现代数字信号处理-基于LMS线性预测

现代数字信号处理：基于LMS算法的线性预测估计

现代信号处理

基于LMS 算法的线性预测估计

小组组长：

刘鑫 (150408520845) 小组成员：

刘芳(150408520846) 万娇(150408520849) 郑熔(150408520848) 郭俊(150408520852) 任课教师： 聂文滨

教师所在学院： 信息工程学院

时间：2015年11月17日

现代数字信号处理：基于LMS算法的线性预测估计

摘 要

现代电子技术发展日新月异，随着数字时代的到来，各种各样的产品层出不穷，在追求高性能的同时，高效的算法越来越得到人们的青睐。本文对LMS算法及其改进算法进行了研究，主要有LMS算法的线性预测，解相关LMS算法（包括时域解相关算法和变换域解相关算法），自适应LMS算法，并利用matlab对这几种算法进行了软件仿真，通过仿真结果图把各种LMS算法的性能直观的展现出来。其中，线性预测是根据已有采样点按照线性函数计算未来某一离散信号的数学方法，线性预测可分为前向性预测和后向性预测。在线性预测中维纳滤波应用很广泛，包括线性预测器原理，线性预测与AR模型的关系以及线性预测器的AR模型功率谱估计。在系统分析中，线性预测可以看作是数学建模或者最优化的一部分。另外，采用不同LMS算法时的结果对影响LMS算法是不同的。根据参数模型功率谱估计的思想， 使用LMS算法，最小均方误差准则得到线性预测系数或LPC系数，从而进行线性预测分析。

关键词：LMS算法；线性预测；matlab软件仿真

现代数字信号处理：基于LMS算法的线性预测估计

Abstract

Development of modern electronic technology with each passing day, a variety of products emerge in endlessly with the arrival of digital age, in the pursuit of high performance at the same time, the efficient algorithm is more and more get the favour of people. This paper studies the Least Mean Square (LMS) algorithm and its improved algorithm , mainly include the linear prediction of LMS algorithm, the decorrelation LMS algorithm (including the temporal decorrelation algorithm and transform domain decorrelation algorithm), adaptive LMS algorithm, and using matlab software to simulat several algorithms, through the simulation results show the performance of LMS algorithm with all kinds of intuitive. The linear prediction is a mathematical method to calculate a future discrete signal according to the sampling points by the linear function ,linear prediction can be divided into forward prediction and backward prediction. Wiener filtering is widely used in the linear prediction ,including the principle of linear predictor, the relationship between linear prediction and auto-regressive(AR) model and AR model power spectrum estimation of the linear predictor. In system analysis, linear prediction can be seen as part of the mathematical modeling and optimization. In addition, the different results when the LMS algorithm is adopted to affect the LMS algorithm is different. According to the ideas of the parameter model of power spectrum estimation, using the LMS algorithm and the minimum mean square error criterion to obtain the linear prediction coefficients or linear predictive coding(LPC) coefficients, thus a linear predictive analysis is made.

Key words: LMS algorithm; Linear prediction; Matlab software simulation

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第一章 绪论

1.1论文研究的背景及意义

现代电子技术己经由模拟向数字过渡，传统的模拟信号处理正被数字信号处理所代替。随着数字时代的到来，各种各样的产品层出不穷，在追求高性能的同时，高效的算法越来越得到人们的青睐。数字滤波是数字信号处理一部分，它除了具有数字信号处理的稳定、重复性好和适应性强等优点外，还具有可预见性和无相位偏差的优点，可用仿真软件来对一个设计预先测试。实现数字滤波的方法很多，其中，最小均方算法(LMS)应用最广泛，这是因为LMS算法具有低计算复杂度、平稳环境下的收敛性、均值无偏地收敛到维纳解以及利用有限精度实现算法时的稳定性等特性。由于LMS算法的广泛应用，以及在实际条件下，为解决实际问题，基于LMS算法的新LMS类算法不断出现。而线性预测估计常用于对语音信号进行分析预测，这一过程是在短时平稳这一现实的假定基础上进行的，即一段语音信号是各态历经的平稳随机过程。线性预测分析是一种估计精度较高、运算速度较快的语音参数估计方法。大量的实践证明：线性预测编码（LPC）参数是反映语音信号特征的良好参数。线性预测分析被普遍应用到语音处理的各个方面。在线性预测中维纳滤波应用很广泛，包括线性预测器原理，线性预测与AR模型的关系以及线性预测器的AR模型功率谱估计。线性预测是进行语音信号分析最有效和最流行的分析技术之一，已经在很多语音处理领域中得到了应用,如语音编码、语音合成和语音识别等。因此，对基于LMS算法的线性预测估计的研究具有很重要的意义。

