《离散数学》试题及答案

一、填空题

1 设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; (B)＝ __________________________ .

2. 设有限集合A, |A| = n, 则 | (A×A)| = __________________________.

3. 设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.

4. 已知命题公式G＝ (P Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________.

6 设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A B＝_________________________; A B＝_________________________;A－B＝ _____________________ .

7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________.

8. 设命题公式G＝ (P (Q R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________.

9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则

R1 R2 = ________________________,R2 R1 =____________________________, R12 =________________________.

(A) -

10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| | (A B)| = _____________________________. 11 设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x R}, B = {x | 0≤x < 2, x R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , .

13. 设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________.

14. 设一阶逻辑公式G = xP(x) xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.

16. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式 xR(x)→ xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________. 17. 设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的二元关系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。则R S＝_____________________________________________________, R2＝______________________________________________________.

二、选择题

1 设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是( )。 (A){2} A (B){a} A (C) {{a}} B E (D){{a},1,3,4} B.

2 设集合A={1,2,3},A上的关系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}，则R不具备( ). (A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)反对称性

3 设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B的( )。

(A)下界 (B)上界 (C)最小上界 (D)以上答案都不对

4 下列语句中，( )是命题。

(A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人

(C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗？ 5 设I是如下一个解释：D＝{a,b},

P(a,a) P(a,b) P(b,a) P(b,b)

1 0 1 0

则在解释I下取真值为1的公式是( ).

(A) x yP(x,y) (B) x yP(x,y) (C) xP(x,x) (D) x yP(x,y).

6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( ). (A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).

7. 设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝ xP(x), H＝ xP(x),则一阶逻辑公式G H是( ). (A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束范式.

8 设命题公式G＝ (P Q)，H＝P (Q P)，则G与H的关系是( )。 (A)G H (B)H G (C)G＝H (D)以上都不是. 9 设A, B为集合，当( )时A－B＝B. (A)A＝B (B)A B (C)B A (D)A＝B＝ .

10 设集合A = {1,2,3,4}, A上的关系R＝{(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 则R具有( )。 (A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)以上答案都不对 11 下列关于集合的表示中正确的为( )。 (A){a} {a,b,c} (B){a} {a,b,c} (C) {a,b,c} (D){a,b} {a,b,c} 12 命题 xG(x)取真值1的充分必要条件是( ).

(A) 对任意x，G(x)都取真值1. (B)有一个x0，使G(x0)取真值1. (C)有某些x，使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不对.

13. 设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是( ). (A) 9条 (B) 5条 (C) 6条 (D) 11条. 0

1

15. 设图G的相邻矩阵为

1 1 1

1111

0100

，则G的顶点数与边数分别为( ).

1011

0101 0110

(A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8.

三、计算证明题

1.设集合A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R为整除关系。

(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；

(2) 写出A的子集B = {3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；

(3) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。

2. 设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的关系R＝{(x,y) | x, y A 且 x y}, 求

(1) 画出R的关系图； (2) 写出R的关系矩阵.

3. 设R是实数集合， , , 是R上的三个映射， (x) = x+3, (x) = 2x, (x) ＝ x/4,试求复合

映射 ， , , ， . 4. 设I是如下一个解释：D = {2, 3},

a 3

b 2

f (2) 3

f (3) 2

P(2, 2) 0

P(2, 3) 0

P(3, 2) 1

P(3, 3) 1

试求 (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));

(2) x y P (y, x).

5. 设集合A＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R为A上整除关系。

(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；

(2) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；

(3) 写出A的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界，下界，最小上界，最大下界. 6. 设命题公式G = (P→Q)∨(Q∧( P→R)), 求G的主析取范式。

7. (9分)设一阶逻辑公式：G = ( xP(x)∨ yQ(y))→ xR(x)，把G化成前束范式. 9. 设R是集合A = {a, b, c, d}. R是A上的二元关系, R = {(a,b), (b,a), (b,c), (c,d)},

(1) 求出r(R), s(R), t(R)； (2) 画出r(R), s(R), t(R)的关系图.

11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：

(1) G = (P∧Q)∨( P∧Q∧R)

(2) H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨( P∧R))

13. 设R和S是集合A＝{a, b, c, d}上的关系，其中R＝{(a, a),(a, c),(b, c),(c, d)},

S＝{(a, b),(b, c),(b, d),(d, d)}. (1) 试写出R和S的关系矩阵； (2) 计算R S, R∪S, R1, S1 R1.

－

－

－

四、证明题

参考答案

一、填空题

1. {3}; {{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. 2. 2.

n2

3. 1= {(a,1), (b,1)}, 2= {(a,2), (b,2)}, 3= {(a,1), (b,2)}, 4= {(a,2), (b,1)}; 3, 4. 4. (P∧ Q∧R).

5. 12, 3.

6. {4}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2}. 7. 自反性；对称性；传递性. 8. (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).

9. {(1,3),(2,2),(3,1)}; {(2,4),(3,3),(4,2)}; {(2,2),(3,3)}. 10. 2m n.

