同济大学第六版高等数学上册课后答案全集word版本

高等数学第六版上册课后习题答案

高等数学第六版上册课后习题答案

第一章

习题1?1

1? 设A?(??? ?5)?(5? ??)? B?[?10? 3)? 写出A?B? A?B? A\\B及A\\(A\\B)的表达式?

解 A?B?(??? 3)?(5? ??)?

A?B?[?10? ?5)?

A\\B?(??? ?10)?(5? ??)? A\\(A\\B)?[?10? ?5)?

2? 设A、B是任意两个集合? 证明对偶律? (A?B)C?AC ?BC ? 证明 因为

x?(A?B)C?x?A?B? x?A或x?B? x?AC或x?BC ? x?AC ?BC? 所以 (A?B)C?AC ?BC ?

3? 设映射f ? X ?Y? A?X? B?X ? 证明 (1)f(A?B)?f(A)?f(B)?

(2)f(A?B)?f(A)?f(B)? 证明 因为

y?f(A?B)??x?A?B? 使f(x)?y

?(因为x?A或x?B) y?f(A)或y?f(B)

? y?f(A)?f(B)? 所以 f(A?B)?f(A)?f(B)? (2)因为

y?f(A?B)??x?A?B? 使f(x)?y?(因为x?A且x?B) y?f(A)且y?f(B)? y? f(A)?f(B)?

所以 f(A?B)?f(A)?f(B)?

4? 设映射f ? X?Y? 若存在一个映射g? Y?X? 使g?f?IX? f?g?IY? 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射? 即对于每一个x?X? 有IX x?x? 对于每一个y?Y? 有IY y?y? 证明? f是双射? 且g是f的逆映射? g?f ?1?

证明 因为对于任意的y?Y? 有x?g(y)?X? 且f(x)?f[g(y)]?Iy y?y? 即Y中任意元

高等数学第六版上册课后习题答案

高等数学第六版上册课后习题答案

素都是X中某元素的像? 所以f为X到Y的满射?

又因为对于任意的x1?x2? 必有f(x1)?f(x2)? 否则若f(x1)?f(x2)?g[ f(x1)]?g[f(x2)] ? x1?x2?

因此f既是单射? 又是满射? 即f是双射?

对于映射g? Y?X? 因为对每个y?Y? 有g(y)?x?X? 且满足f(x)?f[g(y)]?Iy y?y? 按逆映射的定义? g是f的逆映射? 5? 设映射f ? X?Y? A?X ? 证明? (1)f ?1(f(A))?A?

(2)当f是单射时? 有f ?1(f(A))?A ?

证明 (1)因为x?A ? f(x)?y?f(A) ? f ?1(y)?x?f ?1(f(A))? 所以 f ?1(f(A))?A?

(2)由(1)知f ?1(f(A))?A?

另一方面? 对于任意的x?f ?1(f(A))?存在y?f(A)? 使f ?1(y)?x?f(x)?y ? 因为y?f(A)且f是单射? 所以x?A? 这就证明了f ?1(f(A))?A? 因此f ?1(f(A))?A ? 6? 求下列函数的自然定义域? (1)y?3x?2?

解 由3x?2?0得x??2? 函数的定义域为[?2, ??)?

33 (2)y?12?

1?x 解 由1?x2?0得x??1? 函数的定义域为(??? ?1)?(?1? 1)?(1? ??)? (3)y?1?1?x2?

x 解 由x?0且1?x2?0得函数的定义域D?[?1? 0)?(0? 1]? (4)y?1? 4?x2 解 由4?x2?0得 |x|?2? 函数的定义域为(?2? 2)? (5)y?sinx?

解 由x?0得函数的定义D?[0? ??)? (6) y?tan(x?1)?

解 由x?1??(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数的定义域为x?k????1 (k?0? ?1? ?2? ? ?

22高等数学第六版上册课后习题答案

高等数学第六版上册课后习题答案

?)?

(7) y?arcsin(x?3)?

