2013年下学期数学实验作业

数学实验与数学建模实验报告

学 院： 专业班级： 姓 名： 学 号：

完成时间： 2014 年1 月6日

实验一 图形的画法

1. 做出下列函数的图像：

（1）y(x) xsin(x x 2)， 2 x 2（分别用plot、fplot） （2）x/9 y/25 1（用参数方程）

(3) 在同一图形窗口中，画出四幅不同图形（用subplot命令）：

2

2

22

y1 cos(x)，y2 sin(x pi/2)，y3 x2cos(x pi)，y4 esin(x)（x [0,2 ]）

2 作出极坐标方程为r 2(1 cost)的曲线的图形. 3 作出极坐标方程为r et/10的对数螺线的图形.

x 4cost,

4 绘制螺旋线 y 4sint,在区间［0，4 ］上的图形.在上实验中，显示坐标轴名称。

z t

5 作出函数z xye x y的图形.

x2y2z2

6 作出椭球面 1的图形.

491

2

2

(该曲面的参数方程为

x 2sinucosv,y 3sinusinv,z cosu, (0 u ,0 v 2

).)

x2y2z2

7 作双叶双曲面 1的图形.

1.51.41.3

(曲面的参数方程是

x 1.5cotucosv,y 1.4cotusinv,z 1.3cscu,

其中参数0 u

2

, v 时对应双叶双曲面的一叶, 参数

2

u 0, v 时对应

双叶双曲面的另一叶.)

8 作出圆环

x (8 3cosv)cosu,y (8 3cosv)sinu,z 7sinv,(0 u 3 /2, /2 v 2

)

的图形.

9 作出球面x2 y2 z2 22和柱面(x 1)2 y2 1相交的图形.

10 作出锥面x2 y2 z2和柱面(x 1)2 y2 1相交的图形.

11用动画演示由曲线y sinz,z [0, ]绕z轴旋转产生旋转曲面的过程. （该曲线绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为x2 y2 sin2z, 其参数方程为

x sinzcosu,y sinzsinu,z z,(z [0, ],u [0,2 ])） 12. 画出变上限函数 tsint2dt及其导函数的图形.

0x

13.迪卡尔曲线

3at3at2

x ,y (x3 y3 3axy 0) 22

1 t1 t

at2at3x32

,y (y ) 14.蔓叶线x 22

a x1 t1 t

15.摆线x a(t sint),y b(1 cost)

16.内摆线（星形线）x acost,y asint(x y a)

3

3

23

23

23

17.圆的渐伸线（渐开线)x a(cost tsint),y a(sint tcost)

18.空间螺线x acost,y bsint,z ct 19.阿基米德线r a ,r 0。 20.对数螺线r e

a

。

21.双纽线r2 a2cos2 ((x2 y2)2 a2(x2 y2)) 22.双纽线r2 a2sin2 ((x2 y2)2 2a2xy) 23.四叶玫瑰线r asin2 ,r 0 24.玫瑰线r asin3 ,r 0 25.三叶玫瑰线r acos3 ,r 0 26.作出以参数方程表示的空间曲线

x e 0.2tcos

2

t,y

2

e 0.2tsint,z t,t [0,20]

27.以绘制极坐标系下曲线 acos(b n )，并讨论参数a,b,n的影响。

28. (曲线族绘制) 三次抛物线的方程为y ax3 cx，试探讨参数a和c对其图形的影响。

29.做出下列函数的图像：

22

（1）y(x) xsin(x x 2)， 2 x 2（分别用plot、fplot）

2

2

（2）x/4 y/16 1（用参数方程）

(3) 在同一图形窗口中，画出四幅不同图形（用subplot命令）： 30.画出空间曲线z

10sinx2 y2

x y

2

2

在 30 x,y 30范围内的图形，并画出相应的等

高线。

31.根据给定的参数方程，绘制下列曲面的图形。

a) 椭球面x 3cosusinv,y 2cosucosv,z sinu

b) c) d) e) f) g) h)

实验二 一元函数微分学

1.分别画出坐标为(i,i2),(i2,4i2 i3),(i 1,2, ,10)的散点图, 并画出折线图. 2.画出前25个素数的散点图.