1.2 LMS算法的发展

1.2.1 LMS算法的历史发展及现状

1955-1966年期间美国通用公司在研制天线的过程中，为抑制旁瓣，由windows和hoff在60年代初提出了基本LMS算法。随后又发展出了归一化算法和加遗忘因子LMS算法。1977年，makjoul提出了格型滤波器，并由此发展出LMS自适应格型滤波器算法。Herzberg、cohen和be’ery提出了延时LMS（DLMS）算法。2002年，尚勇，吴顺君，项海格提出了并行延时LMS算法。此外，还有复数LMS算法、数据块LMS算法等。LMS算法一直在不断的改进创新，因为LMS算法具有低计算复杂度、在平稳环境中的收敛性好、其均值无偏地收敛到

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wiener解和利用有限精度实现算法时的稳定性等特性，使LMS算法成为自适应算法中应用最广泛的算法。由于LMS算法的广泛应用，以及在实际条件下，为解决实际问题，基于LMS算法的新LMS类算法不断出现。 1.2.2 LMS算法的发展前景

因LMS算法是自适应滤波器中应用最广泛的算法，所以可以说，自适应滤波的发展前景也就是LMS算法的发展前景。它主要包括以下几个方面的应用：

1、系统辨识和建模(System Identification and Modeling)。自适应滤波器作为估计未知系统特性的模型。

2、自适应信道均衡(Adaptive Channel Equlization)。在数字通信中采用自适应信道均衡器，可以减小传输失真，以及尽可能地利用信道带宽。

3、回波消除(Echo Cancellation)。回波消除就是预先估计一个回波，然后用返回信号来减此回波，从而达到回波消除的目的。

4、线性预测编码（Linear Predictive Coding）。近年来，对语音波形进行编码，它可以大大降低数据传输率。在接收端使用LPC分析得到的参数，通过话音合成器重构话音。时变线性滤波器既当作预测器使用，又当作合成器使用。

5、自适应波束形成（Adaptive Beaamforming）。自适应束波形成通过调节天线各阵元的加权幅度和相位，来改变阵列的方向图，使阵列天线的主瓣对准期望用户，从而提高接收信噪比，满足某一准则下的最佳接收。

其应用还有噪声中信号的滤波、跟踪、谱线增强以及预测等。

1.3 线性预测的发展

1.3.1线性预测的历史发展及现状

1795年高斯就提出了线性最小均方估值(或预测)，而直到1949年,在维纳的著作第二章“单一时间序列的线性预测”中才首次用了“线性预测”这个术语。此后,线性预测数学方法开始被人用在许多领域中。1967年板仓等人最早研究把线性预测技术直接应用到语音分析和合成中。线性预测是一种很重要得技术,几乎普遍地应用于语音信号处理的各方面。线性预测在语音编码方面的应用是最深入也是最全面的,过去的二三十年间,研究者们逐渐推出了多种基于参数编码和 波形编码相结合的混合编码方式,借助于现代语音生产模型,可以得到中低码率的语音编码器,尤其是最近流行的低延迟码激励线性预测编码器(LD-CELP)。线性预测在语音合成方面的研究是在上个世纪六十年代后期发展起来的,它是语音信号合成的一个重要组成部分,它的发展和语音的编码技术是分不开的,基本上每