解 由|x?3|?1得函数的定义域D?[2? 4]? (8)y?3?x?arctan1?

x 解 由3?x?0且x?0得函数的定义域D?(??? 0)?(0? 3)? (9) y?ln(x?1)?

解 由x?1?0得函数的定义域D?(?1? ??)? (10)

1y?ex?

解 由x?0得函数的定义域D?(??? 0)?(0? ??)?

7? 下列各题中? 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)?lg x2? g(x)?2lg x? (2) f(x)?x? g(x)?x2?

(3)f(x)?3x4?x3?g(x)?x3x?1?

(4)f(x)?1? g(x)?sec2x?tan2x ? 解 (1)不同? 因为定义域不同?

(2)不同? 因为对应法则不同? x?0时? g(x)??x? (3)相同? 因为定义域、对应法则均相相同? (4)不同? 因为定义域不同?

?|sinx| |x|???3? 求?(?)? ?(?)? ?(??)? ?(?2)? 并作出函数y??(x) 8? 设?(x)??464 |x|???0 3?的图形?

解 ?(?)?|sin?|?1? ?(?)?|sin?|?2? ?(??)?|sin(??)|?2? ?(?2)?0? 442442662 9? 试证下列函数在指定区间内的单调性? (1)y?x? (??? 1)?

1?x (2)y?x?ln x? (0? ??)?

证明 (1)对于任意的x1? x2?(??? 1)? 有1?x1?0? 1?x2?0? 因为当x1?x2时?

高等数学第六版上册课后习题答案

高等数学第六版上册课后习题答案

y1?y2?x1xx1?x2?2??0? 1?x11?x2(1?x1)(1?x2)所以函数y?x在区间(??? 1)内是单调增加的?

1?x (2)对于任意的x1? x2?(0? ??)? 当x1?x2时? 有

x y1?y2?(x1?lnx1)?(x2?lnx2)?(x1?x2)?ln1?0?

x2所以函数y?x?ln x在区间(0? ??)内是单调增加的?

10? 设 f(x)为定义在(?l? l)内的奇函数? 若f(x)在(0? l)内单调增加? 证明f(x)在(?l? 0)内也单调增加?

证明 对于?x1? x2?(?l? 0)且x1?x2? 有?x1? ?x2?(0? l)且?x1??x2? 因为f(x)在(0? l)内单调增加且为奇函数? 所以

f(?x2)?f(?x1)? ?f(x2)??f(x1)? f(x2)?f(x1)?

这就证明了对于?x1? x2?(?l? 0)? 有f(x1)? f(x2)? 所以f(x)在(?l? 0)内也单调增加? 11? 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(?l? l)上的? 证明? (1)两个偶函数的和是偶函数? 两个奇函数的和是奇函数?

(2)两个偶函数的乘积是偶函数? 两个奇函数的乘积是偶函数? 偶函数与奇函数的乘积是奇函数?

证明 (1)设F(x)?f(x)?g(x)? 如果f(x)和g(x)都是偶函数? 则 F(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?F(x)?

所以F(x)为偶函数? 即两个偶函数的和是偶函数? 如果f(x)和g(x)都是奇函数? 则

F(?x)?f(?x)?g(?x)??f(x)?g(x)??F(x)? 所以F(x)为奇函数? 即两个奇函数的和是奇函数?

(2)设F(x)?f(x)?g(x)? 如果f(x)和g(x)都是偶函数? 则 F(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?F(x)?

所以F(x)为偶函数? 即两个偶函数的积是偶函数? 如果f(x)和g(x)都是奇函数? 则

F(?x)?f(?x)?g(?x)?[?f(x)][?g(x)]?f(x)?g(x)?F(x)? 所以F(x)为偶函数? 即两个奇函数的积是偶函数? 如果f(x)是偶函数? 而g(x)是奇函数? 则

F(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)[?g(x)]??f(x)?g(x)??F(x)?

高等数学第六版上册课后习题答案

高等数学第六版上册课后习题答案

所以F(x)为奇函数? 即偶函数与奇函数的积是奇函数?

