2019届高三理科数学一轮复习学案 1.1集合

第一章集合与常用逻辑用语

第一节集__合

1．集合的相关概念

(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合： 集合 符号 2．集合间的基本关系 表示 关系 子集 基本关系 真子集 文字语言 集合A的元素都是集合B的元素 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 符号语言 x∈A? x∈B A?B，且 ?x0∈B， x0?A A?B， B?A ?x，x??，??A，?B(B≠?) AB或 BA 记法 自然数集 N 正整数集 N*或N＋ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R A?B或B?A 相等 集合A，B的元素完全相同 不含任何元素的集合．空集空集 是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集 3．集合的基本运算

符号 表示 图形 表示 集合的并集 A∪B A＝B ? 集合的交集 A∩B 集合的补集 若全集为U，则集合A的补集为?UA 意义 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x?A} 4．集合的运算性质 (1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. (2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. (3)补集的性质：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；

?U(?UA)＝A；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ) (2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )

(3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ) (4)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (5)若AB，则A?B且A≠B.( )

(6)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立．( ) (7)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )

答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√ (7)×

2．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( ) A．{1,2,3,4} C．{2,3,4}

B．{1,2,3} D．{1,3,4}

解析：选A 由题意得A∪B＝{1,2,3,4}．

3．(2017·北京高考)若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝( ) A．{x|－2

B．{x|－2

解析：选A 由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2

4．(2017·北京高考)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，则?UA＝( ) A．(－2,2) C．[－2,2]

B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

解析：选C 由已知可得，集合A的补集?UA＝[－2,2]．

5．已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________． 解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4， ∴x＝1或x＝4. 答案：1或4

6．已知集合P＝{2,3,4,5,6}，Q＝{3,4,5,7}，若M＝P∩Q，则M的子集个数为________．

解析：由题意可知，M＝{3,4,5}，故M的子集个数为23＝8. 答案：8

考点一 集合的基本概念 ?基础送分型考点——自主练透?

[考什么·怎么考]

集合元素的三大特性是理解集合概念的关键，一般涉及元素与集合之间的关系及根据集合中元素的特性?特别是集合中元素的互异性?，来确定集合元素的个数或求参数值，属于基础题. 1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )

A．3 C．1

B．2 D．0

解析：选B 因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.

2．(2018·南昌模拟)已知集合M＝{1,2}，N＝{3,4,5}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为( )

A．3 C．5

B．4 D．6

解析：选B 因为a∈M，b∈N，所以a＝1或2，b＝3或4或5.当a＝1时，若b＝3，则x＝4；若b＝4，则x＝5；若b＝5，则x＝6.同理，当a＝2时，若b＝3，则x＝5；若b＝4，则x＝6；若b＝5，则x＝7，由集合中元素的特性知P＝{4,5,6,7}，则P中的元素共有4个．

3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于( ) 9

A. 2C．0

9B. 89

D．0或 8

解析：选D 若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

2

当a＝0时，x＝，符合题意．

3

9

当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，

89

所以a的值为0或.

8

b??

4．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝?0，a，b?，则b－a＝( )

?

?

A．1 C．2

?

B．－1 D．－2

?

b??b

解析：选C 因为{1，a＋b，a}＝?0，a，b?，所以a≠0，a＋b＝0，则a＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.

5．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

3

解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时，m＋2＝3

231

且2m2＋m＝3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2

223

＋m＝3，故m＝－.

2

3

答案：－ 2

[怎样快解·准解]

1．与集合中的元素有关的解题策略

(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．

(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．

2．常见易错探因

第2题，第5题易忽视集合中元素的互异性而导致错误；第3题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形．

考点二 集合间的基本关系 ?基础送分型考点——自主练透?

集合间的关系有相等、子集(包含真子集)等，其中子集是高考考查重点，要能准确判定一个具体集合是否是另一个具体集合的子集．多以选择题形式出现，属于基础题． (一)直接考——两集合间基本关系的判断 1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

B．A＝B D．BA

解析：选C 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，比较A，B中的元素可知AB，故选C.

kππ??

x＝＋，k∈Z?，集合N＝ 2．(2018·烟台调研)已知集合M＝?x??44

?

?

kππ???

?xx＝＋，k∈Z?，则( )

84???A．M∩N＝? C．N?M

B．M?N D．M∪N＝M

??2nππ?2k＋4?ππ???

x?x＝8－4，n∈Z?，N解析：选B 由题意可知，M＝?x?x＝－， k∈Z?，＝???84???

＝?x?x＝

?

?

?

??2k－1?ππ2kππ

－或，x＝－，k∈Z?，所以M?N，故选B. 8484?

