网络函数

网络函数

重点：

1. 网络函数的的定义和极点、零点的概念； 2. 网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； 3. 网络函数的零点、极点与频率响应的关系 难点：

1. 零点、极点与冲激响应的关系 2. 零点、极点与频率响应的关系 本章与其它章节的联系：

本章以第13章为基础，是叠加定理（第4章）的一种表现。冲激响应可参见第6章和第7章。频率响应可参见第9章。

预备知识： 积分变换 卷积积分

§14.1 网络函数的定义

1. 网络函数的定义

电路在单一的独立激励下，其零状态响应 r(t) 的象函数 R(s)与激励e(t)的象函数E(s)之比定义为该电路的网络函数H(s)，即：

2 ．网络函数的类型 设图 14.1 中，根据激励

为激励电压、为激励电流；为响应电压、为响应电流。

可以是独立的电压源或独立的电流源，响应 可以是电路中任意两点之间

的电压或任意一支路的电流，故网络函数可以有以下几种类型：

图 14.1

驱动点阻抗： 转移阻抗： 电流转移函数： 注意：

； 驱动点导纳： ； 转移导纳：

； 电压转移函数：

； ；

。

1）根据网络函数的定义，若 E(s)=1 ，即e(t)=δ(t)，则 R(s)=H(s) ，即网络函数就是该响应的象函数。所以，网络函数的原函数 h(t) 为电路的单位冲激响应，因此如果已知电路某一处的单位冲激响应 h(t) ，就可通过拉氏变换得到该响应的网络函数。

2）网络函数仅与网络的结构和电路参数有关，与激励的函数形式无关，因此如果已知某一响应的网络函数 H(s)，它在某一激励 E(s) 下的响应 R(s) 就可表示为 R(s)=H(s)E(s) 例14－1 图示电路中，已知

时，

。求

时，

例 14-1 图

解： 网络函数 =

当 时，

所以

例14－2 图示 电路激励 i(t)= d(t) ，求冲击响应 h(t) ，即电容电压 uC(t) 。

例 14-2 图（a）

解： 电路的运算图如图（b）所示，有：

例 14-2 图（b）

注意：H(s) 仅取决于网络的参数与结构，与输入E(s)无关，因此网络函数反映了网络中响应的基本特性。

例14－3 图(a)所示电路激励为

，响应为

求阶跃响应

。

例 14-2 图（a）

解： 电路的运算图如图（b）所示，有：

例 14-2 图(b)

§14.2 网络函数的极点和零点

网络函数的 H(s) 的分母和分子都是 s 的多项式，故一般形式为

其中，H0是一个常数，zi(i=1,2,?,m )是N(s)=0 的根，pj(j =1,2,?, n)是D(s)=0 的根。

当s =zi时，H(s)=0，故zi(i =1,2,?, m )称为网络函数的零点；

当s =pj时，H(s)=∞，故 pj( j=1,2,?, n )称为网络函数的极点。

在复平面（也称为 s 平面）中， H(s) 的零点用 “ ○ ”表示，极点用“ × ”表示，构成网络函数的零、极点分布图如图 14.2 所示。

图 14.2

例14－4 已知网络函数

解：

即

的零点为：

， 绘出其极零点图。

即 的极点为：

零极点图如例 14-4 图所示。

例 14-4 图

§14.3 零点、极点与冲激响应

H(s) 和 E(s) 一般为有理分式，因此可写为

式中，，而、的根将包含

、、和

都是 s 的多项式。

的根。

用部分分式法求响应的原函数时，

令分母D(s)=0，解出根pi,( i=1,?, n )，

同时，令分母Q(s)=0，解出根 pj,(j=1,?, m ) 。那么，

则响应的时域形式为：

+

其中响应含

中包含的根，属于自由分量或瞬态分量；响应中包

的根（即网络函数的极点），属于强制分量。因此，自由分量是由网络函数决定的，

强制分量是由强制电源决定的。

可见，D(s)=0 的根对决定R(s)的变化规律起决定性的作用。由于单位冲激响应h(t) 的特性就是时域响应中自由分量的特性，所以分析网络函数的极点与冲激响应的关系就可预见时域响应的特点。若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络的冲激响应为：

上式说明： 1)若

的极点

都位于负实轴上，为负实根时，

为衰减指数函数，则将随t 的增大而衰减，称这种电路是稳定的；若有一个极点则

将随t 的增长而增长；而且

为共轭复数时，由于

为正实根时，为增长的指数函数，

越大，衰减或增长的速度越快，称这种电路是不稳定的。

是以指数曲线为包络线的正弦函数，其实部的正

2)当极点

或负确定增长或衰减的正弦项。 3)当

为虚根时，则将是纯正弦项。

图14.3画出了网络函数的极点分别为负实数、正实数、虚数以及共轭复数时，对应的时域响应的波形。 注意：

仅由

网络的结构及元件值确定，因而将称为该网络变量的自然频率或固有频率。 例 14-5

图 14.3

例14－5 已知网络函数有两个极点分别在 s=0 和 s=-1 处，一个单零点在 s=1 处，且有

，求 H(s) 和 h(t）。

解： 由已知的零、极点可知：

所以

由于

解得： k =-10

，

所以

§14.4 零点、极点与频率响应

令网络函数 H(s) 中复频率 s 等于 jω ，分析 H(jω) 随 ω 变化的情况，就可预见相应的网络函数在正弦稳态情况下随 ω 变化的特性。 对于某个固定的，H(jω)通常为一个复数，可表示为 式中，

/

为网络函数在频率 ω 处的模值，

随频率 ω 变化的关系为幅度

频率响应，简称幅频特性；频特性。由于：

随频率 ω 变化的关系为相位频率响应，简称相

所以幅频特性为：

相频特性为：

若已知网络函数的极点和零点，则按上式便可计算对应的频率响应，同时还可通过s 平面上零极点位置定性描绘出频率响应。

例14－6 定性分析图（a）所示 RC 串联电路以电压 uC 为输出时电路的频率响应。

例 14-6 图（a）

解： 网络函数 ，

极点为

令 s→jω，则 或写为：

H(s)的极点分布见图(b)所示。由图(b)可得图(c)所示的幅频特性和(d)所示的相频特性

(a) (b) (c)

§14.5 卷 积

1．拉氏变换的卷积定理 1）卷积积分

2）卷积定理 若 则

2. 应用卷积定理求电路响应

设 E(s) 表示外施激励，H(s) 表示网络函数，响应 R(s) 为 R(s)= H(s)? E(s)

求 R(s) 的拉氏反变换，得到网络零状态响应的时域形式

这里 e(t) 是外施激励的时域形式， h(t) 是网络的冲激响应。 例14－7 已知图示电路

，冲击响应

。

例 14-7 图

解法 1：

K1 =3 , K2 =-3

所以

解法 2 ：

-t

例14－8 图示电路中，R =500kΩ，C=1μF ，电流源电流 is(t)=2eμA。设电容上原无电压。求 uc(t) 。

例 14-8 图

解： 电路的冲激响应为

则电容电压为：

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