贵州师大附中2010届高三第一次月数学试题（理科）答案

贵州师大附中2009—2010学年第一学期第一次月考试题

高三(理科)数学参考答案 2009-8-26

一. 选择题（每小题5分，共60分．） 题 号 1 2 D 3 D 4 D 5 A 6 A 7 D 8 D 9 C 10 A 11 B 112 C 答 案 D 二. 填空题（每小题5分，共20分．） 13. 8x?y2?0(y?0) ； 14. －1 ； 15. 1 ； 16. 0或 ．

6三. 解答题（共70分．） 17．（本小题满分10分）

（1）解法1：b?c=(cos??1,sin?),则|b?c|?(cos??1)?sin??2(1?cos?). ??1?cos??1,?0?|b?c|?4，即0?|b?c|?2.

2222当cos???1时，有|b?c|?2,所以向量b?c的长度的最大值为2. 解法2：?|b|=1，|c|?1，|b?c|?|b|+|c|?2当cos???1时， 有|b?c|=(?2,0)，即|b?c|=2，b?c的长度的最大值为2. （2）解法1：由已知可得b?c=(cos??1,sin?),

a?(b?c)?cos?cos??sin?sin??cos??cos(???)?cos?。 ?a?(b?c)，?a?(b?c)?0，即cos(???)?cos?。由???4，得cos(?4??)?cos?4，即

???4?2k???4(k?z)。???2k???4或??2k?，(k?z),于是cos??0或cos??1。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解法2：若???4，则a?(22,22)，又由b?(cos?,sin?)，c?(?1,0)得

?a?(b?c)?(22,22)?(cos??1,sin?)?22cos??22sin??22 ?a?(b?c)，?a?(b?c)?0，即cos?(cos??1)?0?sin??1?cos?，平方后化简得cos?(cos??1)?0，解得cos??0或cos??1，经检验，cos??0或cos??1即为所求．

18．（本小题满分12分）

解：（1）随机变量?可取的值为2,3,4,P(??2)?311C2C3A2C5C411112?35;P(??3)?A2C3?A3C2C5C4C31112121?310;

P(??4)?A3C211C5C4C3C21?110; 得随机变量?的概率分布列为：

x P 2 353 3104 110 （2）随机变量?的数学期望为：E??2??3?5315?4??； 10102192?(4?2.5)?? 10102033随机变量?的方差为：D??(2?2.5)??(3?2.5)?523219．（本小题满分12分）

（1）证明：因为Rt?AOB以直线AO为轴旋转得到Rt?AOC，且二面角B?AO?C是直二面角，

所以?AOB??AOC??BOC，即CO?AO且CO?BO所以CO?平面AOB， ?平面COD?平面AOB．

（2）过D作DE?OB于点E,在Rt?AOB中，DE‖AO,所以DE与CD所成角的大小等于异面直线AO与CD所成角的大小．当D为AB的中点时, DE=

CD?22，在?CDE中，cosCDE?6412可解出：DE?AO，3，CE?645，

，异面直线AO与CD所成角的大小为arccos．

20．（本小题满分12分）

解：（1）f?(x)?3x2?2ax?b，由于f(x)有极大值和极小值，??、?为3x2?2ax?b?0的两根， 则?????(?332a3,???22b3,?f(?)?f(?)?(?3?a?32?b??c)?(?3?a?2?b??c)?

2??)?a(???)?b(???)?2c?[(???)?3??(???)]?a[(???)?2??]?)]?a[(?)?2?()]?b()?2c?a??2c3333273??????3???3???（2）设A(?,f(?)),B(?,f(?),由f()?()?a?()?b??c?

332222b(???)?2c?[(?2a)?3?3b?(?2a2a2b?2a432ab(?a3)?a?(?3a3)?b?(?2a3)?c?227a?313ab?c?12[f(?)?f(?)]知AB的中点在y?f(x)上

21．（本小题满分12分）

解：（1）由f?(x)?ln(1?x)?11?x1(1?x)12x1?x?a?0得a?ln(1?x)?x1?x 令h(x)?ln(1?x)?x1?x，则

h?(x)??，当x?[1,??)时，h?(x)?0,h(x)在[1,??]上单调递增．

?a?h(1)?1???ln2 ?a的取值范围是???,?ln2?．

22??（2）g(x)?ln(1?x)?(1?a)xx?1?a,x?(?1,??)，则g?(x)?11?x?1?a(x?1)2?x?2?a(x?1)2

① 当a?1时，x?(?1,a?2),g?(x)?0,g(x)是减函数． x?(a?2,??)时，g?(x)?0,g(x)是增函数．

② 当a?1时，x?(?1,??),g?(x)?0,g(x)是增函数．

综上；当a?1时，增区间为[a?2,??)，，减区间为(?1,a?2]；当a?1时，增区间为(?1,??)．

22．（本小题满分12分）

解：（1）bn?1an?1?2?11an?1?1?an?1an?1?1，而bn?1?1an?1?1，

∴bn?bn?1?an?1an?1?1?1an?1?11??52?1．(n?N?)

∴{bn}是首项为b1?，公差为1的等差数列．

a1?1（2）先用数学归纳法证明1?an?2： ①当n?1时，1?a1?2成立；

②假设当n?k时命题成立，即1?ak?2，当n?k?1时，

12?1ak?1?ak?1?2?1ak?(1,32)?1?ak?1?2 故当n?k?1时也成立，

综合①②有，命题对任意n?N?时成立，即1?an?2. （也可设f(x)?2?再证明an?1?an：

1ak1ak1x（1≤x≤2），则f'(x)?1x2?0，故1?f(1)?ak?1?f(ak)?f(2)?32． ?2）

an?1?an?2?(ak?)?2?2ak??0?an?1?an．

?1?an?1?an?2

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