1 第1讲 集合及其运算

第1讲 集合及其运算

1．集合与元素

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 符号 自然数集 N 正整数集 N*(或N＋) 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 2.集合间的基本关系 表示 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 集合A，B中元素相同 A?B (或B?A) AB (或BA) A＝B 真子集 集合相等 3.集合的基本运算

图形语言 集合的并集 集合的交集 集合的补集 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ?UA＝{x|x∈U，且x?A} 符号语言 导师提醒

1．熟记三种集合运算的性质

(1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. (2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.

(3)补集的性质：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．

2．熟记集合基本关系的四个结论

(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．

(2)任何一个集合是它本身的子集，即A?A.空集只有一个子集，即它本身．

(3)集合的子集和真子集具有传递性：若A?B，B?C，则A?C；若AB，BC，则AC. (4)含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n

－2个非空真子集．

3．关注两个易错点

(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．

(2)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ) (2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( ) (3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )

(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立．( ) (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×

若集合P＝{x∈N|x≤2 018}，a＝22，则( ) A．a∈P B．{a}∈P C．{a}?P D．a?P 答案：D

设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( ) A．3 B．4 C．5

D．6

解析：选C.A中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共5个，所以A∩Z中的元素个数为5.

已知集合A＝{1，2}，集合B满足A∪B＝{1，2}，则满足条件的集合B的个数为________．

解析：因为A＝{1，2}，B∪A＝{1，2}，

所以B?A，故满足条件的集合B的个数为22＝4个． 答案：4

(教材习题改编)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(?RA)∪B＝________．

解析：由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，

(?RA)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．

答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)

集合的概念(自主练透)

1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )

A．9 C．5

B．8 D．4

解析：选A.法一：由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元

1

素的个数为C13C3＝9，故选A.

法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.

2．已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则( ) A．k＞8 C．k＞16

B．k≥8 D．k≥16

解析：选C.因为集合A中至少有3个元素，所以log2k＞4，所以k＞24＝16，故选C. 3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________． 9

解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.

89

答案：0或 8

4．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________． 解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3， 3

则m＝1或m＝－.

2

当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 313

当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.

2223

答案：－

2

b??

5．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝?0，a，b?，则b－a＝________．

?

?

b??b

解析：因为{1，a＋b，a}＝?0，a，b?，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，

a??b＝1，所以b－a＝2.

答案：2

求解与集合中的元素有关问题的注意事项

(1)如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．

(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．

集合的基本关系(典例迁移)

(1)已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则( ) A．AB C．A＝B

B．BA D．A∩B＝?

(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

的集合C的个数为( )

A．1 C．3

B．2 D．4

(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围为________．

【解析】 (1)由题意知A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，则BA.

(2)因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A?C?B，则集合C可以为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个．

(3)因为B?A，

所以①若B＝?，则2m－1

②若B≠?，则?m＋1≥－2，解得2≤m≤3.

??2m－1≤5.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3. 【答案】 (1)B (2)D (3)(－∞，3]

[迁移探究1] (变条件)本例(3)中，若BA，求m的取值范围？ 解：因为BA，

①若B＝?，成立，此时m＜2.

2m－1≥m＋1，??

②若B≠?，则?m＋1≥－2，且边界点不能同时取得，

??2m－1≤5，解得2≤m≤3.

综合①②，m的取值范围为(－∞，3]．

[迁移探究2] (变条件)本例(3)中，若A?B，求m的取值范围．

??m＋1≤－2，?m≤－3，

解：若A?B，则?即?所以m的取值范围为?.

??2m－1≥5，?m≥3.

[迁移探究3] (变条件)若将本例(3)中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，试求m的取值范围．

解：因为B?A，

所以①当B＝?时，2m－1

??m＋1≤2m－1，??m＋1≤2m－1，

②当B≠?时，?或?

???m＋1>5?2m－1<－2，?m≥2，

?m≥2，?解得?或?1即m>4.

?m>4??m<－2.

