备战2017年高考数学一轮热点难点一网打尽：专题10 无处不考的函数性质问题 doc

【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】

第10讲 无处不考的函数性质问题

考纲要求:

1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性．

2.理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值.

3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点． 基础知识回顾: 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义

增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两定义 个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右图象是上升的 (2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间． 2．奇、偶函数的概念

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

3、奇、偶函数的性质 （1）普通性质

①奇偶函数的定义域关于原点对称；②奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称；

自左向右图象是下降的

③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.

④若f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)?0；⑤若f (x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．

（2）在公共定义域内

①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．

【注】函数的问题，一定要注意“定义域优先”的原则。考察函数的奇偶性同样要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称。 4．函数的周期性

（1）周期函数的定义：若T为非零实数，对于定义域内的任意，总有f(x?T)?f(x)恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

（2）周期函数的性质：①若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k?z,k?0)也是它的一个周期；②若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；③如果对于函数f(x)定义域中的任意，满足f(x?a)?f(x?b)，则得函数f(x)的最小正周期是|a?b|。

【注】如果对于函数f(x)定义域中的任意，满足f(x?a)?f(x?b)，则得函数f(x)的周期是T?|a?b|；如果对于函数f(x)定义域中的任意，满足f(x?a)?f(?x?b)，则得函数f(x)的对称轴是x?应用举例:

类型一、利用函数性质解决函数零点问题

【例1】【2017广东省惠州市高三调研已知f(x)是定义在R上的且以2为周期的偶函数，

2当0?x?1时，f(x)?x．如果函数g(x)?f(x)?(x?m)有两个零点，则实数m的值为

a?b。 2（ ）

A．2k(k?Z)

B．2k或2k?1(k?Z) C．0 4

D．2k或2k?【答案】D

1(k?Z) 42【解析】设?1?x?0，则 0??x?1，f(?x)???x??x?f(x)，综上，f(x)?x2，

2x???1,1?，f(x)??x?2k?，x??2k?1,2k?1?，由于直线y?x?a的斜率为1，在y

2轴上的截距等于a，在一个周期??1,1?上，a?0时 满足条件，a??1时，在此周期上直4线和曲线相切，并和曲线在下一个区间上图象有一个交点，也满足条件．由于f(x)的周期为2，故在定义域内，满足条件的a应是 2k?0或2k?1，k∈Z．故选 D． 4

?12x?1,x?0?【例2】【2017新疆兵团农二师华山中学月考】已知函数f(x)??2，若函数

???ln(1?x),x?0F(x)?f(x)?kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（ ）

A．(0,1) B．(0,) C．(,1) D．(1,??)

【答案】C

1212【方法点晴】本题主要考查分段函数、函数的图象与性质和函数的导数，由于涉及转化思想，综合性较高，属于题型. 由题意，x?0,f(x)可化为为双曲线4y?x?1在第一象限的部

22

分?渐近线方程为y??1x;再利用导数工具f(x)在x?0处的切线方程为y?x，从而2若函数F?x??f?x??kx有且只有两 类型二、利用函数性质解决三角函数图象问题

【例3】【2017长郡中学高三入学考试】将函数y?sin(x?平移

?)cos(x?)的图象沿轴向右

22??个单位后，得到一个偶函数的图象，则?的取值不可能是（ ） 85???3?A．? B．? C． D．

4444【答案】C

?1?)cos(x?)?sin(2x??)的图象沿轴向右平移个单位后得到的22281?1?函数解析式为y?sin[2(x?)??]?sin(2x???),因为该函数为偶函数,所以

2824??3????k??(k?Z)即??k??(k?Z),由此可知选项C不符合题意,故选C.

424【解析】y?sin(x?【例4】将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图像向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是( )

πππ5π A. B. C. D. 12636【答案】C

【解析】y＝3cosx＋sinx＝2(长度后，得到y＝2sin(x?m?2sin(m??31?cosx?sinx)?2sin(x?)的图像向左平移m个单位223?3)的图像，此图像关于y轴对称，则x＝0时，y＝±2，即

π

π

?3)＝±2，所以m＋3＝2＋kπ，k∈Z，由于m＞0，所以mmin＝6. π

类型三、利用函数性质解决参数范围（或值）问题

【例5】【2017江苏省南京市高三调研】已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，

1x1

且f(x)?g(x)?()，若存在x0∈，1]，使得等式af(x0)＋g(2x0)＝0成立，则实数a的取

22值范围是 ． 5

【答案】22，2]

2

【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，考查转化与化归思想．解题时需由奇偶性定义求出函1

数f(x),g(x)的解析式，存在x0∈，1]，使得等式af(x0)＋g(2x0)＝0成立，其中等式可转

2化为a??g(2x)1g(2x0),x?[,1]的值，这样求的取值范围就转化为求函数h(x)??f(x)2f(x0)域．当然在求函数h(x)值域时还用到换元法和的单调性，问题进一步进行了转化．

??ωxωx

【例6】【2017山东济南市高三摸底考试】设ω＞0，若函数f(x)＝sincos在区间[?,]2233上单调递增，则ω的取值范围是( )

A.(0,) B.(0,] C.[,??) D．1，＋∞) 【答案】B

233232点评：已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．

类型四、利用函数性质解不等式

【例7】【2017河北省冀州中学高三摸底考试】已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，

3

??x，x≤0，

g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝?若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )

?g?x?，x>0，?

