概率统计练习册答案1

第一章 概率论的基本概念 （第一次） 一、选择题（每题4分，共40分）

1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（ B ） A．{（正，正），（反，反），（一正一反）} B.{(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）} C．{一次正面，两次正面，没有正面} D.{先得正面，先得反面}

2.设A，B为任意两个事件，则事件(AUB)(?-AB)表示（ B ） A．必然事件 B．A与B恰有一个发生 C．不可能事件 D．A与B不同时发生

解：AUB表示A与B至少有一个发生,?-AB表示A与B不能同时发生,因此(AUB)(?-AB)表示A与B恰有一个发生．

3．设A，B为随机事件，则下列各式中正确的是（ C ）.

A.P(AB)=P(A)P(B) B.P(A-B)=P(A)－P(B)

(AB)?P(A?B) D.P(A+B)=P(A)+P(B) C. P4.设A,B为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是( C ).

A.P(A－B)=P(A)－P(AB) B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0

C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A)+P(A)=1 注:C成立的条件:A与B互不相容.

5.若AB??，则下列各式中错误的是（ C ）.

(AB)?0 B.P(AB)?1 A．P

C.P(A+B)=P(A)+P(B) 6.若AB??,则( D ).

A. A,B为对立事件 B.A?B C.AB??

D.P(A-B)?P(A)

注:C成立的条件:A与B互不相容,即AB??.

D.P(A-B)?P(A)

注:由C得出A+B=?

7.袋中有a个白球,b个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是( C ).

1 A.2

1B. a?b

aC. a?b

bD. a?b

P(A)?注：古典概型中事件A发生的概率为

N(A)N(?)

8.设有r个人,r?365,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等的,则此r个人中至少有某两个人生日相同的概率为( A ).

rP3651?365r A.

C. D.

解：用A来表示事件“此r个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A

rC365?r!rB. 365

1?r!365

1?r!365r

rrC!P365?r35PA()??6rr365365的对立事件A“此r个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知

rP365P(A)?1?365r 故

9..当事件A与B同时发生时,事件C也随之发生,则( B ).

(C)?P(A)?P(B)?1 A.P

C.P(C)=P(AB)

(C)?P(A)?P(B)?1 B.P

()CP?(AB)D.P

B?C， 解：“事件A与B同时发生时,事件C也随之发生”，说明A(B)?P(C)；而P(A?B)???P(A)P(B)P()AB?1,故PA (A)?P(B)?1(?PAB)?P(C)故P.

11P(A)?P(B)?P(CP)?,()ABP?0,(AC)?P(BC)?,41610.已知则事件A,B,C全不发生的

概率为( B ).

A. 1/8 B. 3/8 解：所求的概率为

C. 5/8

D. 7/8

PA(BC)?1?PA(?B?C)?1?PA()?PB()?PC()?PA(B)?PB(C)?PA(C)?PA(BC)11111?1????0???044416163?8BC?AB?0?P()ABC?P(AB)?0?P()ABC?0注：A.

二、填空题

1. E：将一枚均匀的硬币抛三次，观察结果：其样本空间??{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，正）}

2．设A，B，C表示三个随机事件，试通过A，B，C表示随机事件A发生而B，C都不发生为

ABC;ABCABCABCABCBBCAC随机事件A，B，C不多于一个发生A。

3.设随机事件A、B及和事件AUB的概率分别是0.4，0.3和0.6，则P（AB）=0.3 。 (AB)?P(AB)?P(A)，所以解：因为P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB），又PP(AB)?P(AB)?P(B)?0.6?0.3?0.3.

4.设A、B为随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，则P（AB）=0.6 。

B?AB?A解：由题设P（A）=0.7，P（AB）=0.3，利用公式A知

(AB)1??P(AB)1??0.4?0.6P(AB)?P(A)?P(AB)=0.7-0.3=0.4，故P.

11p(A)?p(B)?p(C)?,p(AB)?0,p(AC)?p(BC)?485.已知，则A,B,C全不发生的概

率为 7/12. 。

解：因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0，于是

P(ABCP)?(ABC)?1?P(ABC)?1?[()PAP?()BP?()CP?(ABP)?(BCP)?(ACP)?(ABC)]?1?3/4?2/67?/12.

11P(A)?P(B)?P(C)?,P(AB)?P(BC)?0P(AC)?8. 求A，4三、设A，B，C是三事件，且，

B，C至少有一个发生的概率。

解：P (A，B，C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ 315??0?8 P(ABC)=48

第一章 概率论的基本概念

（第二次） 1.

Ai?1,2,,n)P(AA)?0i(12An为一列随机事件,且,则下列叙述中错误的是( D ).

A A.若诸i两两互斥,则A B.若诸i相互独立,则

C.若诸

P(?AP(Ai)??i)i?1nnni?1

P(A1?(1?PA(i))??i)?i?1nni?1

AiP(相互独立,则

i?1AP(Ai)??i)i?1n

i?1 D.

注：选项B由于

nP(A)?P(A)P(A|A)P(A|A)?P(A|A)?i12132nn?1

nP(A)?1?P(A)?1?P(A)??1?P(A)?1?(1?P(A))????iiiiii?1i?1i?1i?1i?1nnnn

2.袋中有a个白球,b个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是( C ).

1 A.2

a C. a?b

N(A)P(A)?N(?) 注：古典概型中事件A发生的概率为

1B. a?b

bD. a?b

?P(C)?1,则下列给定的四对 3.设A,B,C是三个相互独立的事件,且0事件中,不独立的是( C ).

与C A.AUB C. AC与C

B. A?B与C D. AB与C

4.设

A. A与B不相容 C. A与B不独立 解：由

0?P(A)?1,0?P(B)?1,且P(A|B)?P(AB)?1,

B. A与B相容 D. A与B独立 可知

则( D ).

PAB(|)?PA(B)?1PA(B)PA(B)PA(B)1?PA(?B)???PB()PB()1?PB()PB()PA(B)(1?PB())?PB()(1?PA()?PB()?PA(B))??1PB()(1?PB())?PA(B)(1?PB())?PB()(1?PA()?PB()?PA(B))?PB()(1?PB())2?PA(B)?PA(BPB)()?PB()?PAPB()()?(PB())2?PBPA()(B)?PB()?(PB())?PA(B)?PAPB()()故A与B独立.

(A)?0,P(B)?05.设事件A,B是互不相容的，且P，则下列结论正确的

是( A ).

A.P(A|B)=0

(AB|)?P(A)B.P (AB)?P(A)P(B)C.P D.P(B|A)?0

(AB)?0，因此 解：由于事件A,B是互不相容的，故PP(AB)0??0P(B)P(A|B)=P(B).

1111,,,6.四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为5436则密码最终能被译出的

概率为( D ). A.1

1B. 2 2C. 5

2D. 3

解：用A表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出密码，则密码最终能被译出，因此事件A包含的情况有“恰有一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑A的对立事件A“密码最终没能被译出”，事件A只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，故

111112P(A)(?1)?(1)?(1?)(1)???P(A)?543633.

7.三个箱子,第一箱中有4个黑球1个白球,第二箱中有3个黑球3个白球,第三个箱中有3个黑球5个白球,现随机取一个箱子,再从这个箱中取出一个球,则取到白球的概率是( A ).

53 A. 120

96710 B. 19 C. 120 D. 19

B解：用A表示事件“取到白球”，用表示事件“取到第i箱”i?1.2.3，则由全概率公式知 P()A?P(B)(PA|B)?P(B)(PA|B)?P(B)(PA|B)11223311131553????353638120

8.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为

4:1,1:2,3:2,已知这三类箱子数目之比为2:3:1，现随机取一个箱子，再从中随机取出一

个球，则取到白球的概率为（ C ）.

5 A.13

解：用A表示事件“取到白球”，用知

19B. 45

B7C. 15 19D. 30

表示事件“取到第i类箱子”i?1.2.3，则由全概率公式

P()A?P(B)(PA|B)?P(B)(PA|B)?P(B)(PA|B)1122332132127????65636515

9.接上题,若已知取到的是一只白球,则此球是来自第二类箱子的概率为( C ).

1 A. 2

P(B2|A)解：即求条件概率

1B. 3 5C. 7 1D. 7.

.由Bayes公式知

32P(B)P(A|B)63522P(|)BA???27P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)111223357

10.若A?B,则下面答案错误的是( C ).

?????(A)?PBB-A0 A. P B. P

C.B未发生A可能发生 D.B发生A可能不发生

二、填空题

1.设P（A）=0.4，P（A+B）=0.7，若事件A与B互斥，则P（B）= 0.3 ；若事件A与B独立，则P（B）= 0.5 .

解：若A与B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B），于是 P（B）=P（A+B）-P（A）=0.7-0.4=0.3； 若A与B独立，则P（AB）=P（A）P（B），于是

由P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B），得

P(A?BP)?()A0.7?0.4P()B???0.51?P()A1?0.4.

2.已知随机事件A的概率P（A）=0.5，随机事件B的概率P（B）=0.6及条件概率P（B|A）=0.8，则P（AUB）= 0.7 .

解：由题设P（AB）=P（A）P（B|A）=0.4，于是

P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.6-0.4=0.7.

3.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 1/6 .

解：本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为1/6，另外，用全概率公式也可求解.

4．设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A生产的概率是 3/7 . 解：设事件A={抽取的产品为工厂A生产的}，B={抽取的产品为工厂B生产的}，C={抽取的是次品}，则P（A）=0.6，P（B）=0.4，P（C|A）=0.01，P（C|B）=0.02，故有贝叶斯公式知

P(AC)P(A)P(C|)A0.6?0.013P(A|)C????P(C)P(A)P(C|)(A?PB)P(C|)B0.6?0.01?0.4?0.027.

5.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是 6/11 .

