少元?

先让学生思考，试着列出方程，对有困难的学生，教师可引导他们进行分析，找出等量关系。

利息－利息税＝48.6可设小明爸爸前年存了x元，那么二年后共得利息为2.43％×X×2，利息税为2.43％X×2×20％根据等量关系，得2.43％x·2－2.43％x×2×20％＝48.6 问，扣除利息的20％，那么实际得到的利息是多少?你能否列出较简单的方程?

扣除利息的20％，实际得到利息的80％，因此可得 2.43％x·2·80％＝48.6，解方程，得x=1250

例1．一家商店将某种服装按成本价提高40％后标价，又以8折(即按标价的80％)优惠卖出，结果每件仍获利15元，那么这种服装每件的成本是多少元?

大家想一想这15元的利润是怎么来的? 标价的80％(即售价)－成本＝15

若设这种服装每件的成本是x元，那么每件服装的标价为：(1+40％)x

每件服装的实际售价为：(1+40％)x·80％，每件服装的利润为：(1+40％)x·80％－x

由等量关系，列出方程：(1+40％)x·80％－x＝15 解方程，得x＝125答：每件服装的成本是125元。

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三、巩固练习教科书第15页，练习1、2。

四、小结

本节课我们利用一元一次方程解决有关储蓄、商品利润等实际问题，当运用方程解决实际问题时，首先要弄清题意，从实际问题中抽象出数学问题，然后分析数学问题中的等量关系，并由此列出方程；求出所列方程的解；检验解的合理性。应用一元一次方程解决实际问题的关键是：根据题意首先寻找“等量关系”。

五、作业教科书第16页，习题6.3.1，第3、4、5题。

第三课时

教学目的

1．使学生理解用一元一次方程解工程问题的本质规律；通过对“工程问题”的分析进一步培养学生用代数方法解决实际问题的能力。

2．使学生在自主探索与合作交流的过程中理解和掌握基本的数学知识、技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高解决问题的能力。

重点、难点

重点：工程中的工作量、工作的效率和工作时间的关系。

难点：把全部工作量看作“1”。

教学过程

一、复习提问

1．一件工作，如果甲单独做2小时完成，那么甲独做I小时完成全部工作量的多少?

2．一件工作，如果甲单独做a小时完成，那么甲独做1小时，完成全部工作量的多少?

3．工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系?

二、新授

让学生阅读教科书第16页中的问题3。

分析：1．这是一个关于工程问题的实际问题，在这个问题中，已经知道了什么?小刘提出什么问题?

已知：制作一块广告牌，师傅单独完成需4天，徒弟单独做要6天。小刘提出的问题是：两人合作需要几天完成?

2．怎样用列方程解决这个问题?本题中的等量关系是什么?[等量关系是：师傅做的工作量+徒弟做的工作量＝1] 若设两人合作需要x天完成，那么甲、乙分别做了几天?甲、乙的工作效率是多少?

本题中工作总量没有告诉，我们把它看成“1”，根据等量关系可得方程。（略）

3．你还能提出什么问题?试试看，并解答这些问题。

让学生充分思考，大胆提出问题，互相交流，对于合理的问题，让大家共同解答，对于不合理的问题，让大家探讨为什么不合理?应改为怎样提?

4．李老师把两位同学的问题，合起来后，已知条件增加了什么?求什么?

[“徒弟先做1天”，也就是说徒弟比师傅多做1天]

5．要解决本题提出的问题，应先求什么？[先要求出师傅与徒弟各完成的工作量是多少?]

两人的工效已知，要先求他们各自所做的天数，因此，设师傅做了x天，则徒弟做(x+1)天，根据等量关系，列方程（略）

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三、巩固练习

一件工作，甲独做需30小时完成，由甲、乙合做需24小时完成，现由甲独做10小时；请你提出问题，并加以解答。例如(1)剩下的乙独做要几小时完成?(2)剩下的由甲、乙合作，还需多少小时完成?

(3)乙又独做5小时，然后甲、乙合做，还需多少小时完成?