综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．

(1)判断两集合关系的方法

①对描述法表示的集合，把集合化简后，从表达式中寻找两集合间的关系； ②对于用列举法表示的集合，从元素中寻找关系． (2)根据两集合间的关系求参数的方法

已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

[提醒] 空集是任何集合的子集，当题目条件中有B?A时，应分B＝?和B≠?两种情况讨论．

1．已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( ) A．AB C．A?B

解析：选B.由题意知A＝{x|y＝所以A＝{x|－1≤x≤1}．

所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}， 所以B

A，故选B.

1－x2，x∈R}，

B．BA D．B＝A

2．设M为非空的数集，M?{1，2，3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有( )

A．6个 C．4个

B．5个 D．3个

解析：选A.由题意知，M＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．

3．若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B?A，则实数m的取值范围为________．

解析：①若B＝?，则Δ＝m2－4＜0， 解得－2＜m＜2，符合题意； ②若1∈B，则12＋m＋1＝0，

解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意； ③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，

1?5?

解得m＝－，此时B＝?2，2?，不合题意．

2??综上所述，实数m的取值范围为[－2，2)． 答案：[－2，2)

集合的基本运算(多维探究) 角度一 集合的运算

(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4

＝( )

A．{x|－4

B．{x|－4

(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?RA＝( ) A．{x|－12}

B．{x|－1≤x≤2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

(3)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B等于( ) A．(－1，1) C．(－1，＋∞)

B．(0，1) D．(0，＋∞)

【解析】 (1)通解：因为N＝{x|－2

优解：由通解可得N＝{x|－2

(2)法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.

法二：因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以?RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B. (3)因为A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}， 所以A∪B＝(－1，＋∞)，故选C. 【答案】 (1)C (2)B (3)C 角度二 利用集合的运算求参数

(1)已知集合A＝{x|x2－x－12＞0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x＞4}，则实数m

的取值范围是( )

A．(－4，3) C．(－3，4)

B．[－3，4] D．(－∞，4]

(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为( ) A．0 C．2

B．1 D．4

(3)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________．

【解析】 (1)集合A＝{x|x＜－3或x＞4}，因为A∩B＝{x|x＞4}，所以－3≤m≤4，故选B.

(2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4. (3)因为A＝{0，－4}，A∩B＝B，所以B?A，分以下三种情况：

①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两

??

个根，由根与系数的关系，得?－2（a＋1）＝－4，

??a－1＝0，

2

Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＞0，

解得a＝1；

②当B≠?且BA时，B＝{0}或B＝{－4}， 并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0， 解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意； ③当B＝?时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0， 解得a＜－1.

综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}． 【答案】 (1)B (2)D (3)(－∞，－1]∪{1}

(1)集合运算的常用方法

①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；

②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况． (2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法

①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；

②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．

[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．

1．(2019·高考天津卷)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝( )

A．{2} C．{－1，2，3}

B．{2，3} D．{1，2，3，4}

解析：选D.由条件可得A∩C＝{1，2}，故(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}．

2．(2019·福建省第二次联考)已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|y＝－x2－2x}，则A∩B＝( )

A．{x|－1＜x＜0} C．{x|0＜x＜2} 解析：选B.因为函数y＝

B．{x|－1＜x≤0} D．{x|0≤x＜2}

－x2－2x有意义，所以－x2－2x≥0，解得－2≤x≤0，所以

集合B＝{x|－2≤x≤0}．又集合A＝{x|－1＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－1＜x≤0}．故选B.

3．(2019·湖北名校学术联盟4月联考)已知A＝{1，2，3，4}，B＝{a＋1，2a}．若A∩B＝{4}，则a＝( )

A．3 C．2或3

B．2 D．3或1

解析：选A.因为A∩B＝{4}，所以a＋1＝4或2a＝4，若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4，6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3，4}，不符合题意，综上，a＝3，故选A.

4．(2019·洛阳市第一次统一考试)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )

A．{x|－2≤x<4} C．{x|－2≤x≤－1}

B．{x|x≤2或x≥4} D．{x|－1≤x≤2}

解析：选D.依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此?RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(?RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，选D.