12? 下列函数中哪些是偶函数? 哪些是奇函数? 哪些既非奇函数又非偶函数？

(1)y?x2(1?x2)? (2)y?3x2?x3?

21?x (3)y??

1?x2 (4)y?x(x?1)(x?1)? (5)y?sin x?cos x?1?

x?x (6)y?a?a?

2 解 (1)因为f(?x)?(?x)2[1?(?x)2]?x2(1?x2)?f(x)? 所以f(x)是偶函数? (2)由f(?x)?3(?x)2?(?x)3?3x2?x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数?

1?(?x)21?x2 (3)因为f(?x)???f(x)? 所以f(x)是偶函数? 221?x1???x? (4)因为f(?x)?(?x)(?x?1)(?x?1)??x(x?1)(x?1)??f(x)? 所以f(x)是奇函数?

(5)由f(?x)?sin(?x)?cos(?x)?1??sin x?cos x?1可见f(x)既非奇函数又非偶函数?

(?x)?(?x)?xxa?aa?a??f(x)? 所以f(x)是偶函数? (6)因为f(?x)?22 13? 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数? 指出其周期? (1)y?cos(x?2)?

解 是周期函数? 周期为l?2?? (2)y?cos 4x?

解 是周期函数? 周期为l???

2 (3)y?1?sin ?x?

解 是周期函数? 周期为l?2? (4)y?xcos x?

解 不是周期函数?

(5)y?sin2x?

解 是周期函数? 周期为l??? 14? 求下列函数的反函数?

(1)y?3x?1错误！未指定书签。错误！未指定书签。?

高等数学第六版上册课后习题答案

高等数学第六版上册课后习题答案

解 由y?3x?1得x?y3?1? 所以y?3x?1的反函数为y?x3?1? (2)y?1?x错误！未指定书签。?

1?x1?y 解 由y?1?x得x?? 所以y?1?x的反函数为y?1?x?

1?y1?x1?x1?x (3)y?ax?b(ad?bc?0)?

cx?d?dy?b 解 由y?ax?b得x?? 所以y?ax?b的反函数为y??dx?b?

cy?acx?dcx?dcx?a (4) y?2sin3x?

y 解 由y?2sin 3x得x?1arcsin? 所以y?2sin3x的反函数为y?1arcsinx?

3232 (5) y?1?ln(x?2)?

解 由y?1?ln(x?2)得x?ey?1?2? 所以y?1?ln(x?2)的反函数为y?ex?1?2?

2xy? (6)? 2x?1xxy22 解 由y?x得x?log2? 所以y?x的反函数为y?log2x?

1?y2?12?11?x 15? 设函数f(x)在数集X上有定义? 试证? 函数f(x)在X上有界的充分必要条

件是它在X上既有上界又有下界?

证明 先证必要性? 设函数f(x)在X上有界? 则存在正数M? 使|f(x)|?M? 即?M?f(x)?M? 这就证明了f(x)在X上有下界?M和上界M?

再证充分性? 设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2? 即K1?f(x)? K2 ? 取M?max{|K1|? |K2|}? 则 ?M? K1?f(x)? K2?M ? 即 |f(x)|?M?

这就证明了f(x)在X上有界?

16? 在下列各题中? 求由所给函数复合而成的函数? 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值? (1) y?u2? u?sin x? x1??? x2???

63 解 y?sin2x? y1?sin2??(1)2?1?y2?sin2??(3)2?3?

324624高等数学第六版上册课后习题答案

高等数学第六版上册课后习题答案

(2) y?sin u? u?2x? x1???x2???

84 解 y?sin2x? y1?sin(2??)?sin??2?y2?sin(2??)?sin??1? 84242 (3)y?u? u?1?x2? x1?1? x2? 2?

解 y?1?x2? y1?1?12?2? y2?1?22?5? (4) y?eu? u?x2? x1 ?0? x2?1?

解 y?ex? y1?e0?1? y2?e1?e?

(5) y?u2 ? u?ex ? x1?1? x2??1?

解 y?e2x? y1?e2?1?e2? y2?e2?(?1)?e?2?

