【创新方案】(浙江专版)高考数学一轮复习 第四章 第二节 平面向量基本定理及坐标表示突破热点题型 文

第二节 平面向量基本定理及坐标表示

[例1] 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.

[自主解答] 选择AB ，AD 作为平面向量的一组基底，则AC ＝AB ＋AD ，AE ＝ 12AB ＋AD ，AF ＝AB ＋12

AD ， 又AC ＝λAE ＋μAF ＝? ????12λ＋μAB ＋? ????λ＋12μAD ， 于是得????? 12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，即????? λ＝23，μ＝23.故λ＋μ＝43

. [答案] 43

【互动探究】 在本例条件下，若AE ＝c ，AF ＝d ，试用c ，d 表示AB ，AD .

解：设AB ＝a ，AD ＝b ，因为E ，F 分别为CD 和BC 的中点，所以BF ＝12b ，DE ＝12

a ，于是有： ????? c ＝

b ＋12a ，d ＝a ＋12b ，解得????? a ＝23d －

c ，b ＝23c －d

即AB ＝23(2d －c )＝43d －23

c ，

AD ＝23(2c －d )＝43c －23

d . 【方法规律】

应用平面向量基本定理表示向量的实质

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．

如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM ＝λAB ＋μBC ，则λ＋μ＝________.

解析：因为AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1，BH ＝13

BC .因为点M 为AH 的中点，所以AM ＝12AH ＝12(AB ＋BH )＝121()3

AB BC +＝12AB ＋16BC ，即λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23

. 答案：23

[例2] 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM ＝3c ，CN ＝－2b .求：

(1)3a ＋b －3c ； (2)满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；

(3)M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．

[自主解答] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．

(1)3a ＋b －3c

＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)

＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，

∴????? －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得?????

m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM ＝OM －OC ＝3c ，

∴OM ＝3c ＋OC ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，

∴M 的坐标为(0,20)．

又CN ＝ON －OC ＝－2b ，

∴ON ＝－2b ＋OC ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，

∴N 的坐标为(9,2)．

故MN ＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．

【方法规律】

平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．

已知平行四边形的三个顶点分别是A (4,2)，B (5,7)，C (－3，4)，求第四个顶点D 的坐标．

解：设顶点D (x ，y )．若平行四边形为ABCD .

则由AB ＝(1,5)，DC ＝ (－3－x,4－y )，

得????? －3－x ＝1，4－y ＝5，所以????? x ＝－4，y ＝－1； 若平行四边形为ACBD ，则由AC ＝(－7,2)，DB ＝(5－x ，7－y )，得????? 5－x ＝－7，7－y ＝2，

所以????? x ＝12，y ＝5；

若平行四边形为ABDC ，则由AB ＝(1,5)，CD ＝(x ＋3，y －4)，

得????

? x ＋3＝1，y －4＝5，所以????

? x ＝－2，y ＝9.

1．平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．

2．高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下几个命题角度：

(1)利用两向量共线求参数；

(2)利用两向量共线的条件求向量坐标；

(3)三点共线问题．

[例3] (1)(2013·陕西高考)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )

A ．－ 2 B. 2

C ．－2或 2

D ．0

(2)(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．

(3)(2014·东营模拟)若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b

的值等于________．

[自主解答] (1)因为a ∥b ，所以m 2＝2，解得m ＝－2或m ＝ 2.

(2)∵a 与b 方向相反，∴可设a ＝λb (λ<0)，∴a ＝λ(2，1)＝(2λ，λ)．由|a |＝5λ2

＝25，解得λ＝－2，或λ＝2(舍)，

故a ＝(－4，－2)． (3) AB ＝(a －2，－2)，AC ＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12

. [答案] (1)C (2)(－4，－2) (3)12

平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略

(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．

(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．

(3)三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB 与AC 共线．

1．(2013·辽宁高考)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为

( )

A.? ????35，－45

B.? ????45，－35

C.? ????－35，45

D.? ??

??－45，35 解析：选A ∵A (1,3)，B (4，－1)，

∴AB ＝(3，－4)，又∵| AB |＝5，

∴与AB 同向的单位向量为AB

AB ＝? ????35

，－45. 2．已知向量a ＝(m ，－1)，b ＝(－1，－2)，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 解析：由题意知a ＋b ＝(m －1，－3)，c ＝(－1,2)，

由(a ＋b )∥c ，得(－3)×(－1)－(m －1)×2＝0，

即2(m －1)＝3，故m ＝52

. 答案：52

3．已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．

解析：法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP ＝λOB ＝(4λ，4λ)，则AP ＝OP －OA ＝(4λ－4,4λ)．

又AC ＝OC －OA ＝(－2,6)，由AP 与AC 共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，

解得λ＝34，所以OP ＝34

OB ＝(3,3)， 所以P 点的坐标为(3,3)．

法二：设点P (x ，y )，则OP ＝(x ，y )，因为OB ＝(4,4)，且OP 与OB 共线，所以x 4＝y

4，即x ＝y .

又AP ＝(x －4，y )，AC ＝(－2,6)，且AP 与AC 共线，

所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，

所以P 点的坐标为(3,3)．

答案：(3,3)

———————————[课堂归纳——

通法领

悟]———————————————— 个区别——向量坐标与点的坐标的区别 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA ＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA ＝(x ，y )．

种形式——向量共线的充要条件的两种形式

(1)a ∥b ?b ＝λa (a ≠0，λ∈R )；

(2)a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．

个注意点——解决平面向量共线问题应注意的问题

(1)注意0的方向是任意的；

(2)若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；

(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1jfe.html