四、小结

1.本节课主要分析了工作问题中工作量、工作效率和工作时间之间的关系，即

工作量＝工作效率×工作时间

工作效率＝工作量工作时间工作时间＝工作量工作效率

2.解题时要全面审题，寻找全部工作，单独完成工作量和合作完成工作量的一个等量关系列方程。

五、作业教科书习题6.3.2第1、2、3题。

小结与复习(一)

教学目的

了解一元一次方程的概念，根据方程的特征，灵活运用一元一次方程的解法求一元一次方程的解，进一步培养学生快速准确的计算能力，进一步渗透“转化”的思想方法。

重点、难点

1．重点：一元一次方程的解法。

2．难点：灵活运用一元一次方程的解法。

教学过程

一、复习提问

定义：只含有一个未知数，且含未知数的项的次数1的整式方程。一元一次方程解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为l，把一个一元一次方程“转化”成x=a“的形式。

二、练习

1．下列各式哪些是一元一次方程。（略）

2．解下列方程。

(1)(x一3)＝2一(x一3) (2) [(x一3)－]=1－x

学生认真审题，注意方程的结构特点。选用简便方法。

第(1)小题，可以先去括号，也可以先去分母，还可以把x一3看成一个整体，解关于x一3的方程。方法—：去括号，得x—3=2—x+ 3 移项，得x+x=2＋3＋3 合并同类项，得x=5

方法二：去分母，得x一3＝4一x+3 (强调等号右边的“2”也要乘以2，而且不要弄错符号) 移项，得x+x＝4+3十3 合并同类项，得2x＝10 系数化为1，得x=5

方法三：移项(x一3)+(x一3)＝2 即x一3= 2 ∴x＝5

第(2)小题有双重括号，一般情况是先去小括号，再去中括号，但本题结构特殊，应先去中括号简便，注意去中括号时，要把小括号看作一个整体，中括号里先看成2项。

解：去中括号，得(x一3)一×＝1一x 即x一3一＝1一x 移项，得x+x＝1+3 合并同类项，得2x＝4

系数化为1，得x=2 也可以让学生先去小括号，让他们对两种解法进行比较。

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3．解方程。

｜5x一2｜＝3

分析：把5x一2看作一个数a，那么方程可看作｜a｜＝3，根据绝对值的意义得a＝3或a＝一3

解：根据绝对值的意义，原方程化为：5x一2＝3 或5x一2＝一3

解方程5x一2＝3 得x=l

解方程5x一2=一3 得x=－0.5 所以原方程解为：x＝1或x＝－0.5

4．已知，｜a一3｜+(b十1)2 =o，代数式的值比b一a十m多1，求m的值。

解：因为｜a一3｜≥0 (b+1)2≥0

又｜a一3｜+(b十1)2 =0

∴｜a一3｜＝0 且(b+1)2 =0 ∴a－3=0 b十l=0

即a＝3 b= 一1 把a=3，b=一1分别代人代数式, b－a+m得m＝0

5．m为何值时，关于x的方程4x一2m＝3x+1的解是x＝2x一3m的2倍。

解：关于；的方程4x一2m＝3x+1，得x＝2m+1

解关于x的方程x＝2x一3m 得x＝3m

∵根据题意，得2m+l=2×3m 解之，得m＝0.25

三、小结

在解一元一次方程时要注意选择合理的解方程步骤，解方程的方法、步骤可以灵活多样,但基本思路都是把“复杂”转化为“简单”，把“新”转化为“旧”，求出解后，要自觉反思求解过程和检验方程的解是否正确。

四.作业教科书第21复习题A组第1、2 B组9、10选做C组13、14。

小结与复习(二)

教学目的

使学生进一步能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，能借助图表整体把握和分析题意，从多角度思考问题，寻找等量关系，恰当地转化和分析量与量之间的关系，提高学生运用方程解决实际问题的能力。

重点、难点

1．重点：运用方程解决实际问题。

2．难点：寻找等量关系，间接设元。

教学过程

一、复习

列一元一次方程解应用题的步骤。

二、新授

例1．为了准备小勇6年后上大学的学费5000元，他的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式。

(1)直接存一个6年期，年利率是2.88％；

(2)先存一个3年期的，3年后将本利和自动转存一个3年期。3年期的年利率是2.7％。

你认为哪种储蓄方式开始存人的本金比较少?