3．(2018·云南第一次检测)设集合A＝{x|－x2－x＋2<0}，B＝{x|2x－5>0}，则集合A与B的关系是( )

A．B?A C．B∈A

B．B?A D．A∈B

?

?

5??

x>?. 解析：选A 因为A＝{x|－x2－x＋2<0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|2x－5>0}＝?x??2在数轴上标出集合A与集合B，如图所示，

可知，B?A. [题型技法]

判断集合间关系的3种方法

列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(如第1题) 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(如第2题) 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．(如第3题) 结构法 数轴法 (二)迁移考——利用集合间关系求参数 4．(2018·云南师大附中模拟)集合A＝{x|x2－a≤0}，B＝{x|x<2}，若A?B，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，4] C．[0,4]

B．(－∞，4) D．(0,4)

解析：选B 集合A就是不等式x2－a≤0，即x2≤a的解集．①当a<0时，不等式无解，故A＝?.此时显然满足A?B.②当a＝0时，不等式为x2≤0，解得x＝0，所以A＝{0}．显然{0}?{x|x<2}，即满足A?B.③当a>0时，解不等式x2≤a，得－a≤x≤a.所以A＝[－a，

a ]．由A?B可得，a<2，解得0

5．已知a∈R，b∈R，若{a，ln(b＋1)，1}＝{a2，a＋b,0}，则a2 018＋b2 018＝________. 解析：由已知得a≠0，ln(b＋1)＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 018＋b2 018＝1.

答案：1

6．已知集合A＝{x|1≤x<5}，B＝{x|－a

解析：因为B?(A∩B)，所以B?A.

3

①当B＝?时，满足B?A，此时－a≥a＋3，即a≤－；

2－a

②当B≠?时，要使B?A，则?－a≥1，

??a＋3<5，围为(－∞，－1]．

答案：(－∞，－1] [题型技法]

利用集合间关系求解参数问题的策略

若参数在元素的性质特征之中，多以一次不等式或二次不等式的形式出化简要分类 现，此时要对其进行合理分类，分类的主要依据就是参数对该不等式的对应方程的解的影响．分类的主要层次为：①最高次幂系数是否为0；②方程是否有解；③解之间的大小关系．(如第4题) 关系要分类 已知两个集合之间的关系求参数的取值，要注意对集合是否为空集进行分类讨论，因为?是任意一个集合的子集．(如第6题) 利用集合之间的子集关系确定参数所满足的条件，实际上就是比较两个区“端点”要取舍 间端点值的大小关系，所以集合对应区间的端点的取舍对两个集合之间的关系有制约作用，这也是区分子集与真子集的关键．如已知A＝(1,3]，B???a>1，?a≤1，?＝[a，b](a

3

解得－

2

考点三 集合的基本运算 ?重点保分型考点——师生共研?

集合的基本运算是历年高考的热点.高考中主要考查求集合的交、并、补运算，常与解不等式、求函数定义域和值域等知识相结合，考查题型主要是选择题，偶尔也出现填空题，属于基础题. [典题领悟] 1．已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝log2(x－2)}，则A∩B＝( ) A．(1,2) C．(2,5]

B．[1,2) D．[2,5]

解析：选C 由x2－6x＋5≤0的解集为{x|1≤x≤5}，得A＝[1,5]．由x－2>0，解得x>2，故B＝(2，＋∞)．把两个集合A，B在数轴上表示出来，如图，可知A∩B＝(2,5]．

2．(2018·湖南湘潭模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x||x|<1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则集合?U(M∪N)＝( )

A．(－∞，－1]

C．(－∞，－1]∪[2，＋∞) 解析：选A 解|x|<1，得－1

所以该集合是函数y＝2x，x∈R的值域，即N＝(0，＋∞)． 从而M∪N＝(－1，＋∞)．

因为U＝R，所以?U(M∪N)＝(－∞，－1]，故选A. 3.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )

A．{x|－2≤x<4} C．{x|－2≤x≤－1}

B．{x|x≤2或x≥4} D．{x|－1≤x≤2} B．(－1,2) D．[2，＋∞)

解析：选D 依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此?RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(?RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，选D.

[解题师说]

1．掌握“4种技巧”

(1)先“简”后“算”：进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把

?1?

握元素的性质特征，区分数集与点集等．如求集合P＝?x?x<1?的补集，要先进行化简，若

?

?

?

?1?

≥1?，导致漏解． 直接否定集合P中元素的性质特征，就会误以为?RP＝?x??x

?

?