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的欧氏范数最小化，并受制于以下约束条件：

w(n?1)u(n)?d(n) (式2.1.25) 是用拉格朗日乘数法，构建实值二次代价函数

J(n)??w(n?1)?Re{?[d(n)?w(n?1)u(n)]} (式2.1.26) 可以证明，最优解为

w(n?1)?w(n)?^^^2*^H^H?u(n)*u(n)e(n) (式2.1.27) 2这个结论是计算归一化LMS算法M?1维抽头权向量所期望的结果，式(2.1.27)清楚地表明使用“归一化”的原因：乘积向量u(n)e*(n)相对于抽头输入向量u(n)的欧氏范数进行了归一化。

2) 变步长LMS算法

如果选择步长?是固定的取值，那么LMS算法不可能同时获得较快的收敛速度和良好的稳定性能。但是，如果在初始时使用较大的?，而当LMS算法接近收敛时，使用较小的?，这样既可以在滤波开始时获得较快的收敛速度，又可以在收敛时获得良好的稳态性能，这就是变步长LMS算法。为了适应环境的变化，变步长LMS算法还能够根据实际的收敛情况进行调整。例如，可以将瞬时误差信号

e(n)的模e(n)作为判断算法是否收敛的参数。在每一次LMS算法迭代中，步长

?(n)将随着e(n)的变化而发生变化，即

?(n?1)???(n)??e(n)20???1,??0 (式2.1.28)

其中，?和?是确定的常量，可以通过实验来确定。

3) 泄漏LMS算法

为了提高LMS算法计算时的数值稳定性，可以使用泄漏LMS算法。 泄漏LMS算法的代价函数可表示为

2^2 J(n)?e(n)??w(n) (式2.1.29) 其中，?>0，,hi控制参数。等式右边的第一项是估计误差的平方，第二项是抽头权向量w(n)中包含的能量。可以证明，抽头权向量的更新表达式为

w(n?1)?(1???)w(n)??u(n)e*(n) (式2.1.30)

其中，常数?应满足

0???1^^^? (式2.1.31)

除了式(2.1.30)中包含泄漏因子(1???)外，该算法具有与典型LMS算法相

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同的数学表达式。此外，式(2.1.30)中的泄漏因子(1???)项，等效于在输入过程

u(n)上叠加一个零均值、方差为?的白噪声序列。

2.2 线性预测估计

2.2.1线性预测介绍

线性预测是随机信号处理的基本内容之一，它是在给定一个宽平稳随机信号

x(n)的一组过去样值时，预测该信号的将来值。具体来说，它是给定信号在时刻i?n?p,n?p?1,...,n?1的p个值，即?x(n?p),x(x?p?1),...,x(n?1)?，要预测下

一个信号值x(n)，预测估计是采用过去值的加权线性组合。这种预测也称为前向线性预测。另一种预测形式是用样点?x(n?p?1),x(x?p?2),...,x(n)?的线性加权组合对过去值x(n?p)进行预测，这被称为后向线性预测。

线性预测除了可以用于预测信号值之外，还可以用于信号的去相关和信号建模等，它的重要价值主要是由于它与随机信号的AR线性建模以及确定性信号的全极点线性建模是等价的，而求解相应的自相关正则方程又导致了格型滤波器和信号的格型建模方法等，而信号的全极点建模被广泛应用于随机信号的模型法功率谱估计、语音和音频处理的建模和压缩编码、信号的线性去相关等信号处理应用中，所以基于线性预测的理论体系就构成了基于信号二阶统计量的常规信号处理基础。

2.2.2 线性预测器原理

线性预测器是预测离散时间平稳随机过程未来时刻取值的理论。下面我们将简单的介绍一下线性预测器的原理，如图2-1所示为M抽头横向滤波器。 u(n?1) u(n?2) u(n) ?1 ??? z?1z* * w1 w0 z?1u(n?M) d(n) ^*wM?1????? ???

