第四章练习题及参考解答

第四章练习题及参考解答

4.1 假设在模型Yi??1??2X2i??3X3i?ui中，X2与X3之间的相关系数为零，于是有人建议你进行如下回归：

Yi??1??2X2i?u1iYi??1??3X3i?u

2i(1)是否存在??2???2且??3???3？为什么？ (2)??1会等于??1或??1或两者的某个线性组合吗？ (3)是否有var???2??var???2?且var???3??var???3?？

练习题4.1参考解答： (1) 存在??2???2且??3???3。 因为?????yix2i???x23i????yix3i???x2ix3i?2??x22i???x22

3i????x2ix3i?当X2与X3之间的相关系数为零时，离差形式的?x2ix3i?0

2有????yix2i???x3i?i2i2???yx?x2???x2?2???2 2i3i??x2i同理有：??3???3 (2) ??1会等于??1或??1的某个线性组合 因为 ??1?Y???2X2???3X，且3??1?Y???2X2，??1?Y???3X3 由于??2???2且??3???3，则 ??1?Y???2X2?Y???Y2X2???12???X 2 ??Y1?Y??????13X3?Y???3X3??3?X 3则 ??1?Y???2X2???Y???1Y???13X3?Y?XX2?X3???1???1?Y2X3(3) 存在var???2??var???2?且var???3??var???3?。

1

??因为var?2???22i2223?x?1?r?

当r23???0时，var?2???22?x2i1?r232???x??222i?2? ?var????var???? 同理，有var?33??

4.2在决定一个回归模型的“最优”解释变量集时人们常用逐步回归的方法。在逐步回归中既可采取每次引进一个解释变量的程序(逐步向前回归)，也可以先把所有可能的解释变量都放在一个多元回归中，然后逐一地将它们剔除(逐步向后回归)。加进或剔除一个变量，通常是根据F检验看其对ESS的贡献而作出决定的。根据你现在对多重共线性的认识，你赞成任何一种逐步回归的程序吗？为什么？

练习题4.2参考解答：

根据对多重共线性的理解，逐步向前和逐步向后回归的程序都存在不足。逐步向前法不能反映引进新的解释变量后的变化情况，即一旦引入就保留在方程中；逐步向后法则一旦某个解释变量被剔出就再也没有机会重新进入方程。而解释变量之间及其与被解释变量的相关关系与引入的变量个数及同时引入哪些变量而呈现出不同，所以要寻找到“最优”变量子集则采用逐步回归较好，它吸收了逐步向前和逐步向后的优点。

4.3 下表给出了中国商品进口额Y、国内生产总值GDP、居民消费价格指数CPI。

表4.11 中国商品进口额、国内生产总值、居民消费价格指数

年份 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993

商品进口额 (亿元) 1257.8 1498.3 1614.2 2055.1 2199.9 2574.3 3398.7 4443.3 5986.2 国内生产总值 (亿元) 9016.0 10275.2 12058.6 15042.8 16992.3 18667.8 21781.5 26923.5 35333.9 居民消费价格指数(1985=100) 100.0 106.5 114.3 135.8 160.2 165.2 170.8 181.7 208.4 2

1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 9960.1 11048.1 11557.4 11806.5 11626.1 13736.4 18638.8 20159.2 24430.3 34195.6 46435.8 54273.7 63376.9 73284.6 48197.9 60793.7 71176.6 78973.0 84402.3 89677.1 99214.6 109655.2 120332.7 135822.8 159878.3 183084.8 211923.5 249529.9 258.6 302.8 327.9 337.1 334.4 329.7 331.0 333.3 330.6 334.6 347.7 353.9 359.2 376.5 资料来源：《中国统计年鉴》，中国统计出版社2000年、2008年。

请考虑下列模型：lnYt??1＋?2lnGDPt??3lnCPIt?ui 1)利用表中数据估计此模型的参数。 2)你认为数据中有多重共线性吗？ 3)进行以下回归：

lnYt?A1＋A2lnGDPt?v1ilnYt?B1＋B2lnCPIt?v2ilnGDPt?C1?C2lnCPIt?v3i

根据这些回归你能对数据中多重共线性的性质说些什么？

?和??在5%水平上个别地显著，并且总的F检验也是显4)假设数据有多重共线性，但?23著的。对这样的情形，我们是否应考虑共线性的问题？

练习题4.3参考解答： (1) 参数估计结果如下

3

ln(进口)??3.060?1.657ln(GDP)?1.057ln(CPI) (0.337) (0.092) (0.215)R?0.992 R?0.991 F?1275.09322

(括号内为标准误)