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分析：要解决“哪种储蓄方式开始存入的本金较少”，只要分别求出这两种储蓄方式开始存人多少元，然后再比较。设开始存入x元。．

如果按照第一种储蓄方式，那么列方程：x×(1十2.88％×6)＝5000 解得x≈4263(元)

如果按照第二种蓄储方式，可鼓励学生自己填上表，适当时对学生加以引导，对有困难的学生复习：本利和＝本金十利息利息：本金X利率X期数

等量关系是：第二个3午后本利和＝5000所以列方程1.081x·(1十2.7％×3)＝5000 解得x ≈4279

这就是说，大约4280元，3年期满后将本利和再存一个3年期，6年后本利和达到5000元。

因此第一种储蓄方式<即直接存一个6年期)开始存人的本金少。

例2．解答下列各问题：

(1)据《北京日报》2000年5月16日报道：北京市人均水资源占有300立方米，仅是全国人均占有量的，世界人均占有量的，问全国人均水资源占有量是多少立方米?世界人均水资源占有量是多少立方米?

(2)北京市一年漏掉的水相当于新建一个自来水厂，据不完全统计，全市至少有6×l05个水龙头，2×l05个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头，一个月能漏掉a立方米水，一个漏水马桶，一个月漏掉b立方米水，那么一个月造成的水流失量至少有多少立方米?(用含a、b的代数式表示)

(3)水源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫，针对居民用水浪费现象，北京市将制定居民用水标准，规定三口之家楼房每月标准用水量，超标部分加价收费，设不超标部分每立方米水费1.3元，超标部分每立方米水费2.9元，某住楼房的三口之家某月用水12立方米，交水费22元，请你通过列方程求出北京市规定三口之家楼房每月标准用水量是多少立方米?

三、巩固练习

1．爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄(3年期的年利率为2.7％)，3年后能取5405元，他开始存入了多少元?

2．一收割机收割一块麦田，上午收了麦田的25％，下午收割了剩下麦田的20％，结果还剩6公顷麦田未收割，这块麦田一共有多少公顷?

3．儿子今年13岁，父亲今年40岁，父亲的年龄可能是儿子年龄的4倍吗?

四、小结

本节课我们复习了利用一元一次方程解决实际问题，方程是刻画现实世界的有效数学模型，列方程解实际问题的关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时可以借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义。

五、作业第21页复习题A组第3、4、5、6、7、8。B组11、12选做C组15、16。

第七章二元一次方程组

7.1 二元一次方程组和它的解

教学目的

1．使学生了解二元一次方程，二元一次方程组的概念。

2．使学生了解二元一次方程；二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它们的解。

3．通过引例的教学，使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代

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数方法的优越性。

重点、难点

1．重点：了解二元一次方程。二元一次方程组以及二元一次方程

组的解的含义，会检验一对数是否是某个二元一次方程组的解。

2．难点；了解二元一次方程组的解的含义。

教学过程

一、复习提问

1．什么叫一元一次方程?什么叫一元一次方程的解?怎样检验一个数是否是这个方程的解?

2．列方程解应用题的步骤。

二、新授

问题1：暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，勇士队在第一轮比赛中共赛9场，得17分。

比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得。分，勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场?又平了几场呢?

这个问题可以用算术方法来解，也可以列一元一次方程来解，请同学们选一种方法试一试。

解后反思：既然是求两个未知量，那么能不能同时设两个未知数?学生尝试设勇士队胜了x场，平了y场。让学生在空格中填人数字或式子：（略）（见教科书）

那么根据填表结果可知

x十y=7 ①3x+y=17 ②

这两个方程有什么共同的特点?(都含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1)

这里的x、y要同时满足两个条件：一个是胜与平的场数和是7场；另一个是这些场次的得分一共是17分，也就是说，两个未知数x、y必须同时满足方程①、②。因此，把两个方程合在一起，并写成

x+y＝7 ①3x+y=17 ②

上面，列出的两个方程与一元一次方程不同，每个方程都有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程，叫做二元一次方程。把这两个二元一次方程①、②合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的解释；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。

用算术方法或通过列一元一次方程都可以求得勇士队胜了5场，平了2场，即x=5，y＝2 这里的x＝5，与y=2既满足方程①即5十2＝7又满足方程②，即3×5十2＝17

我们就说x＝5与y＝2是二元一次方程组的解。

一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

二元一次方程组的解的检验范例。

三、巩固练习第25页问题2。

四、小结

1．什么是二元一次方程，什么是二元一次方程组?

