中考数学压轴题详解—圆1

京翰提示：圆作为初中数学中重要的知识点，在历年高考题中都出现在重要的得分点高的部分，尤其是压轴题中，有些同学往往认为压轴题一定是很难很难得到分数的部分，其实在题目中往往前一到两个小题都是考察大家的基础知识，只要正确列出公式就能得到相应的分数。要学好圆的部分，不仅要靠平时的练习，最重要的还是回归课本，把基础知识参透，只有基础牢固了，才能进一步对圆的认识进行延伸和扩展。

1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°. （1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标.

（2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明. （3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式.

2 如图（4），正方形OABC的边长为1，以O为圆心、OA为半径作扇形OAC，AC与OB相交于点B，设正

1

1

1

1

111112

方形OA1B1C1与扇形OA1C1之间的阴影部分的面积为S1；然后以OB2为对角线作正方形OA2B2C2，又以O为圆心，、

OA2为半径作扇形OA2C2， A2C2与OB1相交于点B3，设正方形OA2B2C2与扇形OA2C2之间的阴影部分面积为S2；

按此规律继续作下去，设正方形OAnBnCn与扇形OAnCn之间的阴影部分面积为Sn． （1）求S1，S2，S3； （2）写出S2008；

（3）试猜想Sn（用含n的代数式表示，n为正整数）．

CCCB1

O

A3 A2 A1

图4

3 (10分)如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．

（1）求证：ID=BD；

（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD

并指出自变量x的取值范围．

x

，DE

y

，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，

的中点，AC交BD于点E， AE＝2， EC＝1．

4 如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧BD

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/

（1）求证：△DEC∽△ADC； （3分） （2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予 证明并求出它的面积；若不是，请说明理由． （4分） （3）延长AB到H，使BH ＝OB． 求证：CH是⊙O的切线． （3分）

上的一动点． 5 如图10，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为BC

BDBC

BEBD

(第4题图)

（1）问添加一个什么条件后，能使得 ？请说明理由；

（2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；

（3）如图11，在 （1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．

6 如图1M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．

（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）？ （2）求四边形CDPF的周长；

（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示． 是否存在点P，使BF*FG=CF*OF？如果存在，试求此时AP的长；

G 如果不存在，请说明理由．

D D O O

C C O B F F

图2

7 如图，在平面直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点， M与x轴的正半轴交于A，B两点，A在B的左侧，

2

且OA，OB的长是方程x 12x 27 0的两根，ON是 M的切线，N为切点，N在第四象限． （1）求 M的直径．

（2）求直线ON的解析式．

（3）在x轴上是否存在一点T，使△OTN是等腰三角形，若存在请在图2中标出T点所在位置，并画出△OTN（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T的坐标）若不存在，请说明理由． B 图1

1 解：（1）连结AD. ∵∠ABO=60°,

∴∠ADO=60°…..1分

由点A的坐标为（3，0）得OA=3. ∵在Rt△ADO中有 cot∠ADO=

ODOA

,…………….2分

3

N F

∴OD=OA·cot∠ADO=3·cot60°=3

∴点D的坐标为（0

3分

（2）DC与△AOB的外接圆相切于点D，理由如下: 由（1）得

OD=

∴AD

又∵C点坐标是（-1，0）, ∴OC=1.

∴CD

2………………4分

∵AC=OA+OC=3+1=4,

∴CD2+AD2=22

2=42=AC2…………………5分 ∴∠ADC=90°,即AD⊥DC.

由∠AOD=90°得AD为圆的直径.

∴DC与△AOB的外接圆相切于点D……………6分

（说明：也可用解直角三角形或相似三角形等知识求解.） （3）由二次函数图象过点O（0，0）和A（3，0）, 可设它的解析式为 y=ax(x-3)（a≠0）.

如图，作线段OA的中垂线交△AOB的外接圆于E、F两点，交AD于M点，交OA于N点.

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由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知，抛物线的顶点就是点E或F. ∵EF垂直平分OA， ∴EF是圆的直径. 又∵AD是圆的直径,

∴EF与AD的交点M是圆的圆心………….7分 由（1）、（2）得OA=3，

∴AN=

1OA=3，AM=FM=EM=

12

2

2

∴MN

2

.

∴

,EN=EM+MN=

+

2

2

2

2

∴点E的坐标是(

32

,

)，点F的坐标是(

32

2

, -)……..8分

2

当点E为抛物线顶点时， 有

32

(

32

-3)a=,

2

a=

3

∴

y= 3即

y=

2

3

x…………………………9分

当点F为抛物线顶点时， 有332

(

2

-3)a=-2

,

a=

9∴

9

即

y=

9

x

2

3

x.

