中国石油大学大学物理实验课后习题答案及详解

第一章 误差估算与数据处理方法

课后习题答案及详解

1．指出下列各量有效数字的位数。

(1)U?1.000kV 有效位数：4 (2)L?0.000123mm 有效位数：3 (3)m?10.010kg 有效位数：5 (4)自然数4 有效位数：无限位

2．判断下列写法是否正确，并加以改正。 (1)I?0.0350A?35mA

错，0.0350A有效位数为3位，而35mA有效位数为2位，二者物理意义不同，

1不可等同，应改为I?0.0350A?3.50?10mA。

(2)m??53.270?0.3?kg

错，测量结果(即最佳估计值m?53.270)有效数字的最后一位应与不确定度的末位对齐。测量结果有效数字取位时，应遵循“四舍六入五凑偶”的原则；而且，不确定度应记为“?”的形式。故应将上式改成m??53.3?0.3?kg。

4h?27.3?10?2000km (3)

??错，当采用科学计数法表示测量结果时，最佳估计值与不确定度应同时用科学计数法表示，并且10的指数应取一致，还要保证最佳估计值的最后一位与不确

4定度的末位对齐。因此，上式应改为h??27.3?0.2??10km。

(4)x??4.325?0.004?A 正确。

3．试按有效数字修约规则，将下列各数据保留三位有效数字。 3.8547，2.3429，1.5451，3.8750，5.4349，7.6850，3.6612，6.2638

3.85 2.34 1.54 3.88 5.43 7.68 3.66 6.26 有效数字修约应遵循“四舍六入五凑偶”原则。 4．按有效数字的确定规则，计算下列各式。 (1)343.37?75.8?0.6386??

解：原式?343.37?75.8?0.64?419.81?419.8 (2)88.45?8.180?76.543??

解：原式?88.45?8.180?76.543?3.727?3.73 (3)0.0725?2.5??

解：原式?0.0725?2.5?0.18

(4)?8.42?0.052?0.47??2.001??

解：原式??8.42?0.052?0.47??2.001?8.00?2.001?4.00

5．分别写出下列各式的不确定度传播公式。 (1)

Q?1KA2?B22(K为常数)

??解：

(a)绝对不确定度：

1??Q???Q?uC?Q???uA???uB??K2??A???B? ?1K222??A?B???A?B?????u?uA?B????A?B?????22?2?22?2?2Au???2Bu?2AB2?K?Au???Bu?2AB2

22(b)相对不确定度：

2?AuA???Bub?u?Q?K?AuA???Bub?E?C??221QA?B22KA?B2

其中，uA、uB分别表示A、B量的合成不确定度。

22??(2)解：

N?1?B?C?D2?1FA2

(a)绝对不确定度：

??N???N???N???N???N?uC?N???uA???uB???uC???uD???uF??A?B?C?D?F??????????22222222?1??1??1??2??1? ???2?B?C?D2uA???D2uB????D2uC????B?C?DuD????uF??A??A??A??A??2?22222??D???12??12??2D??1? ???B?C???A??uA???ADuB???ADuC???A?B?C?uD???2uF???????????????222 (b)相对不确定度：

E?uC?N?N222222??D???12??12??2D??1???B?C???A??uA???ADuB???ADuC???A?B?C?uD???2uF??????????????? ?1?B?C?2?1FA2 其中，uA、uB、uC、uD、uF分别表示A、B、C、D、F量的合成不确定度。

A2?B2f?4A (3)

解：

(a)绝对不确定度：

??A2?B2????A2?B2????????????22????4A????4A?????f???f?uC?f???uA???uB????uA???uB??A?B?A?B??????????????????A/4?B2/?4A????A/4?B2/?4A?? ??uA???uB??????A?B????222????21 ?4??A?B2/A???A?B2/A?????u?uA?B????A?B????22??2??21??B2???2B? ?1?2?uA???uB???????4??A???A?

(b)相对不确定度：

2

22??A2?B2??1??B2???2B?2??????1?u?uu?2Bu??????B2?A??AB??A?4AA?u?f??????????E?C??A2?B2fA2?B24A

其中，uA、uB分别表示A、B量的合成不确定度。

(4)解：

V??d2h4

(a)绝对不确定度：

??h???d2???V???V?uC?V???ud???uh?????2d?ud????4uh???d?h4????????4

(b)相对不确定度：

?2222?d?2hu???du?2dh2

22u?V?4E?C?V

?d?2hu???du?dh?d2h4?u??u???2d???h??d??h?22

其中，ud、uh分别表示d、h量的合成不确定度。

6．用最小刻度为0.1cm的米尺对物体进行长度测量，其数据为L?cm??9.92，9.94，9.87，9.86，9.91，若置信概率为95.5%，则测量结果应该表示为?