解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}， 则P（A）=P（B）=1/2，P（C|A）=0.6，P（C|B）=0.5，

P()ACP(A)P(C|)A0.5?0.66P(A|)C????P(C)P(A)P(C|)(A?PB)P(C|)B0.5?0.6?0.5?0.511故.

8．设两两相互独立的三事件9p(A)??B?C)?______16，则p(A知.

1p(A)?p(B)?p(C)???，2，且已A、B和C满足条件：ABC()ABC?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)解：因为P

由题设

22P(A)?P(B)?P(C),P(AC)?P(A)P(C)?P(A),P(AB)?P(A)P(B)?P(A)，

92?3PA()?3P(A)P(BC)?P(B)P(C)?P(A),(PABC)?016，因此有，解得

2P（A）=3/4或P（A）=1/4，又题设P（A）<1/2,故P（A）=1/4. 10．将C、C、E、E、I、N、S这7个字母随机地排成一行，恰好排成SCIENCE的概率为 1/1260 . 解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，

41??2?1?2?1?1?1?4而有利的基本事件数为1，故所求的概率为7!1260.

三、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中

随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1 A2=φ

1P(A)?P(A)?P(B|A)?5%,P(B|A)?0.25%?12122由已知条件知

由贝叶斯公式，有

P(A)P(B|A)P(AB)111?P(A)?1|BP(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)P(B)1122

15?202100??1512521???2100210000

四、设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）

记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记B表“再从乙袋中取得白球”。 ∵ ∴

B=A1B+A2B且A1，A2互斥

P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2)

nN?1mN????mN?M?1n?mN?M?1 =n

111P(A)?,P(B|A)?,P(A|B)?,求P(A?B)432五、 。

11?P(AB)P(A)P(B|A)由已知条件定义141P(A|B)???????有?3?P(B)?P(B)P(B)2P(B)6解：由 1P(AB)?P(A)P(B|A)?12由乘法公式，得

1111P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)????46123由加法公式，得

第二章 随机变量及其分布

一、选择题

(AB)?0,则( ). 1.设A,B为随机事件,P??. B.AB未必是不可能事件 A.AB C.A与B对立 D.P(A)=0或P(B)=0 答案：（B）

注：对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数值a的概率均为0，但事件{X=a}未必是不可能事件.

{X?1}?P{X?2},{X?2}的值为2.设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P则P( ）.

A.e 答案：（B）

?21?

B.

5e2

1? C.

4e2

1?

D.

2e2.

解：由于X服从参数为

?的泊松分布，故

1?2??e??e?k??e?P{X?k}?,k?0,1,2,k!.又

P{X?1}?P{X?2},!故1?2!???2，因此

P{X?2}?1?P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}1?20e?22e222e?25?1????1?20!1!2!e.

3.设X服从[1,5]上的均匀分布,则( ).

b?aP{a?X?b}?4 A.

{0?X?4}?1 C.P

P{3?X?6}? B.

34

1P{?1?X?3}?2 D.

答案：（D）

解：由于X服从[1,5]上的均匀分布,故随机变量X的概率密度为

,x?[1,5]?1b?af(x)??4P{a?X?b}?,5]，则?0,x?[1,5].因此，若点a,b?[14.

23P{3?X?6}?P{3?X?5}?P{0?X?4}?P{1?X?4}?44，， 21P{?1?X?3}?P{1?X?3}??42.

(?,4),4.设X~N则( ).

X??~N(0,1)4 A. {X???2}?1??(1) C.P

答案：（C）

P{X?0}? B.

12

D.??0

X??~N(0,1);X~N(?,4),解：由于故2

1X??0???P{X??0}P{?}??(?),?(0)?2222，故只有当??0时，才有由于而

1P{X?0}?2； X??2?P{X??2}?P{X??2}?1?P{X??2}?1?P{?}?1??(1);22

正态分布中的参数只要求??0，对?没有要求.

??????5X~B(2,p),Y~B(3,p),若P{X?1}?,则P{Y?1}?95.设( ). 19 A.27

1 C.3

答案：（A）

1 B.9

8 D.27

(2,p)，故 解：由于X~B00222P{X?1}?1?P{X?1}?1?P{X?0}?1?Cp(1?p)?1?(1?p)?2p?p2，

P{X?1}?而

515252p?p??p?或（p?舍）9，故933；

,p)，故 由于Y~B(3112190033P{Y?1}?1?P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?C()(1?)?1?()?333327.

6.设随机变量X的概率密度函数为

f()x,则Y??2X?3X的密度函数为( ).

1y?3fX(?)22 A. 1y?3?fX(?)2 C.2?

答案：（B）

1y?3fX(?)22B. 1y?3fX(?)2 D.2?(x)??2?0，其反函数为()??2x?3，g(x)处处可导且恒有g解：这里gxx?h(y)??y?32，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y的密度函数为

y?311y?3fY()y?f(?)??f(?)XX2222.

7.连续型随机变量X的密度函数f(x)必满足条件( ).

?f(x)?1 A.0

B.f(x)为偶函数

C.f(x)单调不减 D.??

答案：（D）

注：此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质.见教材51页.

???f(x)dx?1(1,1),记其密度函数为f(x)，分布函数为F(x),则( ). 8.若X~N{X?0}?P{X?0} A.P {X?1}?P{X?1} C.P

答案：（C）

(x)?1?F(?x) B.F x)?f(?x) D.f(x22(t?1)(x?1)??11F(x)?e2dtf(x)?e2?(1,1)，所以2???2?解：因为X~N，. X?10?1P{X?0}?P{?}??(?1)1???(1)1??0.8431?0.1569,11P{X?0}?1{?PX?0}?1{?PX?0}?1??(?1)??(1)0?.8431;

X?11?1P{X??1}P{?}???(0)0.5,11P{X??1}1?P{X??1}1?P{X??1}1???(0)0.5;

(),fx()??f(x),F(x)9.设随机变量的概率密度函数为fx是的分布函数,则对任意实数a有( ).

( ).

A.

F(?a)?1?)dx?f(x0a

1aF(?a)??f(x)dx?02 B.

(?a)?F(a)C.F

答案：（B）

(?a)?2F(a)?1 D.F

1F(0)?PX(?0)?f(x)的f(x)?f(?x)，2.的落解：由于所以概率密度函数为偶函数，其函数图形关于y轴对称，因此随机变量在x轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的，从而马上可以得出我们可以画出函数图形，借助图形来选出答案B.

1F(0)?PX(?0)?2.落变量在x轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的，从而马上可以得出我们可以画出函数f(x)的图形，借助图形来选出答案B. 1也可以直接推导如下：

F(0)?PX(?0)??a2.我们可以画出函数f(x)的图形，借助图形来选出答案B.

F(?a)??f(xd)xu??x??，令，则有

a1F(?a)??f(?u)du?f(u)du?f(x)dx?f(x)dx?f(x)dx??f(x)dx.???????aa0002

a???a

?3x,0?x?1?f(x)??21P{X?}?0,其他?410.设X的密度函数为，则为( ). 1??323xdx1??4xdx1???2 A. B.42 C. D.3

答案：（A）

313721P{X?}?f()xdx?xdx?x|?1?44?81124411解：

.

~N(1,4),?(0.5)??0.6915,(1.5)?0.9332,则P{||X?2}11.设X为( ).

A.0.2417 B.0.3753 C.0.3830 D.0.8664 答案：（B）

?2?1X?12?1P{X?2}1??P{X?2}1??P{?2?X?2}1??P{??}222解：

12.设X服从参数?的指数分布,则下列叙述中错误的是( ).

??x?1?e,x?0F(x)??0,x?0? A.

?1?[?(0.5)??(?1.5)]?1??(0.5)?1??(1.5)?0.3753.

??xx?0,有P{X?x}?e B.对任意的

?0,t?0,有P{X?s?t|X?s}?P{X?t} C.对任意的s

D.?为任意实数

答案：（D）

??x??xP{X?x}?1?P{X?x}?1?F(x)?1?(1?ee)?x?0,解：对任意的；选项C描述的

是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”；对于指数分布而言，要求参数??0.

2X~N(?,?),13.设则下列叙述中错误的是( ).

X?? A.

?2~N(0,1)

a??b??P{X?(a,)b}??()??()x??F(x)??(?) B.

C.

13.答案：（A）

?{|X??|?k?}?2?(k)?1,(k?0)? D.P

X??解：选项A改为?~N(0,1)，才是正确的；

????；

P{|X??|?k?}{?P?k??X???k?}{?P?k????X?k???}?k?????X??k??????P{????(k)??()2?k??(k)?1,(k?0)???}.

a?b?P{X?(a,b)}(?Fb)?F(a)??()??()2

Xx?1?014.设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布,则方程x?有实根的概率是( ). A.0.7 B.0.8 C.0.6 D.0.5 答案：（B）

解：由于随机变量X服从(1,6)上的均匀分布,所以X的概率密度函数为

2,6]?15,x?[1f(x)???0,x?[1,6].而方

?X?4?0?X?2或X??2Xx?1?0有实根，当且仅当?程x?，因此方程

2x?Xx?1?0有实根的概率为

26?2pP?{X??2}P{X??2}??0.86?1.

二、填空题

1．随机变量X的分布函数F(x)是事件 X?x 的概率.

1111,,,2c4c8c16c，则c? X2．已知随机变量只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是

111115151??????c?2c4c8c16c16c16解：由规范性知.

2kp(X?k)?a(),k?1,2,?a33．当的值为 时，才能成为随机变量X的分布列.

22/31k1?a()?a?2a?a??12?/32k?13解：由规范性知.

4．设离散型随机变量X的分布函数为：

??0,x??1?a,?1?x?1??F(x)??2?3?a,1?x?2???a?b,x?2

且

p(X?2)?1?_______,b?________2，则a.

