固体物理习题答案(5-7)章

固体物理习题

一、 固体电子论基础

1． 已知金属铯的EF=1.55eV，求每立方厘米的铯晶体中所含的平均电子数。 (提示:常温下EF与EF相差不大，可以令EF?EF)

00解：因为常温下费米能级EF与绝对零度时的费米能级EF相差不大，可令EF≈EF。金属中的电子可近似地按自由电子气处理，在E～E+dE能量区间内的电子态数(计及自旋)为:

00 dZ?4?V?2m?2h333311E2dE?CE2dE

1其中：C?4?V?2m?2h由于电子遵循费米分布，于是在能量区间E～E+dE中的电子数为： dN?f(E)dZ?Cf(E)EdE

式中f(E)是费米分布函数。由于在绝对零度时有：

0?1 (E?E)?F f(E)??

0??0 (E?EF)因此电子总数为：

E2， V为金属的体积，m为电子的质量。

N? ??0?Cf(E)EdE?C?3EF000EdE3233h单位体积内的电子数为： V3h代入有关数据得到： n?8?3.143?(6.63?1021?27?3C(E)0F2?8?V3

(2mEF)2n?N?8?33(2mEF)2

30)3?(2?9.1?10?28?1.55?1.6?10?12)2

?8.7?10

(cm)02． 证明：在T=0K时，费米能级EF处的能态密度为：N(EF)?为金属中的自由电子数。

03N2E0F，式中N

?? 证明：在K空间中，在周期性边界条件下，以K?K为半径的球内，电子的

数目为（记及自旋）：

4?3 n?2V?K

32因此：dn?V?8?KdK （1） 已知自由电子的能量为：E?3hK2m22，代入（1）式得：

dn?4?V(2m)231h因此电子按照能量分布的状态密度：

3E2dE （2）

N(E)?dndEh当T=0K时，全部电子处于费米球内。设费米球半径为KF，则电子总数为：

3?4?V(2m)231E2 （3）

N?2V?

4?3K3F04??2mEF??2V?23?h?0?2??? （4）

3h用（4）式除（3）式，并稍加整理便得到下式：

1 ? 8?V?2mEF3?323N?E?2?0? N(E)?0?2EF?EF??上式是以电子的费米能级为参量的能态密度表达式。当E=EF时即得： N(E)?02E3． 已知绝对零度时银的费米能为5.5eV，试问在什么温度下，银的电子摩尔比热和晶格摩尔比热相等？（银的德拜温度是210K）。 解：一个电子对比热的贡献为：

2?kBT???? kB? CV?0??2?EF? 这个比热只是在低温条件下才重要。在低温条件下，按照德拜模型，晶格振动对比热的贡献为：

0F3N0F

4?T??kB?? ??5??D?式中?D是晶体的德拜温度。由于1mol银中包含有N0=6.023×1023个原子,每个银原子贡献一个电子,因而,银的电子摩尔比热为:

??? CV123?TR?? C??5?D上式中,R?N0kB为气体常数.

eV???N0CV124??? ?3令：CV?CV 得：

11ea?5kB?3D T????24?2E0?F

?2?5?(8.62?10?5)?2103?2?????1.75K 2?24?3.14?5.5???04． 如果具有bcc结构的Li晶体的晶格常数为：a?3.5?，计算其费米能(EF)、费米温度及每个价电子的平均动能。

解：由习题1可知，在三维自由电子气系统中，系统内的总电子数为：

N?

?0?Cf(E)EdE?C?30EF00EdE （1）

? C(EF)23因此有：

2222222??3?N?3??3N?302?????3?n?3 （2） EF?????2m?VC?2m?2C?对于具有体心立方结构的单价金属Li，每个立方晶胞内含有两个原子，每个原

2子有一个价电子，故自由电子的浓度为：n?3，a为晶格常数。将相应的数值

a代入（2）式中，得：

E0F??1.055?10?2m?3422?6?2?3?a??3??7.58?10?19J?4.74eV ??平均动能：

30Ee?EF?2.84eV

504费米温度为：TF?EF/kB?5.46?10K

5． 已知某种具有面心立方结构的金属中自由电子气的费米球半径为：

12?0(12?)3，其中a为晶格参数，每个原子的原子量为63.5，晶体的质量KF?a33密度为D?8.94?10kg/m，试求：（1）该金属的原子价???（2）