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2．什么是二元一次方程组的解?如何检验一对数是不是某个方程组的解?

五、作业教科书第26页习题7.1全部。

7.2 二元一次方程组的解法

第一课时

教学目的

1．使学生通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，化二元——次方程组为一元一次方程。

2．使学生了解“代人消元法”，并掌握直接代入消元法。

3．通过代入消元，使学生初步理解把“未知”转化为“已知”，复杂问题转化为简单问题的思想方法。

重点、难点

1．重点；用代入法把二元一次方程组转化为一元一次方程。

2．难点：用代入法求出一个未知数值后，把它代入哪个方程求另一个未知数值较简便。

教学过程

一、复习

1．什么叫二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解?

2．把3x+y＝7改写成用x的代数式表示y的形式。

二、新授

回顾上一节课的问题2。在问题2中，如果设应拆除旧校舍xm2，建新校舍ym2，那么根据题意可列出方程组。y-x=20000×30% ①y=4x ②

怎样求这个二元一次方程组的解呢?

方程②表明，可以把y看作4x，因此，方程①中的y也可以看成4x，即将②代人①(得到一元一次方程，实际上此方程就是设应拆除旧校舍xm2，所列的一元一次方程)。

这样就二元转化为一元，把“未知”转化为“已知”。你能用同样的方法来解问题1中的二元一次方程组吗?

让学生自己概括上面解法的思路，然后试着解方程组。对有困难的同学，教师加以引导。并总结出解方程的步骤。

1. 选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程③。

2．把③代人另一个方程，得一元一次方程。

3．解这个一元一次方程，得一个未知数的值。

4．把这个未知数的值代人③，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。

以上解法是通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的解法叫做代人消元法，简称代入法。

三、巩固练习教科书第29页，练习。

四、小结

1．解二元一次方程组的思路。

2．掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤。

五、作业教科书第34页习题7．2题第1题。

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第二课时

教学目的

1．使学生进一步理解代人消元法的基本思想和代入法解题的一般步骤。

2．让学生在实践中去体会根据方程组未知数系数的特点，选择较为合理、简单的表示方法，将一个未知数表示另一个未知数。

重点、难点

1．重点：熟练地用代人法解一般形式的二元一次方程组。

2．难点：准确地把二元一次方程组转化为一元一次方程。

教学过程

一、复习

1．方程组2x+5y=-2如何求解?关键是什么?解题步骤是什么?

x=8-3y

2．把方程2x-7y＝8 (1)写成用含x的代数式表示y的形式。(2)写成用含y的代数式表示x的形式。

二、新授

2x-7y=8 ①

例：解方程3x-8y-10=0 ②

分析：这两个方程中未知数的系数都不是l，那么如何求解呢?消哪一个未知数呢?

如果将①写成用一个未知数来表示另一个未知数，那么用x表示y，还是用y表示x好呢?(让学生自己探索、归纳) 因为x的系数为正数，且系数也较小，所以应用y来表示x较好。

尝试解答。教师板书解方程的过程。这里是消去x，得关于y的一元二次方程，能否消去y呢?让学生

试一试，然后通过比较，使学生明白本题消x较简单。

三、巩固练习第30页，练习1、2（1）（2）

四、小结

对于一般形式的二元一次方程用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错，选取的原则是：

1．选择未知数的系数是1或－l的方程；

2．若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程，将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代人没有变形的方程中去。这样就把二元一次方程组转化为一元一次方程了。

五、作业第30页，第2题的(3)、(4)。

第三课时

教学目的

1．使学生进一步理解解方程组的消元思想。

2．使学生了解加减法是消元法的又一种基本方法，并使他们会用加减法解一些简单的二元一次方程组。

重点、难点

1，重点：用加减法解二元一次方程组。

2．难点：两个方程相减消元时对被减的方程各项符号要做变号处理。

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教学过程

一、复习

1．解二元一次方程组的基本思想是什么?