{X?x}?P{X?x}?P{X?x}?F(x)?F(x?0)解：因为P，所以只有在F（X）的不连续点

（x=-1,1,2）上P{X=x}不为0,且P（X=-1）=F（-1）-F（-1-0）=a，P{X=1}=F（1）-F（1-0）=2/3-2a，P{X=2}=F（2）-F（2-0）=2a+b-2/3,由规范性知1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得a+b=1,又1/2=P{X=2}=2a+b-2/3，故a=1/6，b=5/6.

[1,5]，当x1?x5(xX?x)1?2?1?25．设X~U时，p= .

?1?,1?x?5f(x)??4?[1,5]，所以X的概率密度为?0,其它解：由于X~U，

?x112p(xX???x)f(x)dx?dx?(x?1)12?2???144故.

2X~N(?,?)，则X的分布密度f(x)?6．设随机变量

f(x)?1e2??2(x??)?22?,???x??.

若

Y?X???，则Y的分布密度f(y)?f(y)?1e,???y??2?

2y?2??(3,4)，则p?2?X?7?7．设X~N .

??2?3X?37?3?P?2?X?7?P??????22??2?(2)??(2?.5)??(2)??(2.5)10??.9972?0.9938?10?.9910解：?.

2X~N(3,2)，若p(X?c)?p(X?c)8．设，则c? .

解：由

pX(?c)?pX(?c)?pX(?c)?1?pX(?c)1X?3c?3c?3??(0)??pX(?c)?p(?)??()2222c?3??0?c?32

??1??11????0.50.5??0.5??XY?2X?19.若随机变量的分布列为，则的分布列为?

10.设随机变量Ｘ服从（０，２）上的均匀分布，则随机变量Ｙ＝X度为

23??0.5?。

在（０，４）内的概率密

fY(y)＝ .

y11F(y)??P{Yy}?P{X??y}dx?y,(0?y?4)Y?022解：

1?f(y)?F(y)?(0?y?4)YY4y故.

三、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律

解：X可以取值3，4，5，分布律为

P(X?3)?P(一球为3号,两球为1,2号)?21?C23C5?11021?C33P(X?4)?P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球)??310C521?C64P(X?5)?P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)??310C5 也可列为下表 X： 3， 4，5

136,,101010 P：

0,x?1,??F)??lnx,1?x?e,X(x?,x?e.?1四、 设随机变量X的分布函数为，

求（1）P (X<2), P {0

解：（1）P (X≤2)=FX (2)= ln2， P (0

5555P(2?X??F()?F(2)?ln?ln2?ln2X2X24

1??,1?x?e,f(x)?F'(x)??x?,其它?0（2）

五、设随机变量X的概率密度f(x)为

50?x?1?x?f(x)??2?x1?x?2?其他?0

求X的分布函数F (x)。

解：

F(x)?P(X?x)?t)dt?f(

??x当x?0时,F(x)??x??0dt?00x2当0?x?1时,F(x)?0dt?tdt???02??x当1?x?2时,F(x)?当2?x时,F(x)?故分布函数为

?0??0dt??10x2tdt?(2?t)dt?2x??112?x?0??0dt?x?0?10tdt??21(2?t)dt??x20dt?1

?0?x2??F(x)??22x?2x??12???1

0?x?11?x?22?x

2x?4xK?K?2?0六、设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程4有实根的概率

1??0?K?5f(K)??5?0?其他?0 ∵ K的分布密度为： 2

要方程有根，就是要K满足(4K)－4×4× (K+2)≥0。 解不等式，得K≥2时，方程有实根。

??5??13P(K?2)?f(x)dx?dx?0dx?22555∴

???

七、设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布

X（1）求Y=e的分布密度

10?x?1?f(x)???0x为其他∵ X的分布密度为：

X Y=g (X) =e是单调增函数 又 X=h (Y)=lnY，反函数存在

且 α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1

??max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e

1?f[h(y)]?|h'(y)|?1??ψ(y)?y??0?∴ Y的分布密度为：

八、设X的概率密度为

1?y?ey为其他

?2x0?x?π?f(x)??π2?x为其他?0

求Y=sin X的概率密度。 ∵ FY ( y)=P (Y≤y) = P (sinX≤y) 当y<0时：FY ( y)=0

当0≤y≤1时：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π)

arcsiny2πx2xdx?dx220π?arcsinyππ =

??当1

∴ Y的概率密度ψ( y )为：

y≤0时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (0 )' = 0

?y2πx2x??arcsindx?dx??220π?arcsinyππ?? 0

2?? =

π1?y2

1≤y时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (1) = 0

第三章 多维随机变量及其分布

一、选择题

?(x)?bF(x)121.设F1(x)与F2(x)分别是随机变量X与Y的分布函数,为使aF是某个随机变量的

分布函数,则a,b的值可取为( ).

32221313a?,b??a?,b?a??,b?a?,b??55 33 C.22 D.22 A. B.

答案：（A） 解：要使

F()x?aF()x?bF()x12是某个随机变量的分布函数,该函数必须满足分布函数的性

aF()??bF()??a?b?112，只有选型A满足条件.

质，在这里利用F(?)?1这一性质可以得到

2.设随机变量

X?101????i?X1,2)且P{XX0}?1,i~111(12????424?的分布为则

C.1/2

D.1

PX{1?X}?2( ).

A.0

答案：（A） 解：由

B.1/4

P{XX0}?1P{XX?0}?1?P{XX?0}?012?1212可知，故

P{X??1,X??1}?P{X??1,XP?1}?{X?1,X??1}?P{X?1,X?1}?012121212?P{X??1,X??1}?P{X??1,X?1}?P{X?1,X??1}?P{X?1,X?1}?012121212又由联合分布律与边缘分布律之间的关系可知：

1?P{X??1}?P{X??1,X??1}?P{X??1,X??0}P{X??1,X?1}112121241?P{X??1,X??0}124

1?P{X??1}P{X?1,X???1}P{X?1,X?0}?P{X?1,X?1}112121241?P{X?1,X?0}?124

1?P{X?0}?P{X??1,X?0}?P{X?0,X?0}?P{X?1,X?0}212121221?P{X?0,X?0}??P{X??1,X?0}?P{X?1,X?0}0?1212122

P{X?X}?P{X??1,X??1}?P{X?1,X?1}?P{X?0,X?0}?012121212故.

3.下列叙述中错误的是( ).

A.联合分布决定边缘分布 B.边缘分布不能决定决定联合分布

C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同 D.边缘分布之积即为联合分布 答案：（D）

解：联合分布可以唯一确定边缘分布，但边缘分布不能唯一确定联合分布，但如果已知随机变量X与Y是相互独立的，则由X与Y的边缘分布可以唯一确定X与Y的联合分布.

4.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则( ).

11P{Xi?,Y?j}?,,ij?1,2,6P{X?Y}?3636 A. B.

P{X?Y}? C.

答案：（A）

12

P{X?Y}?

D.

12

解：由问题的实际意义可知，随机事件{X?i}与{Y?j}相互独立，故

111P{X?i,Y?j}{?PX?i}P{Y?j}??,i,j?1,2,611CC3666；

11{X?Y}{?X?k,Y?kP}{?X?Y}?P{X?k,Y?k}??6???366k?1k?1；

15P{XY?}1??P{XY?}1???66；

66{X?Y}??{XY}?{X?Y}，

而事件{X?Y}又可以分解为15个两两不相容的事件之和，即

{X?Y}?{X?k,Y?k?1}?{X?k,Y?k?2}??{X?k,Y?6},k?1,2,3,4,5故

151517P{X?Y}??P{X?Y}??P{XY}?P{X?Y}???3636612.

22N(?,?,?,?,?)12125.设(X,Y)服从二维正态分布,则以下错误的是( ). 2X~N(?,?)11A.

2X~N(?,?12)B.

C.若??0,则X,Y独立

22S~N(,),T~N(,)1122D.若随机变量则(S,T)不一定服从二维正态分布

????答案：（B） 解：当

22(X,)YN(,,1,2,)12?????~N(?,?)，Y~N(?,?)，且X和Y相互独时，X121222立的充要条件是??0；单由关于S和关于T的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量S和T的联合分布的.

22X~N(,),Y~N(,)11226.若,且X,Y相互独立,则( ).

????222X?Y~N(?,(?))X?Y~N(???,???)12121212A. B.

2222X?2Y~N(?2,?4)2X?Y~N(2?,2?)12121212C. D.

????????????答案：（C）

22T~N(??,)S??T~N(??,?)解：（方法1）首先证明一个结论，若，则.证明过程如下（这

里采用分布函数法来求S??T的概率密度函数，也可以直接套用教材64页的定理结论（5.2）式）：由于

F(s)?P{S?s}?P{?T?s}?P{T??s}?1?P{T??s}?1?P{T??s}?1?F(?s),ST故

2?((s???))?1?122?fs()??f()?s?(?1)?f()?s?e?e,STT22这表明?T也服从正态

2S??T~N(??,?)分布，且.

??2(?s?)?22??2?Y~N(??,?).再利用结论：若X1与X22所以这里222X~N(?,?),i?1,2XXN?~(???,???)iii1212，则12.便可得出

2相互独立，且

????2X?Y?X?(X?Y)~N(2???,4???).

22X?2Y?(X?Y)?Y~N(?2,?4)1212;

2212122X~N(,),i?1,2,,niii布，且若，则

2222X?YN~(???,???)X?YN~(???,???)12121212；；

（方法2）我们还可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分

??22Y?kN(k?k???iXi~ii,i?i)i?1i?1i?122122；

221nnn2X?YN~(???,???)X?YN~(???,???)112故；

222X?Y~N(2???,4???)X?2Y~N(?2,?4)12121212;.

22????

)，且X,Y相互独立,记Z(?3,1)，Y~N(2,1?X?2Y?7, 7.已知X~N则Z~( ).

