北师大八年级数学下第七讲 因式分解2

北师大八年级数学下第七讲 因式分解2

代数（六）

因式分解（二）

——十字相乘、分组分解

【知识要点】

1.十字相乘法

2x px q中，（1）二次项系数为1的二次三项式如果能把常数项q分解成两个因式a,b的积，并且a b

等于一次项系数中p，那么它就可以分解成

22x px q x a b x ab x a x b

（2）二次项系数不为1的二次三项式ax bx c中，如果能把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，2

把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并且a1c2 a2c1等于一次项系数b，那么它就可以分解成：ax2 bx c a1a2x2 a1c2 a2c1 x c1c2 a1x a a2x c2 。

2．分组分解法

（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如a b a b没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：

2222(a b) (a b) (a b)(a b) (a b) (a b)(a b 1)， a b a b =22

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

【典型例题】

例1 把下列各式分解因式

（1）x 9x 14（2）x x 12

（3）x 8x 12（4）x 7x 10

（5）x 2x 8（6）x 9x 22

（7）2x 9x 5（8）3x 7x 6

（9）8x 10x 3= （10）10x 27x 5=

2222222222

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例2 把下列各式分解因式

（1）a ab ac bc （2）2ax 10ay 5by bx

（3）m 5m mn 5n （4）3ax 4by 4ay 3bx

（5）1 4a 4ab b （6）2ax 2ay 3bx 4cy 4cx 3by

例3 把下列各式分解因式

22（1）x 4xy 21y； （2） a b 6 a b 7； 22222

（3） x 2 5 x 2 4 （4） a b 3 a b a b 10 a b ；

2222（5） x 2y 4 x 2y y 21y （6）(x x) 14(x x) 24 2222

例4 把下列各式分解因式

（1）x x z y y z （2）2x 3ab x 4a 3b 2

（3）abc d

思考题（5） a b a c c d b d 2222 22 a2 b2cd （4）axy3 b3 bybx2 a2y

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【练 习】

A 组

给下列各式分解因式

1．2x x 1．3x 5x 2

3．3x x 2．2x 13x 15

5．12x 25x 12．3x x 10

7．ax＋ay－bx－by = 8．x－xy－ax＋ay =

9．x＋6y－xy－6x = 10．a－b－a＋b =

11．4x－y＋2x＋y = 12．a－2ab＋b－c =

13．1－x－2xy－y= 14．x－9a＋12a－4=

15．xy＋3xy－x－3y= 16．na－2ba＋mn－2bm=

17．x＋3x＋3x＋9= 18．20ax＋5xy－8axy－2y=

322222222222222222222222222

19．bx＋ax＋by＋bz＋ay＋az= 20．2ax－3bx＋x－2a＋3b－1=

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一、分解因式

1．9x2 4y2

3、2a－32

5、x－8x＋16

7、－x＋2xy－y

二、分解因式

1、2ab b a 9 2．x＋3x－4x－12 32

4224 24 4、a(3a＋1)－b(3a＋1) 226、ab－10ab＋25 22 8、(2x＋1)＋2(2x＋1)＋1 22222

223．x－bx－a＋ab 4．m－m3－mn2＋2m2n

5．9ax＋9bx－a－b 6．a－2a＋4b－4b

2222

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三、分解因式

1、(a＋b)－4ab 2、a(x－y)＋b(y－x)

3、(a＋1)－4a(a＋1)＋4a

5.m＋2mn＋n－p－2pq－q

7. (x－3)＋(x－3)－2

9.a－2ab－8b 10.x－6x＋9x－16

4224432222 2222 2222 22222444.a＋2ab＋b－ac－bc 226.(x－3)－4x 2228.(x－2x)－4(x－2x)－5 222

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