(2)遵“规”守“矩”：定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”，补集的运算要关注“你有我无”的元素．

(3)活“性”减“量”：灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，特别是摩根定律，即?U(M∩N)＝(?UM)∪(?UN)，?U(M∪N)＝(?UM)∩(?UN)等简化运算，减少运算量．

(4)借“形”助“数”：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题

直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍．(如典题领悟第1题)

2．谨防“2种失误”

(1)进行集合基本运算时要注意对应不等式端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要注意端点值的取舍．(如典题领悟第2题)

(2)求集合的补集时，既要注意全集是什么，又要注意求补集的步骤，一般先求出原来的集合，然后求其补集，否则容易漏解．(如典题领悟第3题、冲关演练第3题)

[冲关演练]

1．(2017·天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )

A．{2} C．{1,2,4,6}

B．{1,2,4}

D．{x∈R|－1≤x≤5}

解析：选B A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}． 1??2．(2018·合肥质量检测)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝?x∈R ?2a≤x≤2a－1?，若A∩B≠

?

?

?

?，则实数a的取值范围是( )

A．[1，＋∞) 2

，＋∞? C.??3?

1

，1? B.??2?D．(1，＋∞)

2a－1≥1，??

解析：选A 因为A∩B≠?，所以?解得a≥1. 1

2a－1≥a，?2?

3．(2018·皖北协作区联考)已知集合A＝{y|y＝x2－1}，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}，则?R(A∩B)＝( )

1

0，? A.??2?10，? C.??2?

1?B．(－∞，0)∪??2，＋∞? 1

，＋∞? D．(－∞，0]∪??2?

1

0，?，所以解析：选D 因为A＝{y|y＝x2－1}＝[0，＋∞)，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}＝??2?11

0，?，所以?R(A∩B)＝(－∞，0]∪?，＋∞?. A∩B＝??2??2?

考点四 集合的新定义问题 ?重点保分型考点——师生共研?

以集合为载体的新定义问题，是高考命制创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新性质、新法则等，一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或偏上. [典题领悟] x??

1．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{－1,1,2,3}，定义A#B＝?z ?z＝y，x∈A，y∈B?，

?

?

?

则A#B中元素的个数是( )

A．5 C．10

B．7 D．15

解析：选B 因为x∈A，所以x可取－1,0,1； 因为y∈B，所以y可取－1,1,2,3. x

则z＝y的结果如下表所示：

y x －1 0 1 －1 1 0 －1 1 －1 0 1 2 1－ 20 1 23 1－ 30 1 31111故A#B中元素有－1，－，－，0，，，1，共7个，故选B.

2332

2．已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意实数对(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：

1??

①M＝??x，y??y＝x?；

?

?

?

②M＝{(x，y)|y＝log2x}； ③M＝{(x，y)|y＝ex－2}； ④M＝{(x，y)|y＝sin x＋1}．

其中是“垂直对点集”的序号是( ) A．①④ C．③④

B．②③ D．②④

解析：选C 记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1x2＋y1y2＝0得OA⊥OB.对于①，对任意A∈M，不存在B∈M，使得OA⊥OB.对于②，当A为点(1,0)时，不存在B∈M满足题意．对于③④，对任意A∈M，过原点O可作直线OB⊥OA，它们都与函数y＝ex－2及y＝sin x＋1的图象相交，即③④满足题意，故选C.

3．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是( )

A．7 C．25

B．10 D．52

解析：选B 因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，

所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}． 由x∈A∩B，可知x可取0,1； 由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3. 所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：

y x 0 1 －1 (0，－1) (1，－1) 0 (0,0) (1,0) 1 (0,1) (1,1) 2 (0,2) (1,2) 3 (0,3) (1,3) 所以A*B中的元素共有10个． [解题师说]

与集合相关的新定义问题的解题思路

(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．

(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．

(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．

[冲关演练]

mA??

1．定义集合的商集运算为＝?x?x＝n，m∈A，n∈B?，已知集合A＝{2,4,6}，B＝

B???kB???

?xx＝－1，k∈A?，则集合∪B中的元素个数为( )

2A???

A．6 C．8

B．7 D．9

1111??BB1111

?0，，，，1，，2?，解析：选B 由题意知，B＝{0,1,2}，＝0，，，，1，，则∪B＝2463?AA2463?共有7个元素，故选B.

2．(2018·武昌调研)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x?B}，若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝( )

A．{0,1} C．{0,1,2}

B．{1,2} D．{0,1,2,5}

解析：选D 因为A＝{x∈N|0≤x≤5}，所以A＝{0,1,2,3,4,5}．解不等式x2－7x＋10<0，即(x－2)(x－5)<0，得2

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