集合新定义问题中的核心素养

mA??

(1)定义集合的商集运算为＝?x|x＝n，m∈A，n∈B?，已知集合A＝{2，4，6}，

B??

k??B

B＝?x|x＝2－1，k∈A?，则集合∪B中的元素个数为( )

A??

A．6 C．8

B．7 D．9

(2)给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：

①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合； ②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；

③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合． 其中正确结论的序号是________．

1?B?111B

【解析】 (1)由题意知，B＝{0，1，2}，＝?0，2，4，6，1，3?，则∪B＝

A?A?1111??

?0，，，，1，，2?，共有7个元素，故选B.

2463??

(2)①中，－4＋(－2)＝－6?A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k＋2k?(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．

【答案】 (1)B (2)②

(1)以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”

为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．

(2)解决集合的新定义问题的两个切入点

①正确理解创新定义．这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等；

②合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．

1．设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x?B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝( )

A．{0，1} C．{0，1，2}

B．{1，2} D．{0，1，2，5}

解析：选D.A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|2＜x＜5}，所以A－B＝{0，1，2，5}． 2．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1?A且k＋1?A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．

解析：符合题意的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个．

答案：6

[基础题组练]

1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( ) A．(－∞，1) C．(－3，－1)

B．(－2，1) D．(3，＋∞)

解析：选A.因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A.

2．设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，则( ) A．M＝N C．N?M

B．M?N D．M∩N＝?

解析：选B.因为集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}＝{奇数}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}＝{整数}，所以M?N.故选B.

3．(2019·湖南湘东五校联考)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝( )

A．(1，3) C．[－1，2)

B．(1，3] D．(－1，2)

解析：选C.A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，故选C.

4．(2019·山西八校第一次联考)设集合A＝{x∈Z|x2－3x－4＜0}，B＝{x|2x≥4}，则A∩B＝( )

A．[2，4) C．{3}

B．{2，4} D．{2，3}

解析：选D.法一：由x2－3x－4＜0得，－1＜x＜4，因为x∈Z，所以A＝{0，1，2，3}，由2x≥4得x≥2，即B＝{x|x≥2}，所以A∩B＝{2，3}，故选D.

法二：通过验证易知3∈A，3∈B，故排除选项A，B.同理可知2∈A，2∈B，排除选项C.故选D.

5．(2019·惠州模拟)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N?M，则实数a的取值集合为( )

A．{1} C．{1，0}

B．{－1，1} D．{－1，1，0}

解析：选D.M＝{x|x2＝1}＝{－1，1}，当a＝0时，N＝?，满足N?M，当a≠0时，因11

为N?M，所以＝－1或＝1，即a＝－1或a＝1.故选D.

aa

6．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则( ) A．A∩B＝{x|x＜0} C．A∪B＝{x|x＞1}

B．A∪B＝R D．A∩B＝?

解析：选A.因为3x＜1＝30，所以x＜0，所以B＝{x|x＜0}，所以A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.

7．已知全集为整数集Z.若集合A＝{x|y＝1－x，x∈Z}，B＝{x|x2＋2x>0，x∈Z}，则A∩(?ZB)＝( )

A．{－2} C．[－2，0]

B．{－1}

D．{－2，－1，0}

解析：选D.由题可知，集合A＝{x|x≤1，x∈Z}，B＝{x|x>0或x<－2，x∈Z}，故A∩(?ZB)＝{－2，－1，0}，故选D.

8.(2019·太原模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )

A．(－2，1)

C．(－2，－1)∪[0，1]

B．[－1，0]∪[1，2) D．[0，1]

解析：选C.因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为?A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.

9．(2019·安徽省示范高中模拟)已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠?，则a的取值范围为( )

A．(－∞，1] C．(－∞，3]

B．[1，＋∞) D．[3，＋∞)

解析：选B.法一：集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠?，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1，故选B.

法二：集合A＝{x|x≤a}，B＝{1，2，3}，a的值大于3时，满足A∩B≠?，因此排除A，C.当a＝1时，满足A∩B≠?，排除D. 故选B.