故二次函数的解析式为

y= 32

或

29

3

….10分

2 （1）S2

12

π1 1

4

π 1 1

4

； ·····················2

S 2

1 π 1π

2 2 ； ···················· 4 2 282

2

S 1 1π3 π ； 22 4 2

2 ················ 416（2）S2008

12

2007

π2

2009

； ························京翰教育1对1家教 /

2分

4分

6分8分

（3）Sn

12

n 1

π2

n 1

（n为正整数）． ··················· 10分

3 (1) 证明： 如图，

∵ 点I是△ABC的内心， ∴ ∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI． ………………2分 ∵ ∠CBD=∠CAD， ∴ ∠BAD=∠CBD． ……………………………3分 ∴ ∠BID=∠ABI+∠BAD =∠CBI+∠CBD=∠IBD． ∴ ID=BD． ………………………5分 (2)解：如图， ∵∠BAD=∠CBD=∠EBD， ∠D=∠D， ∴ △ABD∽△BED． …………………………7分

∴

BDDE

ADBD

． ∴

AD DE BD

2

ID

2

． …………………8分

∵ ID=6，AD=x，DE=y，∴ xy=36． ………………9分 又∵ x=AD>ID=6， AD不大于圆的直径10， ∴ 6<x≤10． ∴

的中点， 4 （1）证明：∵C是劣弧BD

∴ DAC CDB． ·········································· 1分 而 ACD公共，

∴△DEC∽△ADC． ······································· 3分

y

与x的函数关系式是y

36x

．（6

x≤10

） …………………………10分

说明：只要求对xy=36与6<x≤10，不写最后一步，不扣分．

（2）证明：连结OD，由⑴得

DC

ACDC∵CE 1.AC AE EC 2 1 3，

EC

，

∴DC2 AC EC 3 1 3 ．

∴DC

．··········································································································· 4分

由已知BC DC AB是⊙O的直径，

∴ ACB 90 ，

∴AB AC CB 3

2

2

2

2

2

12．

∴AB

∴OD OB BC DC ， ∴四边形OBCD是菱形． ∴DC∥AB，DC AB， ∴四边形ABCD是梯形． ················································ 5分 法一：

过C作CF垂直AB于F，连结OC

，则OB BC OC ∴ OBC 60 ． ······································································································ 6分 ∴sin60

CFBC

，CF BC sin60

12 3

2

32

，

4

∴S梯形ABCD＝

12

CF

AB＋DC ＝

2

······································· 7分

法二：（接上证得四边形ABCD是梯形）

又DC∥AB ∴AD BC，连结OC，则△AOD，△DOC和△

OBC的等边三角形 6分 ∴△AOD≌△DOC≌△OBC，

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（3）证明：连结OC交BD于G由（2）得四边形OBCD是菱形，

∴OC BD且OG GC． ····················································································· 8分 又已知OB＝BH ， ∴BG∥CH． ··································································· 9分 ∴ OCH OGB 90 ， ∴CH是⊙O的切线． ············································· 10分

5 解： （1）添加 AB=BD ························································································· 2分

∴∵AB=BD ∴ ∠BDE =∠BCD···································································· 3分 AB=BD又∵∠DBE =∠DBC ∴△BDE∽△BCD ∴

BDBC

BEBD

················································································································· 4分

的中点 ·（2）若AB∥DO，点D所在的位置是BC························································ 5分

∵AB∥DO ∴∠ADO =∠BAD ············································································ 6分

C · =D∵∠ADO =∠OAD ∴∠OAD =∠BAD ∴DB··················································· 7分

（3）在（1）和（2）的条件下，．

C ∴ =D∵ ∠BDA =∠DAC ∴ BD∥OA AB=BD

又∵AB∥DO ∴四边形AODB是平行四边形 ············································· 9分 ∵OA=OD ∴平行四边形AODB是菱形 ·················································· 10分

6 解：（1）FB＝FE ，PE＝PA ············································································· 2分

（2）四边形CDPF的周长为

FC＋CD＋DP＋PE＋EF＝FC＋CD＋DP＋PA＋BF ······································· 3分

＝BF＋FC＋CD＋DP＋PA ····································· 4分 ＝BC＋CD＋DA ············································ 5

分 ＝

3＝ ············································· 6分

（3）存在．

BFOF

CFFG

CF

7分

若BF FG CF OF,则

∵ cos∠OFB＝

BFOF

，cos∠GFC＝

FG

∴ ∠OFB＝∠GFC 又 ∵ ∠OFB＝∠OFE

∴ ∠OFE＝∠OFB＝∠GFC=60 ·································································· 8分 ∴ 在Rt△OFB中 FE＝FB＝∴ 在Rt△GFC中

CG

＝CF

tan GFC CF tan60 1tan60 6 ∴ DG CG CD

6 ∴ DP DG tan PGD DG tan30 3 ········································ 9

分 ∴

AP AD DP 3 3 ··········································· 10分

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OBtan60

＝1

7 解：（1）解方程x2 12x 27 0，得x1 9，x2 3

A在B的左侧

OA 3，OB 9 AB OB OA 6

OM的直径为6········································································································· 1分

（2）过N作NC⊥OM，垂足为C， 连结MN，则MN⊥ON

sin∠MON

MN31OM

6

2

∠MON 30

又cos∠

MON

ONOM

ON OM cos30

在Rt△OCN中

OC ON

cos30

2

92

CN ON sin30

1

2

2

N的坐标为 9 ，

··························································································· 3分 22

（用其它方法求N的坐标，只要方法合理，结论正确，均可给分．） 设直线ON的解析式为y

kx

9x k 2

2

3

直线ON

的解析式为y

3

x·

··············································································· 4分 （3）如图2，T1，T2，T3，T4为所求作的点，△OT1N，△OT2N，△OT3N，△OT4N为所求等腰三角形．（每作出一种图形给一分） ·································································································· 8分

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