2017 - 2018学年高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算学案（

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基本初等函数的导数 [提出问题] 已知函数：

(1)y＝f(x)＝c，(2)y＝f(x)＝x， (3)y＝f(x)＝x2

，(4)y＝f(x)＝1x，

(5)y＝f(x)＝x.

问题1：函数y＝f(x)＝c的导数是什么？ 提示：∵Δyfx＋Δx－fxc－Δx＝

Δx＝cΔx＝0，

∴y′＝limΔx→0

ΔyΔx＝0. 问题2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？ 提示：由导数的定义得：(x)′＝1，(x2

)′＝2x，

??1?x???′＝－1x2，(x)′＝12x . 问题3：函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα

(α∈Q*

)的形式，其导数有何规律？ 1提示：∵(x)′＝1·x1－1

，(x2)′＝2·x2－1

，(x)′＝(x2)′＝112x2-1＝1

2x，

∴(xα

)′＝αxα－1

.

[导入新知]

基本初等函数的导数公式

原函数 导函数 ①f(x)＝c f′(x)＝0 ②f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 ③f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

1

④f(x)＝cos x ⑤f(x)＝a ⑥f(x)＝e ⑦f(x)＝logax ⑧f(x)＝ln x

[化解疑难]

理解公式时要注意的五点：

xxf′(x)＝－sin_x f′(x)＝axln__a(a＞0) f′(x)＝ex f′(x)＝(a＞0，且a≠1) xln af′(x)＝ x11(1)对于幂函数型函数的导数，x为自变量，α为常数，可推广到α∈R也成立； (2)对于正、余弦函数的导数，关键是符号，余弦函数的导数是正弦函数前加一负号，而正弦函数的导数是余弦函数；

(3)注意指数函数、对数函数导数公式中字母a的范围； (4)公式⑥是公式⑤的特例，公式⑧是公式⑦的特例； (5)要重视公式⑤和⑦，对指数和对数的运算要准确．

导数的运算法则

[提出问题]

1

已知f(x)＝x，g(x)＝.

x问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？ 1

提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－2.

x11

问题2：试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数．

xx提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋＝Δx＋∴

－Δx，

xx＋Δx1?1?－?x＋? x＋Δx?x?

Δy＝1－Δxx1

，

x＋Δx1?＝1－1. x＋Δx?x2?

lim Δy＝lim ?∴Q′(x)＝Δ?1－x→0

ΔxΔx→0?x 2

1

同理H′(x)＝1＋2.

x问题3：Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？

提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差． 问题4：[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)对吗？

?1?′

提示：不对，因为f(x)g(x)＝1，[f(x)g(x)]＝0，而f′(x)·g′(x)＝1×?－2?＝

x?

?

1－2. x[导入新知]

导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)??fx?′＝f?

?gx?

xgx－fxg2

[gxx(g(x)≠0)；

(4)[cf(x)]′＝cf′(x)． [化解疑难]

导数的运算法则的认识

1．在两个函数积与商的导数运算中，不能认为[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及

?fx?′＝f?gx?g??

x. x2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．

3．(1)[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f1′(x)＋f2′(x)＋…＋fn′(x)；

(2)[cf(x)]′＝cf′(x)，也就是说，常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数．

利用导数公式求函数的导数 [例1] 求下列函数的导数： 1π20

(1)y＝x；(2)y＝4；(3)y＝sin；

x3(4)y＝log6x；(5)y＝

5

20

1

.

x2

20－1

[解] (1)y′＝(x)′＝20x

＝20x.

3

19

(2)y′＝(x)′＝－4x－4－4－1

＝－4x.

－5

?3??π?(3)y′＝?sin?′＝??′＝0.

3???2?

(4)y′＝(log6x)′＝

1

. xln 6

22?1??-12?52?7??5(5)y′＝5′＝(x)′＝－x＝－x5.

?x2?55??

[类题通法]

求简单函数的导函数有两种基本方法

(1)用导数的定义求导，运算比较繁杂．

(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．

[活学活用] 求下列函数的导数：

(1)y＝x；(2)y＝log7x；(3)y＝x解：(1)y′＝(x)′＝6x. (2)y′＝(log7x)′＝(3)y′＝(x

求导公式及导数运算法则 [例2] 求下列函数的导数： (1)y＝x－3x－5x＋6； (2)y＝(2x＋3)(3x－2)； (3)y＝25

3

2

2

6

5

6

2

x.

1

. xln 7

2

53x)′＝(x·x)′＝(x)′＝x2.