) C.N(0,54) D.N(?1,2) A.N(0,5) B.N(0,12答案：（A）

X?3Z??(X?3)~N(0,1)1Y~N(2,1)X~N(?3,1)1解：由于，，所以，

Y?2Z??(Y?2)N(0,1)22Z??2Z??2(Y?2)(N0,(?2)?1)(?N0,4)321，故，而

Z?Z1?Z3

,5). ，所以Z~N(0??Csin(x?y),0?xy,?,?(X,Y)~f(,xy)?4??0,其他?8.已知则C的值为( ).

21 A.2 B.2 C.2?1 D.2?1

答案：（D）

解：由联合概率密度函数的规范性知

???4?4?41?f(,xy)dxdy?Cdxsin(x?y)dy?C[cosx?cos(x?)]dx?????4????000?4?C[sinx?sin(x?)]???1C2?10?24??.

?21x?xy,0?x?1,0?y?2?(X,Y)~f(x,y)??3?0,其他{X?Y?1}?9.设,则P=( )

657171 A.72 B.72 C.72 D.72

答案：（A） 解：

P{X?Y?1}??xy)dxdy?f(,x??y11212

15653421?dx(x?xy)dy?(x?x?x)dx????36327201?x0.

?(2x?3y)?Ae,x,y?0f(x,y)??0,其他?10.为使为二维随机向量(X,Y)的联合密度,则A必为( ).

A.0 B.6 C.10 D.16

答案：（Ｂ）

解：由联合概率密度函数的规范性知

AA?2x?3y1?f(x,y)dxdy?Adxedy?ed(?2x)ed(?3y)??A?6.??????66????0000

???????(2x?3y)????12.设,则(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)为顶

点的三角形内取值的概率为( ).

A. 0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8 答案：（C）

解：用D表示以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点所形成的三角形区域，用G表示矩形域

32?,0?x?2,0?y?1?xy(X,Y)~f(x,y)?2??0,其他?[0??x2,0??y1]，则所求的概率为

433xx22P{(X,Y)?D}?f(x,y)dxdy?xydxdy?dxxydy?(?)dx?0.6???????220216DDG0x2212.

2XX,,,XN(?,?),则( ). 12n13.设相独立且都服从

21?(X?X??X)~N(?,)12nX?X??Xnn A.12 B.n2222X?3~N(2?3,4?3)X?X~N(0,???)11212 C. D.

??答案：（B）

解：利用结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若

XN(,),i?1,2,,ni~i，则

??2i22Y?kN(k?k.???iXi~ii,i?i)i?1i?1i?1nnn2n11n122(X??X?X)~N(,())?N(,)??12nnnni?1i?1因此n；

22X?X~N(?,2??)N(0,2)12????

?????.

令

Z?2X1?3，由教材64页定理结论中的（5.2）式可知，Z的概率密度函数为

f()z?Z1e2??z?32(??)?222?11.?e22??(2)2[z?(2??3)]?22(2)?22X?3~(N2??3,4?)1，故.

二、填空题

1．(X,Y)是二维连续型随机变量，用(X,Y)的联合分布函数F(x,y)表示下列概率： (a?X?b,Y?c)?____________________;（1）p (X?a,Y?b)?____________________; （2）p(0?Y?a)?____________________; （3）p(X?a,Y?b)?____________________. （4）p解：F（b,c）-F(a,c); F(a,b); F(+?,a)-F(+?,0); F(+?,b)-F(a,b).

1/6. 2．随机变量(X,Y)的分布率如下表，则?,?应满足的条件是 ????

X Y 1 2

1 1/6 1/2 2 1/9 3 1/18 ? ? 3．设平面区域D由曲线

从均匀分布，则(X,Y)的联合分布密度函数为 .

y?120,x?1,x?ex及直线y?所围成，二维随机变量(X,Y)在区域D上服

1/2,(x,y)?D?21ef(x,y)??S?dx?[ln|x|]2D1??0,(x,y)?D. 1x?解：，故

2e

22X,Y)~N(?,?,?,?,?)12124.设(，则X,Y相互独立当且仅当?? 0 .

5.设两个随机变量X与Y独立同分布，且P（X=-1）=P（Y=-1）=1/2，P（X=1）=P（Y=1）=1/2，则P（X=Y）= ；P（X+Y=0）= ；P（XY=1）= . 解：P（X=Y）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）P（Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2; P（X+Y=0）= P（X=-1, Y=1）+ P（X=1, Y=-1）= P（X=-1）（Y=1）+ P（X=1）P（Y=-1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2; P（XY=1）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）P（Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2.

k(6?x?y),0?x?2,2?y?4??f(x,y)???0,其它?三、设随机变量（X，Y）概率密度为

（1）确定常数k。 （2）求P {X<1, Y<3} （3）求P (X<1.5} （4）求P (X+Y≤4}

分析：利用P {(X, Y)∈G}=

f(x,y)dxdy???f(x,y)dxdy??GG?Do再化为累次积分，其中

?0?x?2,???D?(x,y)??o2?y?4????

解：（1）∵

1???????????f(x,y)dxdy?(6?x?y)dydxk???k8，∴

02211

3P(X?1,Y?3)?dx(6?x?y)dy?0288（2）

??1311.54127P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)?dx(6?x?y)dy??0?2832（3） 24?x12P(X?Y?4)?dx(6?x?y)dy?0083（4）

??2?cxy,x2?y?1?f(x,y)???,其它?0四、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。

解: l=

??5124212f(x,y)dxdy?dycxydx?cydy?c?c?????0?y03214??????1?y2?

21?121224?xydy?x(1?x),?1?x?12?x4X~f(x)??8X?0,其它?

5??y21722?dydx?y0?y?1?Y~f(y)??y?Y42?0其它?

四、设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为

?4.8y(2?x)0?x?1,0?y?x求边缘概率密度.?f(x,y)???0其它?

x?2??4.8y(2?x)dy?2.4x(2?x)0?x?1?0f(x)?f(x,y)dy??X???0其它?解：

??12?4.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y)0?y?1??yf(y)?f(x,y)dx??Y????0其它?

??

五、设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y的概率密度为

?1y?e2,y?0fY(y)??2?0,y?0.?

2

（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。

1,x?(0,1)??fX(x)????0,其它 解：（1）X的概率密度为

Y的概率密度为

且知X, Y相互独立，

于是（X，Y）的联合密度为

y??1?e20?x?1,y?0f(x,y)?f(x)f(y)??XY2?其它?0

2?4X?4Y?0（2）由于a有实跟根，从而判别式?

?1?y?e2,y?0fY(y)??2?0,y?0.?2?{(x,y)|0?x?1,0?y?x} 即：Y?X 记D

22??1x11222P(Y?X)?f(x,y)dxdy?dxedy??dxde?1?edx???????0002D

y2?1x200y2x?1?2??

edx?1?2?(?(1)??(2))?1?2?(0.8413?0.5)?2?

212x0?20?1?2.5066312?0.3413?1?0.8555?0.1445六、设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，20）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。

解：设X1，X2，X3，X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：

(t?160)2fT(t)?12π?20e?2?202

{X?180}?F)?11180(t?160)2fX(1802?20???2?202dt令t?16020?u11e?u22du??(180?602????20)查表0.8413

设N=min{X1，X2，X3，X 4}

P {N>180}=P {X1>180, X2>180, X3>180, X4>180}

=P {X>180}4={1－p[X<180]}4= (0.1587)4

=0.00063

第四章 随机变量的数字特征

一、选择题

1．X为随机变量，E(X)??1,D(X)?3，则

E[3(X2)?20]=（ ）. A. 18 B.9 C.30 D. 32

答案：（D）

解：由于D(X)?E(X2)?[(EX)]2，所以E(X2)?D()X?[E()X]2?3?1?4，E[3(X2)?20]?E[3(X2)]?E(20)?3E[(X2)]?20?3?4?20?32.

2. 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为

f(,xy)???e?(xy?),0??x???,0y????0,其它，则E(XY)?( ).

A. 0 B.1/2 C.2 D. 1

答案：（D） 解：

E(XY)????xyf(x,y)dxdy???xye?(x?y)dxdyx?[?e?xdx]2??????0?0?0?1

故(X,Y)?03. (X,Y)是二维随机向量,与Cov不等价的是( ).

(XY)?EX?EY(X?Y)?DX?DYA. E B. D

(X?Y)?DX?DYC. D D. X与Y独立

答案：（D）

ov(X,)Y?E(XY)?E(X)E(Y)ov(X,Y)?0?E(XY)?EX?EY解：C，故C； D(X?Y)??DXDY?2Cov(X,Y)ov(X,Y)?0?D(X?Y)?DX?DY，故C； D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)ov(X,Y)?0?D(X?Y)?DX?DY，故C；

Cov(,XY)?0???0XY，但不能说明X与Y独立.

(2X?3Y)?4. X,Y独立,且方差均存在,则D( ).

DX?3DYDX?9DY A.2 B. 4 DX?9DYDX?3DY C. 4 D. 2 答案：（C）

(2X?3Y)(?D2X)(??D3Y)4D(X)?9D(Y)解：由于X,Y独立，所以2X与3Y也独立，故D.

5. 若X,Y独立,则( ).

(X?3Y)?DX?9DY(XY)?DX?DY A. D B. D

{[X?EX][Y?EY]}?0{Y?aX?b}?1 C. E D. P

答案：（C）

(X?3Y)??D(X)(D3Y)??D(X)9D(Y)解：当X,Y独立时，D；

E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}?E[XY?XE(Y)?YE(X)?E(X)E(Y)]?E(XY)?E(X)E(Y),(XY)?E(X)E()Y，故E{[X?EX][Y?EY]}?0而当X,Y独立时，E；

P{Y?aX?b}?1?|?|1?XY.

