初三数学上册第二十四章 - 圆教师用书 doc第二节
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第二十四章 圆
24.1 圆的概念及性质重点复习
一、复习知识:
(一)内接四边形对角互补。
(二)在同圆或者等圆中同弧或者等弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 (三)弦、弧、圆心角、圆周角,一一对应的关系。 (四)垂径定理——垂直平分;求弦长当中的运用。 二、复习练习题:
1、(2005?滨州)如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠BCD=110°,则∠BOD= 度.
2、(2010?扬州)如图,AB为⊙O直径,点C、D在⊙O上,已知∠BOC=70°,AD∥OC, 则∠AOD= 度.
分析:首先由AD∥OC可以得到∠BOC=∠DAO,又由OD=OA得到∠ADO=∠DAO,由此即可求出 ∠AOD的度数.
3、(2012?南通)如图,⊙O中,∠AOB=46°,则∠ACB= 度.
4、如图是一条高速公路隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,圆的半径OA=5米,高CD=8米,则路面宽AB= .
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24.2点、直线、圆和圆的位置关系
本节掌握:
理清点、直线、圆之间的关系并能在具体问题中熟练运用 24.2.1点和圆的位置关系 教学目标:
掌握点和圆的三种位置关系,并能在具体题目中运用;掌握外接圆的运用 知识点:
1、 判定:点到圆心的距离d与半径r比较判断点与圆的位置关系①d=r点P在圆上②d>r点P在圆外③
d
2、 不在同一直线上的三个点确定一个圆。(证明,可运用直线与圆的位置关系进行反证) 3、 三角形外接圆的定义:过三角形的三个顶点的圆为外接圆。
外心:三条边的垂直平分线的交点。 例题讲解: 例1、(2009?聊城)已知矩形ABCD的边AB=6,AD=8.如果以点A为圆心作⊙A,使B,C,D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点,那么⊙A的半径r的取值范围是( ) A.6<r<10
B.8<r<10
C.6<r≤8
D.8<r≤10
解析:四边形ABCD是矩形,则△ABC是直角三角形.根据勾股定理得到:AC=10,B,C,D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点,由题意可知一定是B在圆内,则半径r>6,一定是点C在圆外,则半径r<10,所以6<r<10.
例2、(2007?湖州)如图,在Rt△ABC中∠ACB=90°,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作⊙O,设线段CD的中点为P,则点P与⊙O的位置关系是( ) A.点P在⊙O内
B.点P在⊙O上
C.点P在⊙O外
D.无法确定
分析:本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d,再根据点与圆心的距离与半径的大小关系,
即当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当d<r时,点在圆内,即可求解.
例3、(2012?广元)平面上有⊙O及一点P,P到⊙O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则⊙O的半径为 cm.
分析:解答此题应进行分类讨论,点P可能位于圆的内部,也可能位于圆的外部.
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例4、在矩形ABCD中,BC=6,CD=8,以A为圆心画圆,且点D在⊙A内,点B在⊙A外,则⊙A半径r的取值范围是
分析:根据矩形的性质和点的位置可得半径应在AB和BC之间.
随堂练习: 一、 选择题: 1、(2007?白银)一个点到圆的最大距离为11cm,最小距离为5cm,则圆的半径为( ) A.16cm或6cm
B.3cm或8cm
C.3cm
D.8cm
答案:B
分析:点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论.当点P在圆内时,点到圆的最大距离与最小距离的和是直径;当点P在圆外时,点到圆的最大距离与最小距离的差是直径,由此得解. 2、(2006?舟山)我们知道,“两点之间线段最短”,“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”.在此基础上,人们定义了点与点的距离,点到直线的距离.类似地,如图,若P是⊙O外一点,直线PO交⊙O于A,B两点,PC切⊙O于点C,则点P到⊙O的距离应定义为( ) A.线段PO的长度 C.线段PB的长度
B.线段PA的长度 D.线段PC的长度
3、(2001?济南)如图,直线AB经过⊙O的圆心,与⊙O相交于A、B两点,点C在⊙O上,且∠AOC=30度.点E是直线AB上的一个动点(与点O不重合),直线EC交⊙O于D,则使DE=DO的点E共有( ) A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
分析:作出图形,根据画图可知应分E在AB的延长线上、在BA的延长线上、在线段AB上,三种情
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况来解决.