3. 设数列{xn}与{yn}由下式确定:

x1 1,y1 2, xn 1 xnyn

椭圆抛物面x 3usinv,y 2ucosv,z 4u

单叶双曲面x 3secusinv,y 2secucosv,z 4tanu

2

u2 v2

双曲抛物面x u,y v,z

3

旋转面x lnusinv,y lnucosv,z u 圆锥面x usinv,y ucosv,z u

环面x (3 0.4cosu)cosv,y (3 0.4cosu)sinv,z 0.4sinv 正螺面x usinv,y ucosv,z 4v

, yn 1

xn yn

(n 1,2, ) 2

观察{xn}与{yn}的极限是否存在.

4.讨论极限limcosnx

n

5. 在MATLAB中求下列极限（写出MATLAB命令和运行结果）

23xsinx) （3） lim3

x x 0x 3xn x

3x3 4x2 2( 1)n 4n2n3 1

（4）lim （5）lim3. (6)limn 1 n 13n 5n 1x n 3 47x 4

sinx xcosxlncotx2

lim(5) (7) lim (8) （9） limxlnx 2x 0x 0x 0xsinxlnx

(1) lim(n n n) （2）lim(1

(10)

11 sinx

limxx （11） lim(si co)x （12）lim x 0x x 0xxx

1

1 cosx

6.讨论下列函数在指定点的连续性：

x2 5x 6 ,x 1在x 1处的连续性； (1) 函数f(x) x 1 7x 1 1 x2 5x,x 0

(2) 函数g(x) sinx在x 0处的连续性；

x 0 x

7. 根据要求在MATLAB中求下列函数的导数

2

1 xdyf(x) arcsin ?2 axaaxf 1 ?1 xy a a x x ，(1) ，求dx (2) 求

2dy ?y lnx22x 1dyy xln(1 x)（3

）设，求 (4) ，求dx.

8.函数f(x) 1/x4在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件, 因此存在 (1,2)使

f ( ) f(f(2) f(1))/(2 1).

可以验证这个结论的正确性.

9.验证拉格朗日定理对函数y 4x3 5x2 x 2在区间[0,1]上的正确性.

10.证明:对函数y px2 qx r应用拉格朗日中值定理时, 所求得的点 总是位于区间[a,b]的正中间.

d2y

11.y xln(1 x)，求2

dx

2

x 1

?

12.设

x a(t sint)dy

，求

dxy a(1 cost)

g(x)

14

x 2x3 3x 36，求：

13． 已知多项式f(x) 6x 2x 5x 1，

532

（1）f(x)的根； (2) g(x)在闭区间[-1,2]上的最小值；

f(x)

（3）f(x) g(x)，f(x) g(x)和g(x)； （4）f(x)的导数。

14. 已知函数

16254x 2x5 x 60x3 150x2 180x 25, 22 在区间[ 6,6]上画出函数f(x),f(x),f(x)的图形, 并找出所有的驻点和拐点.

f(x)

15.求函数y 2sin2(2x)

5 x

xcos2 的位于区间(0, )内的极值的近似值. 2 2

实验三 一元函数积分学

一元函数积分学 1．用MATLAB计算下列不定积分。 （1

）

dx （2） axsinxcos2xdx 2

x

2．用MATLAB求解下列各积分。 （1）

2 0

e2xcosxdx （2） e tsin2tdt

2 x20 x 1

（3）设f(x) ，求 f(x)dx。

x1 x 2

4．求由曲线x (y 5) 16绕x轴旋转所产生的旋转体的体积。 5．求下列曲线与所围成图形的面积：

22

122x与x2 y2 8（两部分都要计算）； （2

）r 与r cos2 2

2x232

6．计算半立方抛物线y (x 1)被抛物线y 截得的一段弧的长度。

33

（1）y

实验四 多元函数微积分

求多元函数的偏导数与全微分

z z 2z 2z

1.1设z sin(xy) cos(xy),求,,2,.

x y x x y

u u v v

1.2设x eu usinv,y eu ucosv,求,,,.

x y x y

2

微分学的几何应用

1.3 求出曲面z 2x2 y2在点(1,1)处的切平面、法线方程, 并画出图形. 1.4求曲面k(x,y) 在同一图形里.