(X,Y)?06.若Cov,则下列结论中正确的是( ).

A. X,Y独立

(XY)?DX?DY B. D

(X?Y)?DX?DY(X?Y)?DX?DY C. D D. D

答案：（C）

ov(X,)Y?E(XY)?E(X)E(Y)(X,Y)?0解：C，当X,Y独立时，可以得到Cov

而

Cov(,XY)?0???0XY，即X,Y不相关，但不能得出X,Y独立；

D(X?Y)??DXDY?2Cov(X,Y)ov(X,Y)?0?D(X?Y)?DX?DY，故C； D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)ov(X,Y)?0?D(X?Y)?DX?DY，故C.

[(X?EX)(Y?EY)]?0,7.X,Y为两个随机变量,且E则X,Y( ). A. 独立 B. 不独立 C. 相关 D. 不相关

答案：（D） 解：

E[(X??EX)(YEY)]?0?Cov(X,Y)?0??0XY，即X,Y不相关.

?(X?Y)?DX?DY,8.设D则以下结论正确的是( ).

A. X,Y不相关 B. X,Y独立 C. 答案：（A） 解：不相关.

9.下式中恒成立的是( ).

?xy?1 D.

?xy??1

D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)?DX?DY?Cov(X,Y)?00??XY，即X,Y

?(XY)?EX?EY(X?Y)?DX?DY A. E B. D ov(X,aX??b)aDX(X?1)?DX?1 C. C D. D 答案：（C） (XY)?EX?EY解：E成立的前提条件是X,Y相互独立；

(X?Y)?DX?DY(X?Y)?DX?DY当X,Y相互独立时，有D，即D成立的充分条件是X,Y相互独立；

而

D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)?DX?DY?Cov(X,Y)?0??0XY

?(X?Y)?DX?DY即X,Y不相关，所以D成立的充要条件是X,Y不相关；

Cov(X,aX?b)?Cov(X,aX)(?CovX,b)?aCov(X,X)?aD(X)； D(1X?)??D(X)(D1)?2Cov(X,1)?D(X).

10.下式中错误的是( ).

(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y) A. D

ov(,)XY?E(XY)??EXEY B. C

1Cov(X,Y)?[D(X?Y)?DX?DY]2 C. (2X?3Y)?4DX?9DY?6Cov(X,Y)D. D

答案：（D）

1D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)?Cov(X,Y)[?D(X?Y)?DX?DY]2解：由；

D(2X?3Y)?D(2X)?D(3Y)?2Cov(2X,3Y)?4D(X)?9D(Y)?12Cov(X,Y).

11.下式中错误的是( ).

22EX?DX?(EX)(2X?3)?2DX A. B. D (3Y?b)?3EY?b(EX)?0 C. E D. D

答案：（B）

2222D(X)?E(X)?[E(XE)]?(X)?DX?[E(X)]解：由；

D(2X?3)(?D2X)?D(3)?2Cov(2X,3)?4D(X)； E(3)Y?b?E(3Y)??E(b)3E(Y)?b； E(X)是一个确定的常数，所以DEX(())?0.

2EX??,DX??,??012. 设X是一随机变量,,则对任何常数c,必有( ). 22222E(X?c)?E(X??)E(X?c)?EX?C A. B. 222E(X?c)?DXE(X?c)?? C. D.

答案：（D）

22222E[(X?cE)](??X2cX?c)(?EX)?2cE(X)?c解：

2222?E(X)?[E(X)]?{[E(X)]?2cE(X)?c}22222?E(X)?[E(X)]?[E(X)?c]?D(X)?[E(X)?c]?D(X)?

?

1P{X?k}?,k?1,2,,n,则D(X)= n13.随机变量X的概率分布律为

( ).

12121(n?1)(n?1)(n?1)22(n?1) D. 12A. 12 B. 12 C. 12

答案：（B）

n111n(n?1)(n?1)E(X)?k?k????nnn22， k?1k?1解：

n11n(n?1)(2n?1)(n?1)(2n?1)21E(X)?k?k????nn66， k?1nk?122nn(n?1)(2n?1)(n?1)22212D(X)?E(X)?[E(X)]??[]?(n?1)6212. 故

x?1?10?e,x?0X~f(x)??10?0,x?0?14. 随机变量

(2X?1)=( ). ,则E4?1?10?14 10 A. B. 4 C. 21 D. 20

答案：（C）

解：

xxxx????1x?10101010E(Xx)?f(x)dx?xedx??xde??xe|?10ed(?)?100????1010??000????

?E(2X?1)(?E2X)?E(1)?2E(X)?1?21.

15.X服从[0,2]上的均匀分布,则DX=( ).

1111 A. 2 B. 3 C.6 D. 12

答案：（B）

(2?0)21(b?a)2DX()??D(X)?XU[a,]b123. 12解：由于当时，，故这里

16. 若

Y?X?X,X~N(0,1),i?1,2,12i则( ).

) D.Y~N(0,2) A. EY=0 B. DY=2 C.Y~N(0,1答案：（A）

解：由于

XN(0,1),i?1,2E(X)?E(X)?0D(X)?D(X)?1i~1212，所以， Y?X(Y)?E(X)?E(X)?01?X2，所以E12，

又因为

D(Y)?D(X)?D(X)?2Cov(X,X)?2?2[E(XX)?E(X)E(X)]?2?2E(XX),1212121212XXE(X1X2)的值无法计算，故D(Y)的值未知. 而1与2的独立性未知，所以

?{(x,y):0?x,y?a}|X?Y| 17.设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,则E的值为( ).

A. 0 B.1/2a C. 1/3a D. 1/4a 答案：（C）

?{(,)y|0?x,ya?}解：由于(X,Y)服从区域Dx上的均匀分布，所以(X,Y)的概率密度为

?1?,(x,y)?Df(x,y)??a2??0,(x,y)?D，则

1EX|?Y|?|x?yf|(,xy)dxdy?[dx(x?y)dy?dy(y?x)dx]2??????aD00002312x2aa?2?2??dx(x?y)dy?dx??2?2a0?a2a6300axaaxay.

18. 下列叙述中正确的是( ).

X?EXX?EX~N(0,1)D()?1DXDX A. B.

22EX?(EX) C.

22EX?DX?(EX) D.

答案：（D）

X*?解：令

X?EXX?EX*X?~N(0,1)**DX，则有EX?0，DX?1，但不一定有DX.

19. 设

2x,0?x?1?X~f(x)??0,其他?,以Y表示对X的三次独立重复观察中

X?“

A． 9/16 B. 16/9 C. 3/4 D. 4/3 答案：（A）

1112PX{?}?2xdx?Y?024解：由题意知，故Y服从参数为3和1/4的二项分布，即

12”出现的次数，则DY=（ ）.

1b(3,)4，

139D(Y)?npq??3??4416因此.

20. 设(X,Y)为连续型随机向量,其联合密度为f(x,y),两个边缘概 率密度分别为

??fX(x)与fY(y),则下式中错误的是( ).

B.

A.

EX??xfX(xd)x??EX???????????xf(x,y)dxdy

????XY????C.

答案：（D）

EY??2????2x,y)dxdyE(XY)?yf(x)f(y)dxdy?yf(??x D.

????????解：

E(XY)?yf(,xy)dxdy??x????，只有当X与Y独立时，才有

E(XY)?(x)f(y)dxdyxy??xyf????????.

二、填空题

??X?1?(X)?2，则p1．随机变量X服从参数为?的泊松分布，且D .

2e?X?1?2e??(X)?2，故p1!解：由题设?=D.

?21?2(X)?0.1,E(X)?0.92．已知离散型随机变量X可能取到的值为：-1，0，1，且E，则X的

概率密度是 .

22E(X)?0.9,E(X)?0.1解：假设P（X=-1）=a，P（X=0）=b，P（X=1）=c,则a+b+c=1,-a+0+c=,a+c=

故a=0.4,b=0.1,c=0.5,即X的概率分布是P（X=-1）=0.4，P（X=0）=0.1，P（X=1）=0.5.

2X~N(??,)，则X的概率密度f(x)? 3．设随机变量

EX? ；DX? .若

EY? ；DY? .

Y?X???，则Y的概率密度f(y)?

x221e2X??;f(y)?2??0, DY?1. 解： ,EX??,D,EY2E(X)?5，则X的概率密度函数pX~N(?,4)(2?X?4)?0.3,4.随机变量，且

f(x)?1e2??(x??)2?2?2?为 .

222E()X?D(X)?[E(X)]4???5??1解：由题设，故X的概率密度函数为1)1?(x?f(x)?e822?.

2??25.若随机变量X服从均值为3，方差为?(2?X?4)?0.3,则的正态分布，且PP(X?2)? .

解：由题设

2?3X?34?3?1X?3111p(2?X?4)?p(??)?p(??)??()??(?)????????11??2()??10.3??()?0.65??X?32?311?pX(?2)?p(?)??(?)??1?()?0.35????.

6．已知随机变量X的分布律为：

X p 0 1/3 1 1/6 2 1/6 3 1/12 4 1/4 (?2X?1)= . 则E(X)= ，D(X)= ，E解：E(X)=0+1/6+1/3+1/4+1=7/4；

E(X2)=0+1/6+4/6+9/12+16/4=67/12；

D(X)=E(X2)-[E(X)]2=67/12-49/16=121/48；

E(?2X?1)=-2E(X)+E（1）=-7/2+1=-5/2.

7．设解：

DX?4,DY?9,?0.5,则D(2X?3Y)?_____________XY.

?

DX?4,DY?9,??0.5,XYD(2X?3YD)?(2X)?D(3Y)2?Cov(2X,3Y)4?D()9X?D(Y)?12Cov(,)XY?4D()9X?D(Y)?12?XDY?16?81?36?61XYD8.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则X22. 的数学期望E

（X）= .