2．用代人法解方程组

3x+5y=5 ①

3x-4y=23 ②

学生口述解题过程，教师板书。

二、新授

对复习2的反思并引入新课。

用代入法解二元一次方程的基本思想是消元，只有消去一个未知数，才能把二元转化为熟悉的一元方程求解，为了消元，除了代入法还有其他的方法吗?(让学生主动探求解法，适当时教师可作以下引导)

观察方程组在这个方程组中，未知数x的系数有什么特点?怎样才能把这个未知数消去?你的根据是什么?

这两个方程中未知数x的系数相同，都是3，只要把这两个方程的左边与左边相减、右边与右边相减，就能消去x从而把它转化为一元一次方程。把方程①两边分别减去方程②的两边，相当于把方程①的两边分别减去两个相等的整式。

为了避免符号上的错误(3x+5y)-(3x-4y)=5-23

板书示范时可以如下：3x+5y-3x+4y=-18

解：把①－②得9y＝－18

y=－2

把y＝－2代入①，得3x+5×(－2)=5

解得x=5

∴x＝5 这结果与用代入法解的结果一样

y=－2 也可以通过检验

从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新解法吗？让学生自己概括一下。

例2.解方程组3x+7y=9 ①

4x-7y=5 ②

怎样解这个方程组呢?用什么方法消去一个未知数?先消哪个未知数比较方便？

①+②，得7x=14 ［两个方程中，未知数y的系数是互为相反

x=2 数，而互为相反数的和为零，所以应把方程

将x=2代入①，得①的两边分别加上方程②的两边］

6+7y＝9 y＝3|7

∴x＝2

y＝3|7

以上两个例子是通过将两个方程相加(或相减)，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫加减消元法，简称加减法。

三、巩固练习第31页，练习1、2。

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四、小结

今天我们又学习了解二元一次方程组的另一种方法――加减法，它是通过把两个方程两边相加(或相减)消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程。请同学们归纳一下，什么样的方程组用“代入法”，什么样的方程组用“加减法”。

五、作业第31页练习3、4。

第四课时

教学目的

使学生了解用加减法解二元一次方程组的一般步骤，能熟练地用加减法解较复杂的二元一次方程组。

重点、难点

1．重点：将方程组化成两个方程中的某一未知数的系数的绝对值相等。

2．难点：将方程组化成两个方程中的某一未知数的系数的绝对值相等。

教学过程

一、复习

下列方程组用加减法可消哪一个元，如何消元，消元后的一元一次方程是什么?

3x+4y＝-3.4 4x－2y＝5.6

6x-4y＝5.2 7x－2y＝7.7

二、新授

例l.解方程组9x+2y=15 ①

3x+4y=10 ②

分析如果用加减法解，直接把两个方程的两边相减能消去一个未知数吗?如果不行，那该怎么办呢?

当两个方程中某个未知数系数的绝对值相等时，可用加减法求解，你有办法将两个方程中的某个系数变相同或相反吗?

方程②中y的系数是方程①中y系数的2倍，所以只要将①×2

例2．解方程组

3x－4y＝10 ①

15x+6y＝42 ②

这个方程组中两个方程的x,y系数都不是整数倍。那么如何把其中一个未知数的系数变为绝对值相等呢?该消哪一个元比较简便呢?(让学生自主探索怎样适当地把方程变形，才能转化为例3或例4那样的情形。)

分析：(1)若消y，两个方程未知数y系数的绝对值分别为4、6，要使它们变成12(4与6的最小公倍数)，只要①×3，②×2(2)若消x，只要使工的系数的绝对值等于15。(3与5的最小公倍数，因此只要①×3，②×2)

请同学们用加减法解本节例2中的方程组。2x－7y＝8 3x－8y－10＝0

做完后，并比较用加减法和代人法解，哪种方法方便?