4、(2010?攀枝花)如图所示.△ABC内接于⊙O,若∠OAB=28°,则∠C的大小是( )
二、 填空题:
1、 在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,CM是中线,以C为圆心,以 画圆,则点M与⊙C的位置关系是 5cm长为半径 2、 如图,有一个弓形的暗礁区,弓形所含的圆周角∠C=50度.船在航行时,为保证不进入暗礁区,则船到两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是
3、 如图所示,在矩形ABCD的顶点A处拴了一只小羊,在B、C、D处各有一筐青草,要使小羊至少 子4 快 乐 学 习,向 100 分 冲 刺。 用 赏 识 教 育,让 孩
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能吃到一筐子里的草,且至少有一个筐子里的草吃不到.如果AB=5,BC=12,则拴羊绳的长l的取值范围是
4、 在平面直角坐标系中,以原点O为圆心,半径为2的⊙O,则占A(1, 是 3)与⊙O的位置关系 5、(2007?淄博)如图所示,△ABC是⊙O的内接三角形,AD⊥BC于D点,且AC=5,DC=3,AB=42,则⊙O的直径等于 . 三、 综合题:
1、如图,已知△ABC,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点C为圆心作⊙C,半径为r. (1)当r取什么值时,点A、B在⊙C外.
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(2)当r在什么范围时,点A在⊙C内,点B在⊙C外.
2、(2012?台州)已知,如图1,△ABC中,BA=BC,D是平面内不与A、B、C重合的任意一点,∠ABC=∠DBE,BD=BE.
(1)求证:△ABD≌△CBE;
(2)如图2,当点D是△ABC的外接圆圆心时,请判断四边形BDCE的形状,并证明你的结论.
分析:(1)由∠ABC=∠DBE可知∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,即∠ABD=∠CBE,根据SAS定理可知△ABD≌△CBE;
(2)由(1)可知,△ABD≌△CBE,故CE=AD,根据点D是△ABC外接圆圆心可知DA=DB=DC,再由BD=BE可判断出BD=BE=CE=CD,故可得出四边形BDCE是菱形.
24.2.2直线与圆的位置关系
教学目标:
掌握直线与圆的三种位置关系;掌握切线长定理;掌握内切圆的运用
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知识点:
1、 判定:依据圆心到直线的距离d与半径r做比较进行判断:①d=r直线l与圆O相切②d>r直线l与
圆O相离③d
2、 以直线与圆的交点个数为逻辑线索分为: (1) 直线与圆没有交点——相离
(2) 直线与圆有且只有一个交点——相切 (3) 直线与圆有两个交点——相交。
3、 切线为:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线。——圆的切线垂直与过切点的半径。 4、 切线长:过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段长为切线长。
5、 切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,这两条的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两
条切线的夹角。
6、 三角形内切圆:与三角形三条边都相切的圆为内切圆。
内心:三角形三条角平分线的交点。 例题讲解: 例1、(2012?无锡)已知⊙O的半径为2,直线l上有一点P满足PO=2,则直线l与⊙O的位置关系是( ) A.相切
B.相离
C.相离或相切
D.相切或相交
分析:根据直线与圆的位置关系来判定.判断直线和圆的位置关系:①直线l和⊙O相交?d<r;②直
线l和⊙O相切?d=r;③直线l和⊙O相离?d>r.分OP垂直于直线l,OP不垂直直线l两种情况讨论.
例2、(2012?西藏)如图,AB切⊙O于点B,延长AO交⊙O于点C,连接BC.若∠A=40°,则∠C=( ) A.20°
B.25°
C.40°
D.50°
分析:根据切线的性质判定∠ABO=90°,然后在直角△ABO中利用直角三角形的性质求得∠AOB=50°;
最后根据圆周角定理来求∠C的度数.
例3、(2003?大连)如图,P是⊙O外一点,PA、PB分别和⊙O切于A、B,C是弧AB上任意一点,过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E,若△PDE的周长为12,则PA长为
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分析:根据切线长定理,可将△PDE的周长转化为两条切线长的和,已知了△PDE的周长,即可求出切线的长.