解：由于X服从n=10，p=0.4的二项分布，根据二项分布的性质，EX=np=4，DX=np（1-p）=2.4，故E（X2）= DX+（EX）=18.4.

三、设随机变量X的分布为

X －2 0 2 Pk 0.4 0.3 0.3

2

求 E (X)， E (3X+5)

解： E (X)= (－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2

2222

E (X)= (－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=2.8

22

E (3X+5) = 3E (X)+ E (5)= 8.4+5=13.4

四、设随机变量X的概率密度为

?e?x,x?0f(x)???0,x?0

－2x求（1）Y=2X （2）Y=e的数学期望。

?xE(y)?2xf(x)dx?2xedx??0解：（1）

??x?x???2xe?2e?20

?????????2x?2x?xE(Y)?ef(x)dx?eeex??0 （2）

?11??e?3x?303

五、设随机变量X1，X2的概率密度分别为

???????2x?2e,x?0f(x)??10x?0?2?4x?4e,x?0f(x)??20,x?0?

求（1）E (X1+X2)，E (2X1－3X2)；（2）又设X1，X2相互独立，求E (X1X2)

?2x?4xE(X?X)?E(X)?E(X)?x?2edx?x?4edx121200解：（1）

??113?????2x1?2x?4x1?4x?xe?e??xe?e?????2?4?24400??? =?

????1?222?4xE(2X?3X)?2E(X)?3E(X)?2??3x?4edx121202 （2）

?35??2?4xx?4x1?4x1?3?xe?e?e?1????28880?? =

?111E(XX)?E(X)?E(X)???1212248 （3）

六、设随机变量X和Y的联合分布为：

X Y －1 0 1 －1 0 1 18 18 18 18 0 18 18 18 18

验证：X和Y不相关，但X和Y不是相互独立的。

133证：∵ P [X=1 Y=1]=8 P [X=1]=8 P [Y=1]=8 P [X=1 Y=1]≠P [X=1] P [Y=1]

∴ X，Y不是独立的

323又 E (X )=－1×8+0×8+1×8=0

323 E (Y )=－1×8+0×8+1×8=0

COV(X, Y )=E{[X－E (X )][Y－E (Y )]}= E (XY )－EX·EY

1111 = (－1)(－1) 8+(－1)1×8+1×(－1)×8+1×1×8=0

∴ X，Y是不相关的

七、设随机变量（X1，X2）具有概率密度。

1f(x,y)?(x?y)8， 0≤x≤2, 0≤y≤2

ρ1D(X?X)X122求 E (X1)，E (X2)，COV（X1，X2），X

2217E(X)?dxx?(x?y)dy?20086解：

????

2217E(X)?dxy?(x?y)dy?20086

77COV(XX)?E{(X?)(X?)}121266

7711?dx(x?)(y?)?(x?y)dy???0?066836

222221711??222D(X)?E(X)?[E(X)]?dxx?(x?y)dy????1110086??36 221711??222D(X)?E(X)?[E(X)]?dxy?(x?y)dy????2220086??36

2????1?COV(X11,X2)?XY??36??1111DX1DX236

D (X1+X2)= D (X1)+ D (X2)+2COV(X1, X2)

111115??2?(?)?3636369 =

第五章 大数定理及中心极限定理

一、选择题

2EX?,DX?,则P{|X?|?3}1. 设X为随机变量,满足( A ).

????

1111??? A. 9 B. 3 C. 9 D. 3

?X,X2,10相互独立,且

?22. 设随机变量X1,

10EX?1,DX?2(1i?,2,,10)ii10，则（ C ）

P{X1??}?1???i?

A.

i?110P{X1??}?1???2?i? B.

?2i?1

i?1i?1 C. D.

3. 设对目标独立地发射400发炮弹,已知每发炮弹的命中率为0.2由中心极限定理,则命中60发～100发的概率可近似为( C ).

P{X10??}?1?20??i?2P{X10??}?1?20???i?10

?(1.5)?1 C. 2?(2.5)?1 D. 1??(2.5) A. ?(2.5) B. 2解:设X:炮弹命中的数量，则

似X?400?0.2近~N(0,1)400?0.2?0.8，因此

X~B00,0.2?4?，由中心极限定理

60?80X?80100?80??P60?X??100???2?2.5?1??P????8?88?

2EX?,DX?,i?1,2,,n,X,,XXiin独立同分布,4. 设 1,2当n?30时,下列结论中

??错误的是( C ).

A.

??nnXii?12N(n?,n?)分布 近似服从

Xi?n?n?近似服从N(0,1)分布

i?1

B. 2N(2?,2?)分布 X?X2服从 C. 1 D.

?nXii?1不近似服从N(0,1)分布

2EX??,DX??注：不意味服从正态分布，不要只看符号形式

5. 设12为相互独立具有相同分布的随机变量序列,且数分布,则下面的哪一正确? ( B )

X,X,Xi?1,2,i??服从参数为2的指

?n??n?X?n2X?n???????i?1i??i?1i?limP??x????x?;limP??x????x?;n??n??nn???????????? A. B.

?n??n?X?2X?2???????i?1i??i?1i?limP??x????x?;limP??x????x?;n??n??2n?2n??????????? C. D.

其中

??x?是标准正态分布的分布函数.

解:因为

Xi?1,2,i??服从参数为2的指数分布,故有

11EX?,DX?,(i?1,2,)ii24

n1Xi?n?2?Xi?n?2Yn?i?1?i?11nn?2令,由独立同分布的中心极限定理有

n?n?2X?nt2?i??x?12?i??1limP?x??edt???x?????n??n2???????

二、填空题

(A)?p,q?1?p1、设?n是n次独立重复试验中事件A出现的次数，P，则对 ???n?np??limPa??b??n???npq???＝ . 任意区间[a,b]有

2、设?n是n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则??n?limP|?p|????n???n?= . 对于任意的??0，均有

2?答：1.

三、据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。

2

解：设第i只寿命为Xi，（1≤i≤16），故E (Xi )=100，D (Xi )=100(l=1,2,?,16).依本章定理1知

?ab1e?x2/2dx，2.0

?16??16??X????1600X?1600ii16????1920?1600i?0i?0P(X?1920)?P??P?0.8i????40016?10016?100i?1???????????? ?(0.8)?0.7881. ????P(X1920)?1?P(X1920)?1?0.7881?0.2119.i?i??1i?1从而i

2

四、某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ（未知），方差σ=400 为了估计μ，随机地取几只这种器件，在时刻t=0投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命X1，?，{|X?μ|}?0.95,问n至少为多少？ Xn，以作为μ的估计，为使P解：由中心极限定理知，当n很大时

i?1?16?161X?nn?XiniX?nμ?i?1

nσ2?nX?nμnσ2~N(0,1)

????n?????nnX?nμnn???P{|X?μ|?1}?P??????????2????2222??nσnσnσnσσ?????n? ?n??2??20???1?0.95? =? ?n????20???0.975? 所以?

查标准正态分布表知

n?1.9620n?1536.64

即n至少取1537。

第六章 样本及抽样分布

一、选择题

nn1. 设12是来自总体的简单随机样本,则12必然满足( )

A.独立但分布不同; B.分布相同但不相互独立; C独立同分布; D.不能确定

2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（ ）.

A．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数 C. 统计量表达式中不含有参数 D. 估计量是统计量

XX,,,XXX,,,X 3. 设总体均值为?,方差为?,n为样本容量,下式中错误的是( ).

2

(X??)?0 B. A.ED(X??)??2n

X??S2~N(0,1)E(2)?1 C. ? D. ?/n

4. 下列叙述中,仅在正态总体之下才成立的是( ).

A.

(X?X)?X?nX()??2i2ii?1i?1nn2 B. X与S相互独立

22(?)?D()?[E()?]1 C. E D. i? 5. 下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（ ）.

???2?????E[?(X?)2]?n?2i?n

1~F(n2,n1)F~F(n,n),F12 A. 若则

2T~tn(),则T~F(1,n) B．若

22X~N(0,1),则X~x(1) C．若

?(X??)ii?1n2 D．在正态总体下

Xi,Si2?2~x2(n?1)

6． 设表示来自总体的容量为

体相互独立，则下列不正确的是（ ）.

N(?i,?i2)ni,2)，且两总的样本均值和样本方差(i?1(X1?X2)?(?1??2)

?S~F(n1,n1)1?2??SA. B. 22212122?21n12??22~N(0,1)

n2X1??1

C.

S1/n1~t(n1) D.

2(n2?1)S2?~x2(n2?1)

21n(Xi?X)2?XX,,,Xn7. 设12是来自总体的样本,则n?1i?1是( ).

A.样本矩 B. 二阶原点矩 C. 二阶中心矩 D.统计量

2XX,,,XX,SN(0,1)12n8. 是来自正态总体的样本,分别为样本均值与样本方差,则

( ).

) B. nX~N(0,1) C. A. X~N(0,1?Xi?1n2i~x2(n)X~t(n?1) D. S

9． 设

（ ）.

XX,2,，X1n是来自总体N(0,1)的简单随机样本，则

?(Xi?1ni?X)2服从分布为

1N(0,)) C. N(0,n) D. n A．x(n) B. x(n?12,X,?,XN(0,3),设X12910. 设随机变量X和Y相互独立,且都服从正态分布和

222U?Y,Y,?,Y129分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量

?9X9ii?1?Yi2服从分布是( ).

i?1) D. N(0,9) A. t(9) B. t(8) C. N(0,81答：1. ( C )

2.（C） 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数

X??3.（D）注：当总体服从正态分布时D才成立，当然在大样本下，由中心极限定理有?/n近似服从N(0,1)

4.（B）

5.（D）

X?i?~N(0,1),i?1,2,,n对于答案D,由于

?2?，且相互独立，根据分布的定义有

?(Xi?1ni??)2~x2(n)

?26(C) 注： 7.(D)

X1??1~t(n1?1)S1/n1才是正确的.