4 1164

在点 ,, 处的切平面方程, 并把曲面和它的切平面作

x2 y2 1 4221

多元函数的极值

1.5求f(x,y) x3 y3 3x2 3y2 9x的极值.

1.6 求函数z x2 y2在条件x2 y2 x y 1 0下的极值. 实验2 多元函数积分学（基础实验）

计算重积分

2.1计算 xy2dxdy, 其中D为由x y 2,x y, y 2所围成的有界区域.

D

2.2计算 (x2 y2 z)dxdydz, 其中 由曲面z 2 x2 y2与z x2 y2围成.

重积分的应用

2.3 求由曲面f x,y 1 x y与g x,y 2 x2 y2所围成的空间区域 的体积. 2.4 在Oxz平面内有一个半径为2的圆, 它与z轴在原点O相切, 求它绕z轴旋转一周所得旋转体体积.

计算曲线积分

2.5求 f(x,y,z)ds, 其中f x,y,z 30x2 10y,积分路径为

L

L:x t,y t2,z 3t2,0 y 2.

(注意到,弧长微元ds xt2 yt2 zt2dt, 将曲线积分化为定积分)

2.6求 F.dr, 其中

L

F xy6i 3x(xy5 2)j,r(t) 2costi sintj,0 t 2 .

计算曲面积分

2.7计算曲面积分 (xy yz zx)dS, 其中 为锥面z x2 y2被柱面x2 y2 2x所截

得的有限部分.

222

(注意到,面积微元dS zx z2ydxdy, 投影曲线x y 2x的极坐标方程为

r 2cost,

2

t

2

,

将曲面积分化作二重积分,并采用极坐标计算重积分.)

2.8计算曲面积分

曲线拟合

3.1 为研究某一化学反应过程中温度x( C)对产品得率y(%)的影响, 测得数据如下:

x 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 y 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89

试求其拟合曲线.

3.2 给定平面上点的坐标如下表:

x0.10.20.30.40.50.60.70.80.9 y5.12345.30575.56875.93786.43377.09787.94939.025310.3627

xdydz ydzdx zdxdy, 其中 为球面x

3

3

3

2

y2 x2 a2的外侧.

试求其拟合曲线.

3.3已知lg(x)的[1，101]区间11个整数采样点的函数值如下表

试求lg(x)的5次拟合多相式p(x)，并分别绘制出lg(x)和p(x)在[1，101]区间的函数曲线

实验六 无穷级数及微分方程 （基础实验）

数项级数

1.1(1) 观察级数

n 1

1n2

的部分和序列的变化趋势.

1n

(2) 观察级数 的部分和序列的变化趋势.

n 1

10n

1.2 设an , 求

n!

a

n 1

n

.

求幂级数的收敛域 1.3 求

n 0

42n(x 3)n

的收敛域与和函数. n 1

3n

, 求 1.4 设an n!

a

n 1

n

.

1.5求下列级数的和：

I1

n 1

2n 12n

1

，I2 ，I3

2(2n 1)n 1

( 1)n 1

，I4 nn 1

n

n 1

100

2

求幂级数的收敛域 1.6 求

( 1)

n 1

n 1

xn

的收敛域与和函数. n

函数的幂级数展开

1.7将函数sinx展开为x的幂级数，分别展开至5次和20次。

x)m展开为x的幂级数，m为任意常数。展开至4次幂。

1

1.9将函数f(x) 2展开为(x 2)的幂级数。

x 5x 3

1.10将函数cosx展开成(x )的幂级数，取前10项。

3

1.11求函数f(x) x2在[ , ]上的傅立叶级数。

1.12求出函数f(x) x3 x2在区间[ , ]上的前11个傅立叶系数，即n＝5。

1.8将函数(1

1.13求arctanx的5阶泰勒展开式.