解： (1)最佳值L

平均值有效数字的位数可比原数据有效数字的位数多取一位。

i5

L??Li?15?9.92?9.94?9.87?9.86?9.9149.50??9.900(cm)55

(2)不确定度ud

A类分量：

uA?L??SL? ???L?L?ii?1525?5?1?5?4?9.92?9.900?2??9.94?9.900?2????9.91?9.900?2加、减法中间计算结果的末位与运算各数据中末位数数

0.022?0.042?0.032?0.042?0.012 ?量级最大的那一位

20对齐(如9.92)，不必再多取一位。

?10?4?22?4?3?4?1202222?乘方、开方运算的中间计算结果的有效数字位数可比被乘方、被开方数的有效数字

加、减法中间计算

中间过程的不确定度可多取一位有效数字(两位)，且遵

10?4?4.0?16?9.0?16?1.0?结果的末位与运算 ?20各数据中末位数数

量级最大的那一位

46?10?446 ???10?2?2.30?10?2?1.516?10?2?0.016cm对齐(如16)，不必20.020.0

米尺的仪器误差取其最小刻度的一半，即0.05cm。

常数

3可根据具体计

算需要多取几位有效数B类分量：

L的合成不确定度：

uB?L???仪3?0.05?0.028cm1.732

22?L??uB?L??1.62?2.82?10?2?2.56?7.84?10?3?10.40?10?2?0.04cmuC?uA

乘方、开方运算的中间计算结果的有效数字位数可比被乘方、被开方数的有效数字

绝对不确定度保留一位有效数字，且遵循“只进不舍”的取舍原则。

由于置信概率为95.5%，则扩展不确定度

U?2?uC?2?0.04?0.08cmE?

(3)测量结果表示

U0.08??0.80%L9.900

?P?95.5%????9.90?0.08?g/cm3 E?0.80%

7．用量程为20mA，准确度等级为0.5级的电流表测量某电流的指示值为

15.00mA，其测量结果的最大误差为？

解：

测量结果的最大误差即仪器误差。仪器误差=量程?准确度等级%，而与测量指示值15.00mA无关。该题测量结果的最大误差?20?0.5%?0.1(mA)。注意，仪器误差通常取一位有效数字。

8．用千分尺(仪器极限误差为?0.004mm)测量一钢球直径6次，测量数据为：14.256、14.278、14.262、14.263、14.258、14.272(mm)；用天平(仪器极限误差为?0.06g)测量它的质量1次，测量值为：11.84g，试求钢球密度的最佳值与不确定度。

?解：密度为间接测量量，直径d与质量m为直接测量量，故应按间接测量

数据处理方法来求测量结果。

1．直径d的处理 (1)最佳值d

6

(2)不确定度

d??di?16i?14.256?14.278???14.272?14.2648mm6 平均值有效数字的位数可比原数据有效数字的位数多取一位。

A类分量：

uA?d??Sd? ???di?16i?d?26?6?1?6?5?14.256?14.2648?2??14.278?14.2648?2????14.272?14.2648?20.0092?0.0132?0.0032?0.0022?0.0072?0.0072 ?3010?692?132?32?22?72?72 ?30??10?6?81?169?9.0?4.0?49?49? ?30361?10?6361 ???10?3?12.03?10?3?0.0035mm30.0030.00

B类分量：

d的合成不确定度：

uB?d???仪3?0.004?0.0023mm1.732

22?d??uB?d??3.52?2.32?10?3?12.2?5.29?10?3?17.5?10?3?0.0042mmud?uA

2．质量m的处理

乘方、开方运算的中间计算结果的有效数字位数可比被乘方、被开方数的有效数字位数多取一位，以免取舍造成的误差过大。 由于质量m为单次测量值，因此不存在标准不确定度的A类分量uA?m?，并且B类分量

uB?m???仪??仪?0.06g，则质量m的合成不确定um?uB?m??0.06g。

3．密度ρ的处理 (1)最佳值?