EF??eV

解，（1）由习题4可知，0K下的费米能为：

2222222?3??203??????3?nKF?2m2m?0??3?N?3N?30?EF????2m??2C??VC由此得费米球半径为： K0F?2

?3?n?2?13 （1）

对于fcc结构，原子的体积密度为：??的体积密度为：n???4a3，如果原子价为：?，那么电子

4a3，代入（1）式，得：

1a与已知条件对照，可知??1，即每个原子的价电子数为1。 （2）由于原子的体积密度为：??为：n????KF?(3?02?43??)3

DNMaA，Ma是原子量，自由电子的体积密度

?DNMaA，故0K下电场费米能为：

223 E0F??22m?3?n?20?3??DN??2m?Ma???1822A?3? ??代入有关数据得：EF?1.14?10

J?7.12eV

二、 金属的电导理论

1．已知金属铜的费米能EF?7.12eV,在273K温度下电阻率??1.58?10?8??cm，

求（1）铜中电子的费米速度，（2）平均自由时间?和平均自由程?。 解：因为费米球半径为：

KF?1??2mEF?2

111故费米面上的电子速率为： vF??KFm*??KFme2?2EF???me??2?7.12?1.6?10?19?2?????31?9.1?10???2??1.58?106m/s??

（2）对于自由电子等能面为球的金属，其电导率表示为：

??ne?m*2?ne?m*vF?1?

式中?是KF的函数，即???(KF)。 因此平均自由程为：

??m*vFne?0EF322

??2由于：

0F32m?3n??232323，因此有：

n??2m*E?3??2??2m*EF?23????2?9.1?10?312?7.12?1.6?10?19?323?3.14?31?1.055?10??343??8.6?1028m?3

那么电子的平均自由程为：

??mv2Fne??8.6?109.1?1028?1.58?10?1926?1.6?10???4.2?10?8?8m?4.2?102?

?1.58?10平均自由时间为：

?F??vF13?4.2?10?861.58?10?2.7?10?14s

2．证明对于具有球形费米面的金属，其电导率可以表示为： ??evF?Fg?EF22?

D(EF)VC式中e为电子电量；vF、?F为费米面上电子的速度和驰豫时间（或平均自由时间）；

g(EF)为费米面附近单位晶体体积的能态密度，因此g(EF)?，其中D(EF)是晶体的能态密度。 证明：因为：

12?4?VC D(EF)?C?EF?2m?2h3312EF （1）

所以：g(EF)?D(EF)VCh另外由“固体电子论基础”的习题1可知，晶体中自由电子的浓度可以由下式表示： n??4??2m?23312 （2） EFNV3h3h（3）式除以（2）式得：

n2?EF （4）

g(EF)3所以：n??8?33(2mEF)2?08?33(2mEF)2 （3）

23EFg(EF) （5） ?KF22上式中：EF?m2m2（6）式代入（5）式得：

21122 n??mvF?g(EF)?mvFg(EF) （7）

323对于各向同性的球形电子等能面的金属晶体来说，其电导率可以表示为： ???1mvF （其中：vF?2?KF） （6）

ne?F2m将（7）式代入（8）式即得：

122 ??evF?Fg(EF)

3

03．设钠为各向同性的金属晶体，已知钠的费米能EF在T=0K时测知其电?3.2eV。导率为2.1×1017(??cm)?1，求该温度下钠电子的驰豫时间?。 解：由于钠为各向同性的金属晶体，所以有： ?? ?? （8）

ne?m2

m?ne2。 （1）

由上题可知：n?8?33h（2）式代入（1）式得：

?2mE?0F32 （2）

??3??m?e2mEF?9232?0?32?3hm23?12?8?e2EF?0???9.1?10?2.1?10??8?3.14??1.6?10???2?3.2?1.6?10?36.63?10?273?28?21732?122?12?132?2.9?10s

三、 固体的介电性能

1．定性说明固体电介质极化的三种微观过程及其对外加电场频率的依赖关系。 2．何谓洛伦兹有效场理论？该理论作了哪些基本假设？有哪些局限性？ 3．何谓介质极化驰豫？它对介质的介电性质有何影响？ 4．何谓介质损耗，引起介质损耗的原因是什么？

四、 固体的磁性

1．自由原子的磁矩的主要来源是什么？

2．试用洪德规则确定离子Ce3+、Er3+的基态，并用原子状态的光谱表示法（即LJ）表示。

3．说明铁磁性、亚铁磁性、反铁磁性的区别。

4．设有一自旋角动量量子数S=1、磁矩为?、浓度为n的自旋体系，置于磁场H

下，说明在磁场H（设Z轴为正方向）的作用下，磁矩的能级是如何分裂的。 解：对于自旋体系，磁矩为：

?S?g?BmS?2?BmS

2S?1mS?S,(S?1),?,?(S?1),?S，由于S?1，故，mS?1,0,?1；

于是磁矩在磁场的作用下将分裂成下面的三个能级： ?1??2?BH???H?2?0?3?2?BH??H

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