X1~t(n?1)X~N(0,)n，Sn8.(C) 注：才是正确的

n1?n??S2~?2n?22(X?X)~?1?n??1???i29.(B) 根据

10.(A)

?得到

i?1

解：

X~N(0,9)?X9~N0,1???Y??2iii?1i?19992i9~?2?9?

，

i?1?99Xii9～t?9?81i?12 由分布的定义有i?1

二、填空题

1．在数理统计中， 称为样本.

2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是 .

??,DX??，令,X,?,X12n3．设随机变量X相互独立且服从相同的分布，EX2?Y1nX??Xini?1，

则

EX?；

DX?.

,X,?,X_____12n4．设X是来自总体的一个样本，样本均值X?__________，则样本标准差

_______S?___________；样本方差S2?__________；样本的k阶原点矩为 ；

样本的k阶中心矩为 . 5.

(X,X,?,X)1210是来自总体

2X~N(0,0.3)的一个样本，则

?102?PX?1.44????i?i?1? .

P{X?0}?1?p,P{X?1}?p),X,?,X12n6．设X是来自（0—1）分布(的简单随机样本，X是

样本均值，则E(X)? .D(X)? .

(?,?2)，X是样本均值，Sn2是样本方差，n7．设总体X~N为样本容量，则常用的随机变量(n?1)Sn2?2服从 分布.

(?,?2)的一个简单随机样本，则样本均值,X,?,X12n8．设X为来自正态总体X~Na0,i?1,2?,n)i?服从 ，又若ai为常数(，则从 .

答：1．与总体同分布，且相互独立的一组随机变量 2.代表性和独立性

1nX??Xini?1?naiXii?1服

?3.?，n2

21n21n1X?XX?X?????i?in?1n?1i?1i?1，，，n?nXn?14.

5. 0.1

?nXkii?1k1n?Xi?X??n，i?1

pqn 6.2?7.(n?1) p,2n????n22?N?,,Na?,a???????iin??i?1i?1? 8.?

三、在总体N（52，6.3）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X落在50.8到53.8之间

的概率。

解：

2

26.31.2X?521.8X~N(52,),P{50.8?X?53.8}?P{???}6.36.36.33666612?8??()??()?0.829377

四、设X1，X2，?，Xn是来自泊松分布π (λ )的一个样本，X，S分别为样本均值和样本

2

方差，求E (X), D (X), E (S ).

2

(X)?? 解：由X~π (λ )知E (X )= λ ，DD(X)λ2?,E(S)?D(X)?λ.nnXX∴E ()=E (X )= λ, D ()=

第七章 参数估计

一、选择题

???,???)1. 设总体X在(上服从均匀分布，则参数?的矩估计量为（ ）.

1n1n21XiXi?? （A）X （B）n?1i?1 （C）n?1i?1 （D）X

1n2(X?X)?i2,?,XX~N(?,?)，X1n为抽取样本，则ni?12. 设总体是（ ）.

(A)?的无偏估计 (B)?2的无偏估计 (C)?的矩估计 (D) ?2的矩估计

222?,?N(?,?)3. 设总体分布为，为未知参数，则?的最大似然估计量为（ ）.

1n1n2(Xi?X)(Xi?X)2??1 （A）ni?1 （B）n?1i?

1n1n2(Xi??)(Xi??)2?? （C）ni?1 （D）n?1i?1

22N(?,?)??4. 设总体分布为，已知，则的最大似然估计量为（ ）.

n?12S2 （A）S （B）n

1n1n2(Xi??)(Xi??)2?? （C）ni?1 （D）n?1i?1

a?1?ax,0?x?1f(x,a)??0,其他a?0),x,x,,x?12n5. 设总体X的密度函数是（是取自总体的一组

样本值，则a的最大似然估计为（ ）.

nnn1?lnx?ln(x)lnx???ii?ilnxi ni?1i?1 A. i?1 C. D. i?1x?6??x),0?x???3(f(x)????0,其他X,X,?,X?n6. 设总体X的概率密度为，12是来自X的简单随机

n?n1 B. nn样本，则?的矩估计量为( ). A. X B. 2X C.

2max(X,X,?,X)12n D.

?nXii?1

7. 设总体X的数学期望为?，方差为?，(X1,X2)是X的一个样本，

则在下述的４个估计量中，（ ）是最优的. (A)

?1?X?1?X21545 (B)

?2?X?1?X21814

(C) 8.

?3?X?1?X21212 (D)

?4?X?1?X21213

X1,X2,X3设为来自总体X的样本，下列关于E(X)的无偏估计中，最有效的为（ ）.

11(X1?X2)(X1?X2?X3) （A）2 （B）3

1221(X?X?X)X?X?X)12312333 （C）4 （D）3

9. 设

X,?,X1n是来自总体X的样本，且EX??，则下列是?的无偏估计的是（ ）.

1(A)n?n?1i?11n1XiXi? (B)n?1i?1 (C)n?nXii?2 (D)X?n?1i?11n?1i

1nX??Xi2X,X,?,Xni?1n独立同分布，DX??，10. 设n个随机变量12，

1n22S?(XX)?i?n?1i?1，则（ ）

A. S是?的无偏估计量 B. S不是?的最大似然估计量

22S2DX?n D. S2与X独立 C.

11. 设?是总体X中的参数，称A.

(?,?)为?的置信度1?a的置信区间，即（ ）.

(?,?)以概率1?a包含? B. ? 以概率1?a落入(?,?)

(?,?)之外 D. 以(?,?)估计?的范围，不正确的概率是1?a 22X~N(?,?)?12. 设且未知，若样本容量为n，且分位数均指定为“上侧分位数”时，则

C. ?以概率a落在

?的95%的置信区间为（ ）

(X?A.

?nu0.025)

B.

(X?(X?SSt0.05(n?1))n

(X?C.

Snt0.025(n)) D. t0.025(n?1))n

222X~N(?,?),?,?13. 设均未知，当样本容量为n时，?的95%的置信区间为（ ）

2222(n?1)S(n?1)S(n?1)S(n?1)S(2,2)(2,2)x(n?1)x(n?1)x(n?1)x(n?1).9750.025.0250.975A. 0 B. 0

22(n?1)S(n?1)SS(2,2)(X?t0.025(n?1))t(n?1)t(n?1)n.0250.975C. 0 D.

??14. 双正态总体方差比

2122的1?a的置信区间为（ ）

22SS111[?2,F(n1,n?1)?2]a2?1F(n?1,n?1)SSa12222A.

2

B.

22SS11[F(n?1,n?1)?2,F(n?1,n?1)?2]a12a21SS2222

22SS112[?2,F(n1,n?1)?2]a2?1F(n?1,n1)SSa12?212C.

222SS11[F(n?1,n?1)?2,F(n,n)?2]a12a211?SS2222

D.

答：1.答案： D.

(X)??，所以??E(X)?X [解]因为E2.答案： D.

??1n2?1n2?E(X)?AXE(X)?AX2??i1??i222??E(X)?E(X)nni?1i?1 [解] 因为，，， 1222?????E(X)?E(X)??(XX)i?ni?1所以，.

2n3. 答案 A .

1?1?2L(?,?)?exp?(x??)?2i??2?2????i?1 [解]似然函数，

2n???lnL?0,2lnL?02??A2. ????由，得

4. 答案 C.

[解]在上面第5题中用?取代X即可.

5. 答案 A.

[解]求解同填空第7题. 6. 答案 B.

[解]求解同填空第9题. 7. 答案 C.

11617111??D(?)???D(?)???13??E(?)??,E(?)??252525442. 24 [解]因为，且，

8.答案 B.

[解]求解同上面第9，10题. 9答案 D.

[解]求解同第12题. 10.答案 B.

1n2(X?X)?i2? [解] 的最大似然估计量是ni?1.

11.答案 A.

[解]提示：根据置信区间的定义直接推出. 12.答案 D.

[解]同填空题25题. 13.答案 B.

[解]同填空题第28题. 14. 答案 A.

22S/S12~F(n1,n1)1?2?22?/?[解]因为12，所以选A.

二、填空题

1. 点估计常用的两种方法是： 和 .

{X?x}?P(;x?)2. 若X是离散型随机变量，分布律是P，（?是待估计参数），则似然函数

是 ，X是连续型随机变量，概率密度是f(x;?)，则似然函数是 . 3. 设X的分布律为

X 1 2 3

已知一个样本值

值为 .

?(1??) (1??) P ? 2(x,x,x)?(1,2,1)?12322，则参数的的矩估计值为___ __，极大似然估计

?(??1)x?0?x?1f(x)??X,?,X?0n是X的样本，则?4. 设总体X的密度函数为： 其他，设1的矩估计量为 ，最大似然估计量为 . 5. 设总体X服从0-1分布，且P (X = 1) = p,

为 .

X,X1,n是的一个样本，则p的极大似然估计值为 .

?的n是的6. 设总体X~?(?)，其中??0是未知参数，1一个样本，则矩估计量为 ，极大似然估计为 .

为 ，极大似然估计为 .

7.设总体在[a,b]服从均匀分布，a,b未知，则参数a, b的矩法估计量分别为 ， . 为 ， .

8. 若未知参数?的估计量是?，若 称?是?的无偏估计量. 设?1,?2是未知参数?的两个无偏估计量，若 则称?1X,,X较有效.

9. 对任意分布的总体，样本均值是 的无偏估计量.

1nX??Xi2X,X,?,XX~N(?,?)ni?1n为总体X的一个样本， 10. 假设总体，且，12则X是 的无偏估计.

2X,X,?,XX~N(?,?)的一个样本，则常数C= 时，12n11. 设为总体

是?的无偏估计.