10．(2019·安徽安庆模拟)已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B?A，则实数a＝( )

A．－1 C．－1或2

B．2

D．1或－1或2

解析：选C.因为B?A，所以必有a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a. ①若a2－a＋1＝3，则a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2. 当a＝－1时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，满足条件； 当a＝2时，A＝{1，3，2}，B＝{1，3}，满足条件．

②若a2－a＋1＝a，则a2－2a＋1＝0，解得a＝1，此时集合A＝{1，3，1}，不满足集

合中元素的互异性，所以a＝1应舍去．

综上，a＝－1或2.故选C.

b??

11．设集合A＝?5，a，a－b?，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝

?

?

________．

bbb????a＝2，?a＝－1，??a＝2，?a＝1，

解析：由A∩B＝{2，－1}，可得?或?当?时，?此

???b＝2.?a－b＝－1??a－b＝2.??a－b＝－1b???a＝－1，?a＝1，

时B＝{2，3，－1}，所以A∪B＝{－1，2，3，5}；当?时，?此时不符合

?b＝－1，???a－b＝2题意，舍去．

答案：{－1，2，3，5}

?1x?

12．设[x]表示不大于x的最大整数，集合A＝{x|x2－2[x]＝3}，B＝?x|8<2<8?，则A∩B

?

?

＝________．

1

解析：不等式<2x<8的解为－3

8所以B＝(－3，3)．

2??x－2[x]＝3

若x∈A∩B，则?，

??－3

所以[x]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.

若[x]≤－2，则x2＝3＋2[x]<0，没有实数解；若[x]＝－1，则x2＝1，得x＝－1； 若[x]＝0，则x2＝3，没有符合条件的解； 若[x]＝1，则x2＝5，没有符合条件的解； 若[x]＝2，则x2＝7，有一个符合条件的解，x＝7. 因此，A∩B＝－1，7. 答案：{－1，7}

[综合题组练]

2

1．(2019·广东六校联考)已知集合A＝{x|≤1}，B＝{x|2x＜1}，则(?RA)∩B＝( )

x＋1A．[－1，0)

B．(－1，0)

{}

C．(－∞，0)

2

2

D．(－∞，－1)

x－1

解析：选A.由≤1，得－1≤0，≥0，解得x≥1或x＜－1，即A＝(－∞，

x＋1x＋1x＋1－1)∪[1，＋∞)，则?RA＝[－1，1). 由2x＜1，得x＜0，即B＝(－∞，0)，所以(?RA)∩B＝[－1，0)，故选A.

2．已知集合P＝{y|y2－y－2＞0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P∪Q＝R，且P∩Q＝(2，3]，则a＋b＝( )

A．－5 C．－1

B．5 D．1

解析：选A.P＝{y|y2－y－2＞0}＝{y|y＞2或y＜－1}．由P∪Q＝R及P∩Q＝(2，3]，得Q＝[－1，3]，所以－a＝－1＋3，b＝－1×3，即a＝－2，b＝－3，a＋b＝－5，故选A.

3．(创新型)(2019·河南八市质检)在实数集R上定义运算*：x*y＝x·(1－y)．若关于x的不等式x*(x－a)＞0的解集是集合{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是( )

A．[0，2] C．[0，1)∪(1，2]

B．[－2，－1)∪(－1，0] D．[－2，0]

解析：选D.依题意可得x(1－x＋a)＞0.因为其解集为{x|－1≤x≤1}的子集，所以当a≠－1时，0＜1＋a≤1或－1≤1＋a＜0，即－1＜a≤0或－2≤a＜－1.当a＝－1时，x(1－x＋a)＞0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a≤0.故选D.

4．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A∩B＝?，则实数m的取值范围是________．

解析：因为A∩B＝?，

1

①若当2m≥1－m，即m≥时，B＝?，符合题意；

31

②若当2m＜1－m，即m＜时，

311??m＜3，??m＜3，需满足?或?

??1－m≤1??2m≥3，11解得0≤m＜或?，即0≤m＜.

33综上，实数m的取值范围是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)

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