(2)居民消费价格指数的回归系数的符号不能进行合理的经济意义解释，且且CPI与进口之间的简单相关系数呈现正向变动。可能数据中有多重共线性。 计算相关系数:

(3)最大的CI=108.812，表明GDP与CPI之间存在较高的线性相关。

(4)分别拟合的回归模型如下：

lnY??4.0907?1.2186ln(GDP) t= (-10.6458) (34.6222)R?0.9828 R?0.9820 F?1198.69822

4

lnY??5.4424?2.6637ln(CPI) t= (-4.3412) (11.6809)R?0.8666 R?0.8603 F?136.443722

ln(GDP)??1.4380?2.2460ln(CPI) t=(-1.9582) (16.8140)R?0.9309 R?0.9276 F?282.710722

单方程拟合效果都很好，回归系数显著，可决系数较高，GDP和CPI对进口分别有显著的单一影响，在这两个变量同时引入模型时影响方向发生了改变，这只有通过相关系数的分析才能发现。

(5)如果仅仅是作预测，可以不在意这种多重共线性，但如果是进行结构分析，还是应该引起注意。

4.4 自己找一个经济问题来建立多元线性回归模型，怎样选择变量和构造解释变量数据矩阵X才可能避免多重共线性的出现？

练习题4.4参考解答：

本题很灵活，主要应注意以下问题:

5

4.7 在本章开始的“引子”提出的“农业的发展反而会减少财政收入吗？”的例子中，如果所采用的数据如下表所示

表4.13 1978-2007年财政收入及其影响因素数据 年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 财政收入农业增加值工业增加值(亿元)CS (亿元)NZ (亿元)GZ 1132.3 1146.4 1159.9 1175.8 1212.3 1367 1642.9 2004.8 2122 2199.4 2357.2 2664.9 2937.1 3149.48 3483.37 4348.95 5218.1 6242.2 7407.99 8651.14 9875.95 11444.08 13395.23 16386.04 18903.64 21715.25 26396.47 31649.29 38760.20 51321.78 1027.5 1270.2 1371.6 1559.5 1777.4 1978.4 2316.1 2564.4 2788.7 3233.0 3865.4 4265.9 5062.0 5342.2 5866.6 6963.8 9572.7 12135.8 14015.4 14441.9 14817.6 14770.0 14944.7 15781.3 16537.0 17381.7 21412.7 22420.0 24040.0 28095.0 1607 1769.7 1996.5 2048.4 2162.3 2375.6 2789 3448.7 3967 4585.8 5777.2 6484 6858 8087.1 10284.5 14188 19480.7 24950.6 29447.6 32921.4 34018.4 35861.5 4003.6 43580.6 47431.3 54945.5 65210 76912.9 91310.9 107367.2 建筑业增加受灾面积总人口(万最终消费值(亿(千公人)TPOP (亿元)CUM 元)JZZ 顷)SZM 138.2 96259 2239.1 50790 143.8 195.5 207.1 220.7 270.6 316.7 417.9 525.7 665.8 810 794 859.4 1015.1 1415 2266.5 2964.7 3728.8 4387.4 4621.6 4985.8 5172.1 5522.3 5931.7 6465.5 7490.8 8694.3 10133.8 11851.1 14014.1 97542 98705 100072 101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 130756 131448 132129 2633.7 3007.9 3361.5 37148 4126.4 4846.3 5986.3 6821.8 7804.6 9839.5 11164.2 12090.5 14091.9 17203.3 21899.9 29242.2 36748.2 43919.5 48140.6 51588.2 55636.9 61516 66878.3 71691.2 77449.5 87032.9 96918.1 110595.3 128444.6 39370 44526 39790 33130 34710 31890 44365 47140 42090 50870 46991 38474 55472 51333 48829 55043 45821 46989 53429 50145 49981 54688 52215 47119 54506 37106 38818 41091 48992 (资料来源：《中国统计年鉴2008》，中国统计出版社2008年版) 试分析：为什么会出现本章开始时所得到的异常结果？怎样解决所出现的问题？

练习题4.7参考解答:

(1)根据样本数据得到各解释变量的样本相关系数矩阵如下： 样本相关系数矩阵

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解释变量之间相关系数较高，特别是农业增加值、工业增加值、建筑业增加值、最终消费之间，相关系数都在0.9以上。这显然与第三章对模型的无多重共线性假定不符合。 （2）解决方案：

采用逐步回归的方式，可以得到没有共线性的回归模型，但可能存在设定偏误。 合并工业增加值与建筑业增加值，得到财政收入与第二产业的回归。 取对数再回归，可以减低共线性。

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