?e(n) 图2-1 M抽头横向滤波器

滤波器各节点的输入数据为u(n?1),u(n?2),...,u(n?M)，期望响应信号为

d(n)?u(n)，即用u(n?1),u(n?2),...,u(n?M)来预测u(n)，称为M阶（一步）线

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性预测（Linear Prediction）(简记为LP(M))。

滤波器输入向量可表示为

u(n)?[u(n?1)u(n?2)???u(n?M)]T

滤波器权向量为

w?[w0w1???wM?1]T

显然，这是一个典型的维纳滤波问题，输入信号向量u(n)的自相关矩阵为

R?E?u(n)uH(n)?

将u(n)的定义带入上式，有

??u(n?1)u*(n?1)u(n?1)u*(n?2)??**??u(n?2)u(n?1)u(n?2)u(n?2)R?E???????u(n?M)u*(n?1)u(n?M)u*(n?2)??

???u(n?1)u*(n?M)???????u(n?2)u*(n?M)?????????u(n?M)u*(n?M)???

所以

r(1)?r(0)?r(?1)r(0)R=??????r(?M?1)r(?M?2)而互相关量为

?r(M?1)??r(M?2)??

?????r(0)?

（2.2.1）

??u(n?1)??????u(n?2)??u*(n)?p?E?u(n)d*(n)??E??? ???????????u(n?M)??于是有

p??r(?1)r(?2)?r(?M)?

T（2.2.2）

可得M阶线性预测器的维纳-霍夫方程为

Rw0?p

对于LP(M),估计的最小均方误差为

2Jmin??d?pHw0?r(0)?w0r(1)???wM?1r(M)

（2.2.3）

满足维纳-霍夫方程的线性预测称为最佳线性预测，简称线性预测。显然，

（2.2.4）

线性预测器的系数可以通过求最小均方预测误差得到。

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2.2.3 线性预测与AR模型的关系

线性预测与AR模型互为逆系统。

将LP（M）中维纳-霍夫两边Rw0?p取共轭，有

*R*w0?p*

将式（2.2.1）和（2.2.1）代入上式，可得

r(?1)?r(0)?r(1)r(0)?????r(M-1)r(M-2) ?*?r(?M?1)???w0???r(1)????r(2)?*??r(?M+2)??w1???? ?????????????*????r(0)???r(M)?w???M?1??（2.2.5）

注意，这里用到了自相关函数的共轭对称性r*(?m)?r(m)。 我们已知AR(M)的Yule-Walker方程的表达式为

r(?1)?r(0)?r(1)r(0)??????r(M-1)r(M-2)?r(?M?1)??a1???r(1)??a???r(2)??r(?M+2)???2???? ???????????????r(0)??aM???r(M)?（2.2.6）

比较（2.2.5）与（2.2.6）两式可以得到

ai??wi*?1

考虑在AR(M)模型中，输入v(n)和输出u(n)之间的关系为

u(n)???aku(n?k)?v(n)

k?1M（2.2.7）

（2.2.8）

系统函数可以改写为

HAR(z)?U(z)1 ??1?2?MV(z)1?a1z?a2z???aMz（2.2.9）

而在图2-1所示的线性预测器LP(M)中，输入u(n)和预测误差输出e(n)之间的关系为

He(n)?u(n)?d(n)?u(n)?w0u(n)

^将w0和u(n)的展开式代入上式，并注意式（2.2.7），有

e(n)?u(n)?a1u(n?1)?a2u(n?2)???aMu(n?M)

AR(M)的输入白噪声v(n)，即

（2.2.10）

比较式（2.2.8）和（2.2.10）可得，LP（M）的预测误差输出e(n)就是原

（2.2.11）

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e(n)?v(n)