17? 设f(x)的定义域D?[0? 1]? 求下列各函数的定义域? (1) f(x2)?

解 由0?x2?1得|x|?1? 所以函数f(x2)的定义域为[?1? 1]? (2) f(sinx)?

解 由0?sin x?1得2n??x?(2n?1)? (n?0? ?1? ?2? ? ?)? 所以函数f(sin x)的定义域为

[2n?? (2n?1)?] (n?0? ?1? ?2? ? ?) ? (3) f(x?a)(a>0)?

解 由0?x?a?1得?a?x?1?a? 所以函数f(x?a)的定义域为[?a? 1?a]? (4) f(x?a)?f(x?a)(a?0)?

解 由0?x?a?1且0?x?a?1得? 当0?a?1时? a?x?1?a? 当a?1时? 无解? 因此

22当0?a?1时函数的定义域为[a? 1?a]? 当a?1时函数无意义?

22|x|?1?1 ?|x|?1? g(x)?ex 错误！未指定书签。? 求f[g(x)]和g[f(x)]? 并 18? 设f(x)??0 ?|x|?1??1 222作出这两个函数的图形?

?1 |ex|?1?1 x?0??x解 f[g(x)]??0 |e|?1? 即f[g(x)]??0 x?0?

x???1 |e|?1??1 x?0?高等数学第六版上册课后习题答案

高等数学第六版上册课后习题答案

?e1 |x|?1?e |x|?1??f(x)0|x|?1? g[f(x)]?e??e |x|?1? 即g[f(x)]??1 ?1??e?1 e |x|?1|x|?1?? 19? 已知水渠的横断面为等腰梯形? 斜角??40?(图1?37)? 当过水断面ABCD

的面积为定值S0时? 求湿周L(L?AB?BC?CD)与水深h之间的函数关系式? 并指明其定义域? 图1?37

解 AB?DC?h?? 又从

sin401h[BC?(BC?2cot40??h)]?S得

02S?BC?0?cot40?h? 所以

hS02?cos40?L???h? hsin40 自变量h的取值范围应由不等式组

S?h?0? 0?cot40?h?0

h确定? 定义域为0?h?S0cot40?

20? 收敛音机每台售价为90元? 成本为60元? 厂方为鼓励销售商大量采购? 决定凡是订购量超过100台以上的? 每多订购1台? 售价就降低1分? 但最低价为每台75元?

(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数? (2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数? (3)某一商行订购了1000台? 厂方可获利润多少？ 解 (1)当0?x?100时? p?90?

令0?01(x0?100)?90?75? 得x0?1600? 因此当x?1600时? p?75? 当100?x?1600时?

p?90?(x?100)?0?01?91?0? 01x? 综合上述结果得到

0?x?100?90 ?100?x?1600? p??91?0.01x ?75 x?1600??高等数学第六版上册课后习题答案

高等数学第六版上册课后习题答案

30x 0?x?100??100?x?1600? (2)P?(p?60)x??31x?0.01x2 ?15x x?1600? (3) P?31?1000?0?01?10002?21000(元)?

习题1?2

1? 观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势? 写出它们的极限? (1)xn?1?

2n1?0? 解 当n??时? xn?1?0? limn??2n2n (2)xn?(?1)n1?

n 解 当n??时? xn?(?1)n1?0? lim(?1)n1?0?

n??nn (3)xn?2?1?

n21)?2? 解 当n??时? xn?2?1?2? lim(2?n??n2n2 (4)xn?n?1?

n?1 解 当n??时? xn?n?1?1?2?0? limn?1?1?

n??n?1n?1n?1 (5) xn?n(?1)n?

解 当n??时? xn?n(?1)n没有极限?

cosn?2? 问limx?? 求出N? 使当n?N时? x与其 2? 设数列{xn}的一般项xn?n

n??nn极限之差的绝对值小于正数? ? 当? ?0?001时? 求出数N?

高等数学第六版上册课后习题答案

高等数学第六版上册课后习题答案

解 limxn?0?

n??n?||cos2?1? ?? ?0? 要使|x?0|?? ? 只要1??? 也就是n?1? 取 |xn?0|? nnnn?N?[1]?