教师讲评：应先整理为一般式。

三、巩固练习教科书第33页，练习1.3。

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四、小结（教师说出条件部分，学生回答结论部分)。

加减法解二元一次方程组，两方程中若有一个未知数系数的绝对值相等，可直接加减消元；若同一未知数的系数绝对值不等，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解；若方程组比较复杂，应先化简整理。

五、作业教科书第33页练习2.4。

第五课时(习题课)

教学目的

1．使学生进一步理解二元一次方程(组)的解的概念。

2．使学生能够根据题目特点熟练地选用代入法或加减法解二元一次方程组。

教学过程

一、复习

1．什么是二元一次方程，二元一次方程组以及它的解?

2．解二元一次方程组有哪两种方法?它们的实际是什么?

3．举例说明解二元一次方程组什么情况下用代人法，什么情况下用加减法?

[当方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值为l或有一个方程的常数项是。时，用代人法；当两个方程中某人未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法。)

二、课堂练习

1．方程2x+39＝3与下面哪个方程所组成的方程组的解是

x=3

y＝－1

A．41+6y=－6 B．x－2y=5

C．3x＋4y＝4 D．以上都不对

2．方程组3x－7y=7的解是否满足方程2x+3y＝－5

5x＋2y=2

3．解下列方程组应消哪个元，用哪一种方法较简便?

(1)2x-3y=-5 ①［消x，用代入法，

3x=2y ②由②得x=y 再代入①］

(2)2x+3y=5 ①［消x用加减法，

4x-2y=1 ②①×②－②］

(3)3x+2y-2=0 ①［整体代入，消y，

－2x=－②由①得3x+2y=2代入②］

4．解方程组

6x+5z=25 ①3x+2z=10 ②

探索简便方法：可以用加减法，①－②×2，也可以用代人法，由②得3x＝l0－2x，代人①得2×(10－2z)+5z＝25

三、作业教科书第39页复习题l、2、①②③。

第六课时

教学目的

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1．使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用。

2．通过应用题的教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性，体会列方程组往往比列一元一次方程容易。

3．进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力。

重点、难点、关键

1、重、难点：根据题意，列出二元一次方程组。

2、关键：正确地找出应用题中的两个等量关系，并把它们列成方程。

教学过程

一、复习

我们已学习了列一元一次方程解决实际问题，大家回忆列方程解应用题的步骤，其中关键步骤是什么?

[审题；设未知数；列方程；解方程；检验并作答。关键是审题，寻找出等量关系]

在本节开头我们已借助列二元一次方程组解决了有2个未知数的实际问题。大家已初步体会到：对两个未知数的应用题列一次方程组往往比列一元一次方程要容易一些。

二、新授

例l：某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力是：每天精加工6吨或者粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务?如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元?

分析：解决这个问题的关键是先解答前一个问题，即先求出安排精加和粗加工的天数，如果我们用列方程组的办法来解答。

可设应安排x天精加工，y加粗加工，那么要找出能反映整个题意的两个等量关系。引导学生寻找等量关系。(1)精加工天数与粗加工天数的和等于15天(2)精加工蔬菜的吨数与粗加工蔬菜的吨数和为140吨。指导学生列出方程。对于有困难的学生也可以列表帮助分析。

例2：有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。求：3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?

分析：要解决这个问题的关键是求每辆大车和每辆小车一次可运货多少吨?如果设一辆大车每次可以运货x吨，一辆小车每次可以运货y吨，那么能反映本题意的两个等量头条是什么？

指导学生分析出等量关系。（1）2辆大车一次运货＋3辆小车一次运货＝15.5

（2）5辆大车一次运货＋6辆小车一次运货＝35

根据题意，列出方程，并解答。教师指导。

三、巩固练习教科书第34页练习l、2、3。

第3题：首先让学生明白什么叫充分利用这船的载重量与容量，让学生找出两个等量关系。

四、小结

列二元一次方程组解应用题的步骤。

1．审题，弄清题目中的数量关系，找出未知数，用x、y表示所要求的两个未知数。

2．找到能表示应用题全部含义的两个等量关系。

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