22

1.14 求e x 1 x 1 在x 1处的8阶泰勒展开, 并通过作图比较函数和它的近似多

x2xn

1.15 利用泰勒公式e 1 x Rn(x)近似计算ex. 若|x| 1,要求截断误差|Rn| 0.005,

2!n!

问n应取多大?

1.16 观察函数f(x) sinx各阶泰勒展开的图形. (1) 固定x0 0,观察阶数n的影响;

(2) 扩大显示区间范围, 以观察在偏离展开点x0时泰勒多项式对函数的逼近情况;

x

(3) 固定n 10,观察x0的影响.

求解微分方程

2.1求微分方程 y 2xy xe x的通解. 2.2求微分方程xy y ex 0在初始条件y

2

x 1

2e下的特解.

2.3求解微分方程y 2x ex, 并作出其积分曲线.

dx

x 2y et dt

2.4求微分方程组 dy在初始条件xt 0 1,yt 0 0下的特解.

x y 0 dt

2.5求出初值问题

22 y y sinx y cosx

y(0) 1,y(0) 0

的数值解, 并作出数值解的图形.

2.6洛伦兹(Lorenz)方程组是由三个一阶微分方程组成的方程组.这三个方程看似简单, 也没有包含复杂的函数, 但它的解却很有趣和耐人寻味. 试求解洛伦兹方程组

x (t) 16y(t) 16x(t)

y(t) x(t)z(t) 45x(t) y(t)

,

z(t) x(t)y(t) 4z(t) x(0) 12,y(0) 4,z(0) 0

并画出解曲线的图形.

实验七 矩阵运算与方程组求解

1

x12

1 计算范德蒙行列式x1

3x14x1

1x22x2

3x24x2

1x32x3

3x34x3

1x42x4

3x44x4

1x52 x5

3x54x5

3 7

2 设矩阵 A 11

2 5

726

9425 697 83790

4 0

3 , 求|A|,tr(A),A3. 7 6

32 1 3 2

3 设M 2 131 3 , 求矩阵M的秩.

705 1 8

32 1 3

4 已知矩阵M 2 131 的秩等于2, 求常数t的值.

70t 1 2 2 38

5 设A 212 212 ,求矩阵A的秩.

1314

6 求向量组 1 (1,2, 1,1), 3 (0, 4,5, 2), 2 (2,0,3,0)的秩. 7求向量组

1 (1, 1,2,4), 2 (0,3,1,2), 3 (3,0,7,14), 4 (1, 1,2,0), 5 (2,1,5,0)

的极大无关组, 并将其它向量用极大无关组线性表示.

x1 x2 2x3 x4 0,

3x x x 2x4 0,

8求解线性方程组 123

5x 7x 3x 0,234 2x1 3x2 5x3 x4 0.

9向量组 1 (1,1,2,3), 2 (1, 1,1,1), 3 (1,3,4,5), 4 (3,1,5,7)是否线性相关?

10求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式ax2 bx c,并画出其图形.

11求出通过平面上三点(0,0),(1,1),(-1,3)以及满足f ( 1) 20,f (1) 9的4次多项式f(x).

x1 x2 2x3 x4 1

2x1 x2 x3 2x4 3

12解方程组

x1 x3 x4 2 3x1 x2 3x4 5

ax1 x2 x3 1

13当a为何值时,方程组 x1 ax2 x3 1无解、有唯一解、有无穷多解?当方程组有

x x ax 1

23 1

解时,求通解.

实验八 矩阵的特征值与特征向量

102

1求矩阵A 12 1 .的特征值与特值向量.

130

2 12

2已知x (1,1, 1)是方阵A 5a3 的一个特征向量,求参数a,b及特征向量x所属的特

1b 2

征值.

411

3设矩阵A 222 ,求一可逆矩阵P,使P 1AP为对角矩阵.

222 200 100

4已知方阵A 2x2 与B 020 相似, 求x,y.

311 00y

2

5求一个正交变换,化二次型f 2x1x2 2x1x3 2x2x3 2x4为标准型.

6已知二次型

222

f(x1,x2,x3) x1 2x2 x3 2x1x2 4x1x3 2x2x3

(1)求标准形; (2)求正惯性指数; (3)判断二次型是否正定.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1jo4.html