11. {x | -1≤x < 0, x R}; {x | 1 < x < 2, x R}; {x | 0≤x≤1, x R}. 12. 12; 6.

13. {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}. 14. x( P(x)∨Q(x)). 15. 21.

16. (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)). 17. {(1, 3),(2, 2)}; {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}. 二、选择题

1. C. 2. D. 3. B. 4. B. 5. D. 6. C. 7. C.

8. A. 9. D. 10. B. 11. B. 13. A. 14. A. 15. D 三、计算证明题 1. (1)

(2) B无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3. (3) A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 90+; 极小元是1. 2.R = {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.

(1)

1 1

(2)MR

1 1

01110011

0 0 0 1

3. (1) ＝ ( (x))＝ (x)+3＝2x+3＝2x+3.

(2) ＝ ( (x))＝ (x)+3＝(x+3)+3＝x+6, (3) ＝ ( (x))＝ (x)+3＝x/4+3, (4) ＝ ( (x))＝ (x)/4＝2x/4 = x/2,

(5) ＝ ( )＝ +3＝2x/4+3＝x/2+3. 4. (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b)) = P(3, f (3))∧P(2, f (2))

= P(3, 2)∧P(2, 3) = 1∧0 = 0.

(2) x y P (y, x) = x (P (2, x)∨P (3, x))

= (P (2, 2)∨P (3, 2))∧(P (2, 3)∨P (3, 3)) = (0∨1)∧(0∨1) = 1∧1 = 1.

5. (1)

(2) 无最大(3) B无上

元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1.

界，无最小上界。下界1, 2; 最大下界2.

6. G = (P→Q)∨(Q∧( P→R))

= ( P∨Q)∨(Q∧(P∨R)) = (P∧ Q)∨(Q∧(P∨R)) = (P∧ Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R)

= (P∧ Q∧R)∨(P∧ Q∧ R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧ R)∨(P∧Q∧R)∨( P∧Q∧R)

= (P∧ Q∧R)∨(P∧ Q∧ R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧ R)∨( P∧Q∧R) = m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = (3, 4, 5, 6, 7).

7. G = ( xP(x)∨ yQ(y))→ xR(x)

= ( xP(x)∨ yQ(y))∨ xR(x) = ( xP(x)∧ yQ(y))∨ xR(x) = ( x P(x)∧ y Q(y))∨ zR(z) = x y z(( P(x)∧ Q(y))∨R(z))

9. (1) r(R)＝R∪IA＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d)},

s(R)＝R∪R1＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c)},

－

t(R)＝R∪R2∪R3∪R4＝{(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)}； (2)关系图:

11. G＝(P∧Q)∨( P∧Q∧R)

＝(P∧Q∧ R)∨(P∧Q∧R)∨( P∧Q∧R) ＝m6∨m7∨m3 ＝ (3, 6, 7)

H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨( P∧R)) ＝(P∧Q)∨(Q∧R))∨( P∧Q∧R)

＝(P∧Q∧ R)∨(P∧Q∧R)∨( P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨( P∧Q∧R) ＝(P∧Q∧ R)∨( P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) ＝m6∨m3∨m7 ＝ (3, 6, 7)

G,H的主析取范式相同，所以G = H.

1 0

13. (1)MR

00110 0

00

MS 1

0010 1 0001 00 0

00

000 0

00

1

(2)R S＝{(a, b),(c, d)},

R∪S＝{(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d)}, R－

1＝{(a, a),(c, a),(c, b),(d, c)},

S－

1 R－

1＝{(b, a),(d, c)}.

四 证明题

2. 设A,B为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(B∪C).

3. (本题10分)利用形式演绎法证明：{ A∨B, C→ B, 4. (本题10分)A, B为两个任意集合，求证：

A－(A∩B) = (A∪B)－B .

1. 利用形式演绎法证明：{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵Q∨S。1. 证明：{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵Q∨S

(1) P∨R P (2) R→P Q(1) (3) P→Q P (4) R→Q Q(2)(3) (5) Q→R Q(4) (6) R→S P (7) Q→S Q(5)(6) (8) Q∨S

Q(7)

2. 证明：(A-B)-C = (A∩~B)∩~C = A∩(~B∩~C) = A∩~(B∪C)

= A-(B∪C)

3. 证明：{ A∨B, C→ B, C→D}蕴涵A→D

(1) A

D(附加) (2) A∨B P (3) B

Q(1)(2)

C→D}蕴涵A→D。

(4) C→ B (5) B→C (6) C

P Q(4) Q(3)(5) P Q(6)(7) D(1)(8)

(7) C→D (8) D

(9) A→D

所以 { A∨B, C→ B, C→D}蕴涵A→D. 4. 证明：A－(A∩B)

= A∩~(A∩B) ＝A∩(~A∪~B) ＝(A∩~A)∪(A∩~B) ＝ ∪(A∩~B) ＝(A∩~B) ＝A－B 而 (A∪B)－B

= (A∪B)∩~B = (A∩~B)∪(B∩~B) = (A∩~B)∪ = A－B

所以：A－(A∩B) = (A∪B)－B.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1j5j.html