例4、(2009?张家界)如图,⊙O是△ABC的内切圆,与边BC,CA,AB的切点分别为D,E,F,若∠A=70°,则∠EDF= 度.
分析:根据切线的性质定理以及四边形的内角和定理,得∠EOF=110°.再根据圆周角定理可得出∠EDF=55°.
随堂练习: 一、选择题: 1、(2009?资阳)如图,已知Rt△ABC的直角边AC=24,斜边AB=25,一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动,且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切,当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是( )
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2、如图,线段AB是⊙O的直径,⊙O交线段BC于D,且D是BC中点,DE⊥AC于E,连接AD,则下列结论正确的个数是( )
①CE?CA=CD?CB;②∠EDA=∠B;③OA= 1/2AC;④DE是⊙O的切线;⑤AD2=AE?AB.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
分析:由DE与AC垂直,得到三角形CDE为直角三角形,而由AB为圆的直径,根据直径所对的圆周
角为90°,得到AD与BC垂直,又D为BC中点,进而得到AD垂直平分BC,根据线段垂直平分线的性质得到AC与AB相等,故三角形ABC不是直角三角形,所以三角形CDE与ABC不相似,CE?CA与CD?CB不相等,选项①错误;由O为AB中点,得到AO为AB的一半,故AO为AC的一半,选项③正确;由OD为三角形ABC的中位线,根据三角形的中位线定理得到OD与AC平行,由AC与DE垂直得到OD与DE垂直,即∠ODE为90°,故DE为圆O的切线,选项④正确;由两对对应角相等得到三角形ADE与三角形ACD相似,根据对应边成比例得到选项⑤正确,从而得到所有正确选项的个数.
3、(2008?上海)如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是( )
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4、(2011?西藏)如图.点O是△ABC的内心,若∠ACB=70°,则∠A0B=( ) A.140°
B.135°
C.125°
D.110°
二、填空题:
1、2005?枣庄)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆,则O1O2=
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例2、(2012?柳州)定圆O的半径是4cm,动圆P的半径是2cm,动圆在直线l上移动,当两圆相切时,OP的值是( )
分析:定圆O与动圆P相切时,分两种情况考虑:内切与外切,当两圆内切时,圆心距OP=R-r;当两圆外切时,圆心距OP=R+r,求出即可.
例3、(2008?旅顺口区)下列图形中,一定能够能得出结论∠2=2∠1的是( )
分析:(1)根据平角的性质解答;
(2)根据三角形内角与外角的关系解答; (3)根据圆心角与圆周角的关系解答; (4)根据等边三角形的性质解答.
随堂练习: 一、选择题: 1、(2004?荆门)如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,AC是⊙O2的切线,AD是⊙O1的切线,若BC=4,BD=9,则AB的长为( ) A.5
B.6
C.7
D.8
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2、(2006?临汾)如图是用V形架托起两个钢管的横截面示意图.若V形角a=60°,细钢管的外径为20mm,则粗钢管的外径为( ) A.60mm
B.50mm
C.40mm
D.30mm
3、(2011?昭通)已知两圆的半径R,r分别为方程x2-3x+2=0的两根,这两圆的圆心距为3,则这两圆的位置关系是( ) A.外切
二、填空题:
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B.内切 C.相交 D.外离
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1、(2007?黔东南州)两圆有多种位置关系,图中不存在的位置关系是
分析:此题要求两个圆的位置关系,两圆的位置关系有5种:①外离;②外切;③相交;④内切;⑤内
含.根据图形观察两个圆之间的交点个数,一个交点两圆相切,两个交点两圆相交,没有交点两圆相离.由此可判断出两圆之间的位置关系.
解答:解:依题意得:两圆的位置关系有外离,内切,外切,内含,因此不存在的位置关系是相交.
2、如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图,则其最高点与地面的距离是 米.
3、(2010?益阳)如图,分别以A、B为圆心,线段AB的长为半径的两个圆相交于C、D两点,则∠CAD的度数为 度.
三、综合题:
1、(2007?南充)如图是某城市一个主题雕塑的平面示意图,它由置放于地面l上两个半径均为2米的半圆与半径为4米的⊙A构成.点B、C分别是两个半圆的圆心,⊙A分别与两个半圆相切于点E、F,BC长为8米.求EF的长.
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