?则?n?N? 有|xn?0|?? ?

当? ?0?001时? N?[1]?1000?

? 3? 根据数列极限的定义证明?

(1)lim1?0?

n??n21??? 只须n2?1? 即n?1? 分析 要使|1?0|??n2n2?11?0? 证明 因为???0? ?N?[]? 当n?N时? 有|1? 所以?0|??limn??n2n2? (2)lim3n?1?3?

n??2n?123n?1?3|?1?1?? 分析 要使|? 只须1??? 即n?1?

2n?122(2n?1)4n4?4n 证明 因为???0? ?N?[1]? 当n?N时? 有|3n?1?3|??? 所以lim3n?1?3?

n??2n?122n?124?22 (3)limn?a?1?

n??n2222222an?an?a?naa 分析 要使|?1|?????? 只须n??

22?nnn(n?a?n)n2aN?[]22? 当?n?N时? 有|n?a?1|??? 所以?n证明 因为???0? ?

22n?alim?1? n??n (4)lim0.?999 ? ? ? 9?1? ????n??n个高等数学第六版上册课后习题答案

高等数学第六版上册课后习题答案

2a 令x?0? 并注意x0y0?a? 解得y??y0?2y0? 为切线在y轴上的距? x02

此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 S?1|2x0||2y0|?2|x0y0|?2a2?

2

习题 2?2

1? 推导余切函数及余割函数的导数公式? (cot x)???csc2x ? (csc x)???csc xcot x ?

cosx?cosx 解 (cotx)??(cosx)???sinx?sinx?sinxsin2x22sinx?cosx??1??csc2x? ??22sinxsinxs??csc (csxc)??(1)???co2xx?coxt?

sinxsinx 2? 求下列函数的导数? 7?2?12? (1)y?4?x5x4x (2) y?5x3?2x?3ex ? (3) y?2tan x?sec x?1? (4) y?sin x?cos x ? (5) y?x2ln x ? (6) y?3excos x ? (7)y?lnx?

xxe (8)y?2?ln3?

x (9) y?x2ln x cos x ?

(10)s?1?sint?

1?cost7?2?12)??(4x?5?7x?4?2x?1?12)? 解 (1)y??(4?x5x4x28?2? ??20x?6?28x?5?2x?2??20?x6x5x2高等数学第六版上册课后习题答案

高等数学第六版上册课后习题答案

(2) y??(5x3?2x?3ex)??15x2?2x ln2?3ex?

(3) y??(2tan x ?sec x?1)??2sec2x?sec x?tan x?sec x(2sec x?tan x)? (4) y??(sin x?cos x)??(sin x)??cos x?sin x?(cos x)? ?cos x?cos x?sin x?(?sin x)?cos 2x? (5) y??(x2ln x)??2x?ln x?x2?1?x(2ln x?1) ?

x (6) y??(3excos x)??3ex?cos x?3ex?(?sin x)?3ex(cos x?sin x)?

1?x?lnxx? ?1?ln (7)y??(lnx)??x22xxxxx2xex(x?2)ee?x?e?2x? (8)y??(2?ln3)??? 43xxx (9) y??(x2ln x cos x)??2x?ln x cos x?x2?1?cos x?x2 ln x?(?sin x)

x 2x ln x cos x?x cos x?x2 ln x sin x ? (10)s??(1?sint)??1?cost

3? 求下列函数在给定点处的导数? (1) y?sin x?cos x ? 求y?x??6cost(1?cost)?(1?sint)(?sint)1?sint?cost?? 22(1?cost)(1?cost)和y?x??4?

d? (2)???sin??1cos??求

d?2????

43?x2 (3)f(x)?? 求f ?(0)和f ?(2) ?