A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(1,2) D．(－2,1)

【答案】D

【例8】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(log1a)≤2f(1)，则a的取值范围是( )

2A．1,2] B.(0,] C[,2] 【答案】C

1212 D．(0,2]

【解析】由已知条件得f(－x)＝f(x)，则f(log2a)＋f(log1a)≤2f(1)?f(log2a)＋f(－log2a)≤2f(1)

2?f(log2a)≤f(1)，又f(log2a)＝f(|log2a|)且f(x)在0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1?－1≤log2a≤1，解得

1?a?2. 2点评：在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 类型五、利用函数性质解决函数解析式问题

【例9】f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝( )

A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x) C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x) 【答案】C

【解析】当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x)3＋ln(1－x)]＝x3－ln(1－x)，故选C.

点评：已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式． 【例10】已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解析式；

?x2?x?1,x?0【答案】f(x)???0,x?0

???x2?x?1,x?0点评：已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式． 类型六、利用函数性质解决函数值问题

【例11】【2017新疆兵团农二师华山中学高三月考】已知f(x)是定义在R上的奇函数，

f(x?1)是偶函数，当∈(2，4)时，f(x)?|x?3|，则f(1)?f(2)?f(3)?f(4)=（ ）

A．1 B．0 C．2 D．-2 【答案】B

【解析】由f(x)是定义在R上的奇函数?f(?x)?f(x),由f(x?1)是偶函数?f(x)关于x?1对称?f(?x)?f(2?x)?f(2?x)??f(x)?f(4?x)?f(x)?f的x周期为

?f(1)?f(?3)??f(3)?0,f(2)?f(?2)??f(2)?f(2)?0，f(3)?0，

f(4)?f(0)?0（奇函数）?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)=,故选B.

【例12】【2017山西省长治二中等四校高三联考】设函数f?x?是定义在R上的奇函数，且对任意的x?R,f?x?2??1f?x?,当x???2,0?时，f?x??log2(x?3)，则f?2017??f(2015)= .

【答案】-2

类型七、利用函数性质解决比较大小问题

【例11】【2017江西吉安一中高三月考】已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立，设a?f(?)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )

A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c

【答案】D

【解析】根据已知可得函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．a?f(?)?f()，所以b＞a＞c.

【例12】定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在0,1]上是增函数，则有( )

1??1??3??－1?

－ D．f ?－?

【解析】由题设知f(x)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又函数f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f(x)在0,1]上是增函数，故f(x)在－1,0]3??2－3?＝上也是增函数，综上函数f(x)在－1,1]上是增函数，在1,3]上是减函数．又f ?＝f ?2??2?1??－1?

类型八、函数单调性、奇偶性的判断

【例13】【2017四川省成都市高三摸底】若定义在R上的奇函数f(x)满足：?x1,x2?R，且x1?x2，都有

121252f(x1)?f(x2)，有?0，则称该函数为满足约束条件K的一个“K函数”

x1?x21；④f(x)?xx，其中为“K函x3下列函数：①f(x)?x?1；②f(x)??x；③f(x)?数”的是（ ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】D

【例14】【北京市2017届高三入学定位考试数学（理）试题】下列函数中，既是偶函数又在区间（0,1）上为增函数的是（ ）

A．y?ln|x| B．y?x?2 C．y?x?sinx D．y?cos(?x) 【答案】A

【解析】由基本函数的性质可得，y?x?2在区间?0,1?上递减，排除B；函数y?x?sinx在?0,1?上为奇函数，排除C；函数y?cos(?x)在?0,1?上递减，故排除D，故选项为A. 方法、规律归纳:

1、判断证明函数单调性的一般方法：导数、定义、复合、图像。

（1）定义法：用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设x1,x2?D，且x1?x2；②作差f(x1)?f(x2)；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断f(x1)?f(x2)的正负符号；⑤根据定义下结论。

（2）复合函数分析法：设y?f(u)，u?g(x)x?[a,b]，u?[m,n]都是单调函数，则

y?f[g(x)]在[a,b]上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数

增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。 如下表：

u?g(x)

增 增 减 减

y?f(u)

增 减 增 减

y?f[g(x)]

增 减 减 增

（3）导数证明法

设f(x)在某个区间(a,b)内有导数f1(x)，若f(x)在区间(a,b)内，总有；反之，若f(x)在区间f1(x)?0(f1(x)?0)，则f(x)在区间(a,b)上为增函数（减函数），则f1(x)?0(f1(x)?0)。 (a,b)内为增函数（减函数）

（4）图像法： 一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。

2、求函数的单调区间：函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等．

【注】1）函数的单调性是局部性质：函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2）单调区间的表示：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 实战演练:

1．【2017广东省惠州市高三第一次调研】下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )

1

A．y＝－ B．y＝log2|x| C．y＝1－x2 D．y＝x3－1

x

【答案】C

2．【2017江西新余市一中学高三月考】已知定义域为?a?4,2a?2?的奇函数

f?x??2016x3?sinx?b?2,则f?a??f?b?的值为（ ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】A

【解析】依题意得a?4?2a?2?0,?a?2，又f(x)为奇函数，故b?2?0,所以b??2,所以f(a)?f(b)?f(?2)?f(2)?0.

?x3,x?0,3．【2017浙江省温州市高三月考试题】已知函数f(x)?? 若f（2-x2）>f

?ln(x?1),x>0.（x），则实数x的取值范围是

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