另外，对式（2.2.10）取Z变换，可以得到线性预测器的系统函数为

HLP(z)?E(z)?1?a1z?1?a2z?2+?+aMz?M U(z)（2.2.12）

式中，E(z)和U(z)分别是e(n)和u(n)的Z变换。显示，系统函数HAR(z)和

HLP(z)满足等式

HAR(z)HLP(z)?1

（2.2.13）

根据可逆LTI系统的系统函数关系可知，M阶线性预测器LP(M)与M阶AR模型AR(M)互为逆系统，如图2-2所示，两系统级联后的响应e(n)和输入v(n)相同。

v(n) AR(M) ?v2 u(n) LP(M) e(n) Jmin??v2 图2-2 AR(M)与LP（M）互为逆系统

下面我们将进一步证明二者具有相同的方差。

若是v(n)均值为零、方差为?v的白噪声过程，对于AR(M)，方差?v满足

22?v2?r(0)?a1r(?1)???aMr(?M)

而对于LP(M)，最小均方误差为

2Jmin??d?pHw0?r(0)?w0r(1)???wM?1r(M)

由于是实数，有

*****Jmin?Jmin?r*(0)?w0r(1)???wM?1r(M)

**?r(0)?wr(1)???w0M?1r(M)

由于式（5.1.7）和r(m)的共轭对称性，有

Jmin??v2

^（2.2.14）

所以，LP(M)的输出d(n)是均值为零、方差为Jmin??v2的白噪声。线性预测器LP(M)实际上是将一个AR(M)过程的u(n)通过滤波变成了白噪声的过程。因此，线性预测器通常也称为白化滤波器（whitening filter）。

由于ai??wi*?1，线性预测器的系统函数也通常可表达为

*?1*?2*?M HLP(z)?1?w0z?w1z???wM?1z（2.2.15）

由于预测估计输出信号d(n)为

^

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***d(n)?w0u(n?1)?w1u(n?2)???wM-1u(n?M) ^而预测估计信号d(n)的z域表达式为

*?1*?2*?MD(z)?(w0z+w1z+??wM)U(z) ?1z^^（2.2.16）

于是，可以得到预测估计器的系统函数为

HPR(z)=D（z）?1?HLP(z) U(z)^^（2.2.17）

预测估计器和线性预测器（白化滤波器）的关系可表示为图2-3所示。其中，预测估计器输出是d(n)，而白化滤波器输出是d(n)。

^u(n) 1?HLP(z)1 d(n)?u(n)：预测估计器

^?--e(n)：白化滤波器

图2-3 预测估计器与白化滤波器

2.2.4 线性预测在语音系统中的应用

既然M阶线性预测器LP(M)与M阶AR模型AR(M)互为逆系统，可将图2-2中的两个子系统交换级联顺序。得到如图2-4所示的系统结构。

u(n) LP(M) e(n) v(n) AR(M) Jmin??v2 u(n)图2-4 线性预测编码与语音恢复原理

利用该系统结构，将某AR随机过程u(n)作为线性预测器LP(M)的输入信号，其输出为均值为零、方差为Jmin??v2的白噪声e(n)，并得到线性预测器LP(M)的M个最优权值wi。

如果将该最优权值按关系ai??wi*?1作为AR模型AR(M)的模型参数，并以均值为零、方差为Jmin??v2的白噪声v(n)作为AR(M)的输入，则AR(M)的输出便可恢复成线性预测器LP(M)的输入信号u(n)。

图2-4所示的工作过程便是广泛应用的语音线性预测编码（LPC,linear predictive coding）的基本原理，将讲话者的声音信号u(n)通过线性预测器LP(M),得到M个最优权值wi和最小均方误差Jmin，并将这M个最优权值wi和Jmin现代数字信号处理：基于LMS算法的线性预测估计

传送到通信系统的接收端，接收端以ai??wi*?1最为AR(M)模型的参数，并以均值为零、方差为Jmin??v2的白噪声v(n)作为AR(M)的输入，便可恢复出原讲话者的声音信号u(n)。

2.3 自适应LMS算法应用及发展前景

2.3.1 自适应LMS算法的应用

自适应LMS算法应用非常广泛，生活中各个领域都有涉及，比较为人熟知的是使用格型滤波器，格型滤波器最早是Makhoul于1977年提出的，当时将Makhoul采用的