5?x5 解 (1)y??cos x?sin x?

y?x????3?1?3?1? ?co?s?sin662226 y? (2)

x????2?2?2? ?co?s?sin44224d??sin???cos??1sin??1sin???cos?? d?22高等数学第六版上册课后习题答案

高等数学第六版上册课后习题答案

d?d???????co??1sins?1?2???2?2(1??)? 24442242424 (3)f?(x)?3?2x? ?3? f?(2)?17? f(0)?(5?x)252515 4? 以初速v0竖直上抛的物体? 其上升高度s与时间t的关系是s?v0t?1gt2?

2求?

(1)该物体的速度v(t)? (2)该物体达到最高点的时刻? 解 (1)v(t)?s?(t)?v0?gt? (2)令v(t)?0? 即v0?gt?0? 得t?v0? 这就是物体达到最高点的时刻? g 5? 求曲线y?2sin x?x2上横坐标为x?0的点处的切线方程和法线方程? 解 因为y??2cos x?2x? y?|x?0?2? 又当x?0时? y?0? 所以所求的切线方程为 y?2x? 所求的法线方程为

y??1x? 即x?2y?0?

2 6? 求下列函数的导数? (1) y?(2x?5)4 (2) y?cos(4?3x)? (3)y?e?3x? (4) y?ln(1?x2)? (5) y?sin2x ? (6)y?a2?x2? (7) y?tan(x2)? (8) y?arctan(ex)? (9) y?(arcsin x)2? (10) y?lncos x?

解 (1) y??4(2x?5)4?1?(2x?5)??4(2x?5)3?2?8(2x?5)3?

2高等数学第六版上册课后习题答案

高等数学第六版上册课后习题答案

(2) y???sin(4?3x)?(4?3x)???sin(4?3x)?(?3)?3sin(4?3x)? (3)y??e?3x?(?3x2)??e?3x?(?6x)??6xe?3x? (4)y??12?(1?x2)??12?2x?2x2?

1?x1?x1?x (5) y??2sin x?(sin x)??2sin x?cos x?sin 2x ? (6)y??[(a211?122?1222?x)]?(a?x)?(a2?x2)?

2222?1x22 ?(a?x)2?(?2x)???

222a?x1 (7) y??sec2(x2)?(x2)??2xsec2(x2)?

x1ex?(e)?? (8)y???

1?(ex)21?e2x (9) y??2arcsinx?(arcsinx)??2arcsinx?

1?x2 (10)y??1?(cosx)??1(?sinx)??tanx?

cosxcosx 7? 求下列函数的导数? (1) y?arcsin(1?2x)? (2)y?1? 1?x2 (3)

?xy?e2cos3x?

(4)y?arccos1?

x (5)y?1?lnx?

1?lnx (6)y?sin2x?

x (7)y?arcsinx?

高等数学第六版上册课后习题答案

高等数学第六版上册课后习题答案

(8)y?ln(x?a2?x2)? (9) y?ln(sec x?tan x)? (10) y?ln(csc x?cot x)? 解 (1)y??1?2? ?(1?2x)????12221?(1?2x)1?(1?2x)x?x2?1?1?11?222)]??(1?x)?(1?x2)?

(2)y??[(1?x2?1x ??(1?x2)2?(?2x)??

222(1?x)1?x3 (3)

?x?x?x22y??(e)?cos3x?e(cos3x)??e2(?x)?cos3x?e?2(?sin3x)(3x)?

2xx???sx?3e2sin3x??1e2(co3sx?6sin3x)? ??1e2co322xx|x|1? (1)???(?1)?222xxxx?11?(1)21?(1)2xx?1(1?lnx)?(1?lnx)12x?? (5)y??x? 22(1?lnx)x(1?lnx) (4)y???1?sin2x? (6)y??cos2x?2?x2?sin2x?1?2xcos2xxx2 (7)y??111? ?(x)???1?222x2x?x21?(x)1?(x)111?(x?a2?x2)???[1?(a2?x2)?] x?a2?x2x?a2?x22a2?x2111?[1?(2x)]??

222222x?a?x2a?xa?x (8)y?? ?21secxtanx?secx?secx?(secx?tanx)?? (9) y??? secx?tanxsecx?tanx高等数学第六版上册课后习题答案

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1jfh.html