12. 某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：

14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1

i?1C(Xi?1?Xi)2?n?12(?,0.06)，则该天生产的滚珠直径的置信区间为 ，已知原来直径服从N.05（??0，

Z0.05?1.645Z?1.96，0.025）.

2??(11)?19.68?2?(11)?4.572.2，13. 某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得S?0.1，则?的置信区间为 （??0答：1. 矩估计和最大似然估计；

2.

，

1?2）.

p(x;?)?ii，

f(x;?)?ii；

553. 6，6；

[解] （1）矩估计

22E(X)?1??2?2(1?)?3?(1?)?， 因为=3?2????x?x?x45????3?2??X?123?336. 所以，即?的矩估计量

（2）最大似然估计

2256p(x?1,x?2,x?1)?2(1?)?2?2123因为，

???????p545?10??12??0????6对其求导：?.

??2X?1?1?X, 4.

1????n?n?lnXi?1ini?lnXi?1；

[解] （1）?的矩估计为：

?E(X)?x?(??1)xdx??01???1??1?2x???20??2

1nX??xini?1 样本的一阶原点矩为：

??1X?1??2?X???21?X 所以有：?（2）?的最大似然估计为：

?(?n?L(X,?,X；)?(?1)X1)(X)1ni?ii?1i?1???nn??

nlnL?nln(??1)??lnX?ii?1ndlnLn??lnX0?i?d???1i?1

n?????得：

?lni?1nXi?lni?1nXi.

??X； 5. px1?xP(X?x)?p(1?p),x?0,1 [解] 因为

xn?xii??i?1i?1p(1?p)?L(p)所以极大似然函数?，

nn6.

xn??xi令?1n?lnLi?1ii?1???xi?x???0?pni?1?pp1?p，.

?????X?X，

；

???k?nn1nE(X)??ke??X??Xini?1k!k?0 [解] （1） 矩估计：，样本的一阶原点矩为：

?X???X所以有：EX.

（2）极大似然估计：似然函数

L(x,?,x;?)?e?1ni?1nnn??x?ixi!，

则

lnL??n??(xln??lnx!??i)ii?1i?1x?lnL?i???n??0???X???.

3n3n2???X??a(X)b?X??(X)2i?Xi?Xni?ni?117. ，；

2a?b(b?a)E(X)?,D(X)?22E(X)?D(X)?E(X)212[解]因为，所以

2na?b1b?a)a?b??2(X?,?X????i2n122?? i?1令

23n3n2???X??a(X)b?X??(X)2i?Xi?Xni?ni?11则，.

(?)??，8. E9. 数学期望E(X)；

???D(?)?D(?)； 12n1nE(X)E(X)??E(X)??E(X)inni?1 [解]

10.

?；

1nn?E(X)??E(X)???inni?1 [解].

111. 2(n?1)；

i?1 [解] ，所以

12. [14.754，15.146]；

[解] 这是方差已知，均值的区间估计，所以有：

22??E[C(X?X)]?2C(n?1)??i?1i2n?1C?12(n?1)；

??[X?Z,X?Z??]22nn置信区间为：

1X?(14.6?15.1?14.9?14.8?15.2?15.1)?14.956由题得：

??0.05Z?1.96n?60.025

0.060.06[14.95??1.96,14.95??1.96]66代入即得： 14.754,15.146] 所以为：[13. [0.15，0.31]；

(n?1)S22??????22 [解] 由

1?2?2得：

(n?1)S2??2??22(n?1)S2???2?2，

1?2

所以?的置信区间为：[

(n?1)S2??2(11)2(n?1)S2?2?(11)，

1?2] ，

.2代入得 [0.15，0.31]. 将n?12，S?0

三、设X1，X1，?，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。

解：（1）矩估计 X ~ π (λ )，E (X )= λ，故λ?=X为矩估计量。

1λi??nλL(λ)?P(xλ)?ei;x!x!?x!12ni?1（2）极大似然估计

n?nxi?n，

lnL(λ)?xλ?lnx!?nλilnii?1i?1

?n?ndlnL(λ)i????1?n?0,解得λXdλλ为极大似然估计量。

xiλ?λp(x;λ)?P{X?x}?e,x0,1,?)iii?x!i（其中

x?i四、设总体X具有分布律

1 2 3 2 2θ2θ(1－θ) (1－θ) 其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。

解：（1）求θ的矩估计值

22E(X)?1?θ?2?2θ(1?θ)?3(1?θ)?[θ?3(1?θ)][θ?(1?θ)]?3?2θ

X Pk E(X)?3?2θ?X 令

1?2?13??X3?5??3θ?226 则得到θ的矩估计值为

（2）求θ的最大似然估计值

L(θ)?P{Xx}?P{X?1}P{X?2}P{X?1}i?i123i?1似然函数

?θ2?2θ(1?θ)?θ2θ5(1?θ) ?2ln L(θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ)

dlnL(θ)51???0dθ61?θ求导

?35θ??6 得到唯一解为

五、设X1，X2， X3， X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量

11T?(X?X)?(X?X)1126334 T?(X?2X?3X?4X)521234 (X?X?X?X)T?123434

（1）指出T1，T2， T3哪几个是θ的无偏估计量； （2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。 解：（1）由于Xi服从均值为θ的指数分布，所以

E (Xi )= θ, D (Xi )= θ 2, i=1,2,3,4 由数学期望的性质2°，3°有

11E(T)?[E(X)?E(X)]?[E(X)?E(X)]?θ1124633 1E(T)?[E(X)?2E(X)?3E(X)?4E(X)]?2θ223451 1E(T)?[E(X)?E(X)?E(X)?E(X)]?θ323441

即T1，T2是θ的无偏估计量

（2）由方差的性质2°，3°并注意到X1，X2， X3， X4独立，知

1152D(T)?[D(X)?D(X)]?[D(X)?D(X)]?θ1123436918 112D(T)?[D(X)?D(X)?D(X)?D(X)]?θ21234164

D (T1)> D (T2) 所以T2较为有效。 六、 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3

2

5.6 6.1 5.0。设干燥时间总体服从正态分布N ~（μ，σ），求μ的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知σ=0.6（小时）（2）若σ为未知。

σX?zαn2）解：（1）μ的置信度为0.95的置信区间为（，

0.6X?6.0,查表z?1.96,σ?0.6,即为(6.0??1.96)?(5.608,6.392)0.0259计算得 SX?tα(n?1)n2（2）μ的置信度为0.95的置信区间为（），计算得X?6.0，查表

t0.025(8)=2.3060.

910.3321S?(x?x)??2.64?0.33.故为(6.0??2.3060)?(5.558,6.442)?i883i?1 2

第八章 假设检验

一、选择题

22X,X,?,XH:???X~N(?,?),?n0,要采用检验1. 设总体未知,通过样本12检验假设0估计量( ).

X??0

A. ?/X??0X??X??n B. S/n C. S/n D. ?/n 2X,X,?,X100N(?,12),检验H12n0:??2. 样本来自总体,采用统计量( ).

X?? A. 12/X?100X?100X??n B. 12/n C. S/n?1 D. S/n

22X,X,?,XH:???X~N(?,?),?n0,此问题拒绝3. 设总体未知,通过样本12检验假设0域形式为 .

?C}S/10 A.S/10 B. S/n C. D. {X?C}

2X,X,?,X100N(?,3)的样本，对于H12n0:??4．设为来自总体检验的拒绝域可以形

{?C}X?100{X?100?C}{X?100如（ ）.

A．

{X???C} B.

{X?100?C}{ C.

X?100S/n?C} D.

{X?100?C}

22H:??100?N(?,?)5. 样本来自正态总体,未知,要检验0,则采用统计量为( ).

nS(n?1)S2(n?1)S2X??n?2 A. B. 100 C. 100 D. 1002H100?N(?,?2)0:??6. 设总体分布为

,若

已知,则要检验

2

,应采用统计量( ).

(n?1)S2?2 A. S/n B. C.

X,X,?,XN(?,?2)12n7. 设

为来自总体

X???(Xi?1n2i??) D.

?(Xi?1n2i?X)

1001002H:??100?0的样本, 若未知, ，

2H00,a?0.05, 关于此检验问题, 下列不正确的是( ). 1:??1?(Xi?1ni?X)2

A. 检验统计量为

100(n?1)S22~x(n?1)H0100 B. 在成立时,

C. 拒绝域不是双边的

D. 拒绝域可以形如

{(Xi?X)2?k}?i?1n

2X,X,?,XN(10,?)的样本, 针对 12n设是来自总体22H:??100， H:??10001 ,

a?0.05，关于此检验问题, 下列不正确的是( ).

A. 若设W为拒绝域,则

2P{X,X,,X)?W??100}0.0512n?恒成立

(n?1)S2 B. 检验统计量取作100

?n?2(X?10)????i?1i??C??100?????的形状 C. 拒绝域可取为??(XHi?1ni?10)22100 D. 在0成立时, 服从x(n)分布

答：

1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C 7.B 8.D

二、填空题

1. 为了校正试用的普通天平, 把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进行称

量,得如下结果: 99.3, 98.7, 100.5, 101,2, 98.3

99.7 99.5 102.1 100.5, 99.2

假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异,为 . 2．设样本

H0X,X,?,X1225X??0?k(?,9),?未知.对于检验来自总体NH?0:??0，

H1:???0，

取拒绝域形如

.05，若取a?0，则k值为 .

答：1.??100 2. 1.176

三、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布，问在α = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.

2 2

解：设测定值总体X～N（μ，σ），μ，σ均未知

步骤：（1）提出假设检验H0：μ=3.25; H1：μ≠3.25

t?（2）选取检验统计量为（3）H0X?3.25~t(n?1)Sn

tα(n?1).的拒绝域为| t |≥2

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