赵近芳版《大学物理学上册》课后答案第三版上册

习题解答 习题一

1-1 ｜?r｜与?r 有无不同?

drdt和

drdt有无不同?

dvdt和

dvdt有无不同?其不同在哪里?试举例说明．

解：（1）

?r是位移的模，?r是位矢的模的增量，即?r?r2?r1，?r???r2?r1；

（2）

drdt是速度的模，即

drdsdr.?v?dtdtdt只是速度在径向上的分量.

∵有r?（式中r?叫做单位矢），则?rr?drdrdrdr??r 式中?rdtdtdtdt就是速度径向上的分量，

∴

drdr不同如题1-1图所示. 与dtdt题1-1图

(3)

dvdt??dv表示加速度的模，即a?dt，

dv是加速度a在切向上的分量. dt??，所以 ?v?(?表轨道节线方向单位矢）

??dvdv?d?dv 式中就是加速度的切向分量. ???vdtdtdtdt???d??dr与 (?的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) dtdt∵有v1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，y=

y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r＝x2?y2

，然后根据v =

drdt，及a＝

d2rdt2而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

v=

?dx??dy???????dt??dt?22及a=

?d2x??d2y???dt2?????dt2??????22 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有r????xi?yj，

??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt 故它们的模即为

1

?dx??dy?22v?vx?vy???????dt??dt?22x2y22?d2x??d2y?a?a?a???dt2?????dt2??????2

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

drv?dtd2ra?2

dtdrd2r与其二，可能是将

dtdt2dr误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明

dtd2r不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，

dt2也不

2?d2r??d????r是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分?a径?。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢在径向（即r???2dtdt????????量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。

1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为

x=3t+5, y=

式中t以 s计，x,

y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒

内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、

平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．解：（1） r(2)将t

1t22

+3t-4.

??1??(3t?5)i?(t2?3t?4)jm

2?1,t?2代入上式即有

???r1?8i?0.5j m ???r2?11j?4jm ??????r?r2?r1?3j?4.5jm

??????(3)∵ r0?5j?4j,r4?17i?16j

?????????rr4?r012i?20j???3i?5jm?s?1 ∴ v??t4?04????dr(4) v??3i?(t?3)jm?s?1

dt????1则 v4?3i?7j m?s

(5)∵ v0???????3i?3j,v4?3i?7j

??????vv4?v04???1j a??t442

m?s?2

???dv(6) a??1jm?s?2

dt这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。

1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以v0(m·s加速度的大小．

?1)的速率收绳时，试求船运动的速度和

图1-4

解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知 l2?h2?s2

将上式对时间t求导，得 2ldlds?2sdtdt 题1-4图

根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的， ∴ v绳??dlds?v0,v船?? dtdt

即 v船??vdsldll???v0?0dtsdtscos?

lv0(h2?s2)1/2v0?或 v船?ss将v船再对t求导，即得船的加速度

dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtss

l22(?s?)v02h2v0s??3s2ss1-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x，a的单位为m?s求质点在任何坐标处的速度值．

2?2，x的单位为 m. 质点在x＝0处，速度为10m?s?1,试

3

解： ∵ a?dvdvdxdv??vdtdxdtdx

分离变量： ?d?两边积分得

?adx?(2?6x2)dx

12v?2x?2x3?c 2由题知，x?0时，v0?10,∴c?50

?2x3?x?25m?s?1

?2∴ v1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3t m?s 解：∵ a分离变量，得 dv积分，得由题知，t，开始运动时，x＝5 m，v =0，求该质点在t＝10s 时的速度和位置．

?dv?4?3t dt?(4?3t)dt

v3?4t?t2?c12?0,v0?0 ,∴c1?0

3?4t?t2

2dx3又因为 v??4t?t2

dt232分离变量， dx?(4t?t)dt

2132积分得 x?2t?t?c2

2故 v由题知 t?0,x0?5 ,∴c2?5

1?2t2?t3?5

2故 x所以t?10s时

v10?4?10?3?102?190m?s?12 1x10?2?102??103?5?705m231-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t，?式中以弧度计，t以秒计，求：(1) t＝2 s速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解： ? (1)t?d?d??9t2,???18t dtdt

?2s时， a??R??1?18?2?36m?s?2

an?R?2?1?(9?22)2?1296m?s?24

(2)当加速度方向与半径成45角时，有

οtan45??即 R?亦即 (9t2a??1 an?R?

22)?18t

则解得 t于是角位移为

3?2 92?2.679rad

??2?3t3?2?3?1-8 质点沿半径为R的圆周按s＝v0t1?bt2的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧长,v0，b都是常量，求：(1)t时刻质点的加2速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于b．

ds解：（1） v??v0?bt

dtdv??bdt

v2(v0?bt)2an??RRa??22n2

(v0?bt)4则 a?a??a?b?R2加速度与半径的夹角为

??arctan(2)由题意应有

a??Rb?an(v0?bt)2

(v0?bt)4a?b?b?R22

(v0?bt)44,?(v?bt)?0 即 b?b?0R222∴当t?v0b时，a?b

(?t?sin?t)，y＝R(1?cos?t)，

1-9 半径为R的轮子，以匀速v0沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点B的运动方程为x＝R式中??v0/R是轮子滚动的角速度，当B与水平线接触的瞬间开始计时．此时B所在的位置为原点，轮子前进方向为x轴正方向；(2)

求B点速度和加速度的分量表示式．

5

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