6m6?11.84g6?11.84??3?d33.14159??1.4265cm?3.14159?2.90279?应比运算各数中有效数

6?11.84 ??7.790g/cm3字位数最多的(如1.42648)

3.1416?2.9028 还多取一位。

乘除法运算以各运算数据中有效数字位数最少密度7.790是最后计算结果，其有效数

的为准(11.84有效数字位数为4)，其余数据在中字的位数与11.84(有效数字位数最少)

间计算过程中可多取一位有效数字(即5位)。 一致，不要再多取一位有效数字。

??(2)合成不确定度uC???

密度与质量和直径之间的函数为简单乘除关系，可先计算相对不确定度E。

E?uC?????u??u???ln????ln????ud???um???3d???m???d???m??d??m?22222222?3?0.0042??0.06??3?0.0042??0.06? ????????????14.264811.8414.312???????? ??0.881?10???5.0?10??32?32?0.8812?5.02?10?3?3?3?3 ?0.7761?25.0?10?0.78?25.0?10?25.8?10?0.51%

uC??????E?7.790?0.51%?0.04g/cm3?密度的合成不确定度：

(3)最终结果为

?P?68.3%????7.79?0.04?g/cm3

I/mA L/mm E?0.51%

9．示波管磁偏转实验中，偏转距离与电流之间关系数据如下表所示。

6.0 5.0 10.5 10.0 15.5 15.0 21.0 20.0 26.2 25.0 31.6 30.0 36.8 35.0 42.1 40.0 (1)用直角坐标纸作图，并求出I?L之间的关系式；

(2)用逐差法求出I?L之间的关系式。

解：

I?L之间成(1)由图可看出，

454035302520151055I/mAP2?38.0,40.0?一次函数关系，因此可设I?L的

关系式为I?kL?b。

P3?21.0,22.5?， 9.1?1?8.0 在图中任取两点P 40.0?，可得斜率 和P2?38.0 ，40.0?9.130.9k???1.0338.0?8.030.0

L/mm1015202530354045P1?8.0,9.1? 22.5?以及斜率k代入设定的关系式中，可得截距 将第三点P3?21.0 ，b?22.5?1.03?21.0?22.5?21.63?0.87?0.9

因此I与L的关系式为

(2)逐差法

I?1.03L?0.9

由于有8组数据，所以数据处理应采取隔4项(8/2)逐差的方法，则L每次改变?L?20.0时，电流改变值的算术平均值为

?4I??I5?I1???I6?I2???I7?I3???I8?I4??83.7?20.944

I?L关系式的斜率为

任取一组数据(如(30.0，31.6))代入I?L关系式中，可得截距

b?31.6?1.04?30.0?31.6?31.20?0.4

因此I与L的关系式为：

k??4I20.9??1.04?L20.0

I?1.04L?0.4

10．已知某两个量u与L之间具有关系L?ku?b，测量数据如下表所示。

??L??10?u?1038.75 0.72 19.43 5.70 30.52 10.81 41.86 15.69 52.71 20.71 63.44 25.83 ?2用最小二乘法写出u与L的关系式。 解：

168.75?19.43???63.44216.71u??ui??103??103?36.1833?1036i?166 160.72?5.70???25.8379.46L??Li??10?2??10?2?13.243?10?26i?166

1628.752?19.432?30.522?41.862?52.712?63.442u??ui??1066i?169940.6 ??106?1656.77?1066

2168.75?0.72?19.43?5.70???63.44?25.83uL??uiLi??1016i?166.30?110.8?329.92?656.78?1091.6?1638.6 ??10163834.0 ??101?6.39000?1036

??k、b的最佳值k、b为

u?L?uL36.1833?103?13.243?10?2?6.39000?103?k??222u?u36.1833?103?1656.77?106??????36.1833?13.243?10?2?6.39000 ??10?3236.1833?1656.774.79175?6.390001.59825 ??10?3??10?3 ?4.5988?10?61309.231?1656.77347.54

??bu?uL?L?u2u2?u2?36.1833?10???6.39000?10???13.243?10???1656.77?10???36.1833?10??1656.77?1033?2632636.1833?6.39000?13.243?16.5677231.2113?219.406?236.1833?1656.771309.231?1656.7711.805 ????0.033967347.54因此，待求关系式为

?

L?4.5988?10?6u?0.033967

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