2

1252x－1

； x＋1

3

(4)y＝x·e； (5)y＝x＋log3x.

[解] (1)y′＝(x－3x－5x＋6)′ ＝(x)′－(3x)′－(5x)′＋6′ ＝5x－9x－10x.

(2)法一：y′＝(2x＋3)′(3x－2)＋(2x＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x＋3)·3 ＝18x－8x＋9.

4

2

22

2

4

2

5

3

2

5

3

2

2

x法二：∵y＝(2x＋3)(3x－2)＝6x－4x＋9x－6， ∴y′＝18x－8x＋9. (3)法一：y′＝?＝＝

2

232

?x－1?′

??x＋1?

x＋1′

x－1′x＋1－x－1

x＋12x＋1－x－12

＝2

x＋1x＋1

2

.

法二：∵y＝∴y′＝?1－2′

＝－

x－1x＋1－22

＝＝1－， x＋1x＋1x＋1

??

2??－2?′

′＝?x＋1?x＋1????

2

x＋1－2x＋1′2

＝2

x＋1x＋1

3

.

(4)y′＝(x)′e＋x(e)′＝3xe＋xe ＝x(3＋x)e.

(5)y′＝(x＋log3x)′＝(x)′＋(log3x)′ ＝2x＋

1

. xln 3

2

2

2

x3x2x3xx[类题通法]

解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．

[活学活用] 求下列函数的导数：

cos x?211?(1)y＝x?x＋＋3?；(2)y＝；

?xx?

xx(3)y＝3e－2＋e.

1?211?3

解：(1)因为y＝x?x＋＋3?＝x＋1＋2，

xx?xx?

x22

所以y′＝3x－3.

x(2)y′＝?＝＝

?cos x?′

??x?

x2

cos x′·x－cos x·x′－x·sin x－cos x 2

x5

＝－xsin x＋cos x.

x2

xxx(3)y′＝(3e)′－(2)′＋(e)′ ＝(3)′e＋3(e)′－(2)′ ＝3ln 3·e＋3e－2ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)－2ln 2.

求曲线的切线方程 [例3] (1)曲线y＝sin x＋e在点(0,1)处的切线方程是________．

π

(2)若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0相互垂直，则实数

2

xxxxxxxxxxxxxa＝________.

[解] (1)∵y＝sin x＋e， ∴y′＝cos x＋e， ∴y′|x＝0 ＝cos 0＋e＝2，

0

xx∴曲线y＝sin x＋e在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0. (2)因为f′(x)＝sin x＋xcos x， πππ?π?所以f′??＝sin＋cos＝1. 222?2?又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，

2所以根据题意得1×?－?＝－1，解得a＝2.

?2?答案：(1)2x－y＋1＝0 (2)2 [类题通法]

根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．

[活学活用] 求曲线y＝解：∵y＝∴y′＝

2x?2，4?处的切线方程．

在点?5?x2＋1??

2

xa?a?2x， x＋1

x2＋

－2x·2x2－2x＝222

＋x＋x2

2

，

6

∴y′|x＝2＝因此曲线y＝2－8＋

2

6＝－. 2

25

2x46?4?在点?2，?处的切线方程为y－＝－(x－2)，即6x＋25y－32＝0. x＋1525?5?

4.求曲线的切线方程

[典例] (12分)已知函数f(x)＝x＋x－16，直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

[解题流程]

3

[随堂即时演练]

1．曲线f(x)＝xln x在点x＝1处的切线方程为( ) A．y＝2x＋2 C．y＝x－1

解析：选C ∵y＝xln x， ∴y′＝ln x＋1，

故切线斜率为k＝y′|x＝1＝1. ∴切线方程为y＝x－1.

B．y＝2x－2 D．y＝x＋1

7

2．函数y＝

x2

x＋3

的导数是( )

x2＋6xA. x＋2

C.

－2xx＋

2

x2＋6xB. x＋3

3x＋6xD. x＋2

2

2

?x?′

解析：选A y′＝???x＋3?

＝＝2xx2

x＋x＋

x＋

－x2－xx＋

2

22

x＋

x2＋6x＝. x＋23．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．

解析：y′＝3ln x＋4，则曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，故切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.

答案：y＝4x－3

x＋1?π?4．已知函数f(x)＝，则f′??＝________. sin x?2?

解析：f′(x)＝＝sin x－

x＋

xin x－x＋

2sinx，

x x＋2sinxπ?π?πsin－?＋1?cos

2?22??π?则f′??＝＝1.