方法称为线性预测的格型方法，后来才称为格型滤波器。格型滤波器具有共辘对称的结构，前向反射系数是后向反射系数的共扼，其设计准则和LMS算法一样是使均方误差最小。下面就LMS算法在噪声对消技术上的应用做一个具体分析：

自适应干扰对消是通过一个恰当的自适应过程加以控制的，一般都能将噪声或干扰抑制到用直接滤波难以或不能达到的程度。它可以在信号很微弱或引号用常规方式无法检测的噪声（干扰）场中，将从一个自适应滤波器中LMS算法的应用或多个传感器所取得参考输入加以过滤，并从包含信号和噪声的原始输入中减法，最后结果是原始信号中的噪声或干扰受到衰减或被消除，并尽量保留了有用信号，噪声（干扰）对消可完成时间域（频域）的滤波，也可实现空间域的滤波，因此自适应干扰对消具有广泛的应用范围。例如消除心电图中的电源干扰、检测胎儿心音时滤除母亲的心音及背景干扰、在有多人对话的场合下提取某人的对话、作为天线阵列的自适应旁瓣对消器。 2.3.2 自适应LMS算法的发展前景

因LMS算法是自适应滤波器中应用最广泛的算法，所以可以说，自适应滤波的发展前景也就是LMS算法的发展前景。它主要包括以下几个方面的应用: 1、系统辩识和建模(System Identification and Modeling)。自适应滤波器作为估计未知系统特性的模型。

2、自适应信道均衡(Adaptive Channel Equalization)。在数字通信中采用自适

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应信道均衡器，可以减小传输失真，以及尽可能地利用信道带宽。

3、回波消除(Echo Cancellation)。在2线和4线环路电话系统中，线路间存在杂散电路祸合，这些杂散导致阻抗不匹配，从而形成了信号的反射，也就是我们在线路两端听到的回声。这种回波能对高速数据传输造成灾难性的后果。回波消除就是预先估计一个回波，然后用返回信号来减此回波，从而达到回波消除的目的。消除心电图中的电源干扰就是它的一个具体应用。

4、线性预测编码(Linear Predictive Coding)。近年来，对语音波型进行数字编码成为流行，通过分析语音波形来获得语音的基本参数，然后对语音波形进行编码，它可以大大降低数据传输率。在接收端使用LPC分析得到的参数，通过话音合成器重构话音。合成器实际上是一个离散的随时间变化的时变线性滤波器。时变线性滤波器既当作预测器使用，又当作合成器使用。分析语音波形时作预测器使用，合成语音时作话音生成模型使用。

5、自适应波束形成(Adaptive Beamforming)。频谱资源越来越紧张，利用现有频谱资源进一步扩展容量成为通信发展的一个重要问题。智能天线技术利用阵列天线替代常规天线，它能够降低系统干扰，提高系统容量和频谱效率，因此智能天线技术受到广泛关注。自适应波束形成通过调节天线各阵元的加权幅度和相位，来改变阵列的方向图，使阵列天线的主瓣对准期望用户，从而提高接收信噪比，满足某一准则下的最佳接收。在雷达与声纳的波束形成中，自适应滤波器用于波束方向控制，并可在波束方向图中提供一个零点以便消除不希望的干扰。

其应用还有噪声中信号的滤波、跟踪、谱线增强以及线性预测等。

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3.1 流程图

3.2 算法设计

步骤1 初始化，n=0

第三章 算法设计及其流程图

图3.1 流程图

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?(0)?0 权向量：w?(0)?d(0) 估计误差：e(0)?d(0)?d输入向量：u(0)?[u(0)步骤2 对n=0，1，2...

u(?1)...u(?M?1)]T?[u(0)0...0]T

?(n?1)?w?(n)??u(n)e*(n) 权向量的更新：w?(n?1)?w?(n?1) ?H(n?1)u(n?1)估计误差：e(n?1)?d(n?1)?d期望信号的估计：d步骤3 令n=n+1，转到步骤2。

3.3 结果分析

图 3.2步长为0.001时的学习曲线

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1jqd.html