?2?2π

sin

2答案：1

5．已知抛物线f(x)＝ax＋bx－7经过点(1,1)，且在点(1,1)处的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．

解：因为抛物线f(x)＝ax＋bx－7经过点(1,1)， 所以1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0.

又在点(1,1)处的抛物线的切线方程为4x－y－3＝0，其斜率为4，f′(x)＝2ax＋b， 所以f′(1)＝4， 即2a＋b－4＝0.

??a＋b－8＝0，解方程组?

??2a＋b－4＝0，

22

8

??a＝－4，得?

?b＝12.?

[课时达标检测]

一、选择题 1．给出下列结论：

π?π?①(cos x)′＝sin x；②?sin?′＝cos；

6?6?11?－1?③若y＝2，则y′＝－；④?′＝ . ?xxx??2xx1

其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3

解析：选B (cos x)′＝－sin x，所以①错误； π1?1?sin＝，而??′＝0，所以②错误；

62?2?

2

?12?′＝0－x?x?x4??

＝－2x－3

4＝－2x，所以③错误；

x0－

?－1???′＝－

xx1

2

?x?

11x－

22131＝＝x－＝，所以④正确．

x222xx1

2．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )

421

A．3 B．2 C．1 D. 2

x2

x3

解析：选A 因为y′＝－，

2xx31

所以由导数的几何意义可知，－＝，

2x2

解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．

3．对任意的x，有f′(x)＝4x，f(1)＝－1，则此函数解析式为( ) A．f(x)＝x B．f(x)＝x－2 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x－1

解析：选B 由f′(x)＝4x知，f(x)中含有x项，然后将x＝1代入选项中验证可得． 4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax＋3相切，则a的值为( ) A．1 B．±1 C．－1 D．－2

3

3

4

3

4

3

4

3

9

解析：选A 设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax0＋3，所以3x0＋1＝ax0＋3.①

对y＝ax＋3求导得y′＝3ax， 则3ax0＝3，ax0＝1.② 由①②可得x0＝1，所以a＝1.

5．若f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 015(x)＝( )

A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x

解析：选D 因为f1(x)＝(sin x)′＝cos x，

2

2

3

2

33

f2(x)＝(cos x)′＝－sin x， f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x， f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，

f5(x)＝(sin x)′＝cos x，所以循环周期为4，

因此f2 015(x)＝f3(x)＝－cos x. 二、填空题

6．若f(x)＝e(cos x＋sin x)，则f′(x)＝________. 解析：f′(x)＝?＝＝

－x?cos x＋x sin x?′

?e??

xx－sin x－e

2xe

xx＋sin x

－2sin x－x＝－2esin x. xe

－x答案：－2esin x

1x7．(陕西高考)设曲线y＝e在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，

x则P的坐标为________．

1xx0

解析：y′＝e，曲线y＝e在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e＝1，设P(m，n)，y＝(xx111

＞0)的导数为y′＝－2(x＞0)，曲线y＝(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－2(m＞0)，因

xxm为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．

答案：(1,1)

?1??1?2

8．已知f(x)＝x＋2f′?－?x，则f′?－?＝________.

?3??3?

10

1?1?解析：f′(x)＝2x＋2f′?－?，令x＝－， 3?3?2?1??1?则f′?－?＝－＋2f′?－?，

3?3??3?

?1?2

∴f′?－?＝. ?3?3

2答案： 3三、解答题

9．求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)(x－1)； (2)y＝xsin x； e＋1(3)y＝x. e－1

解：(1)法一：y′＝[(x＋1)]′(x－1)＋(x＋1)(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)＝3x＋2x－1.

法二：y＝(x＋2x＋1)(x－1)＝x＋x－x－1，

2

3

2

2

2

2

2

2

2

xy′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1.

(2)y′＝(xsin x)′＝(x)′sin x＋x(sin x)′ ＝2xsin x＋xcos x. (3)y′＝＝e

xx22

2

2

e＋1′－x－

xxe－1－e＋1

x2e－1

xxxe－1′

x－＋

2

＝

－2ex－

x2

.

10．设f(x)＝x＋ax＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数

3

2

a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．

解：因为f(x)＝x＋ax＋bx＋1， 所以f′(x)＝3x＋2ax＋b. 令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b. 又f′(1)＝2a， 所以3＋2a＋b＝2a，

解得b＝－3.

令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b.

23

2

11

又f′(2)＝－b， 所以12＋4a＋b＝－b， 解得a＝－3

2

. 所以f(x)＝x3

－322x－3x＋1，

从而f(1)＝－5

2.

又f′(1)＝2×??3?－2???

＝－3， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－??5?－?2??

＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.

12

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