中国人民大学附属中学中考冲刺卷（试卷七）数学

中国人民大学附属中学中考冲刺卷

数 学 试 卷（七）

第Ⅰ卷（共32分）

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答

题纸第1-8题的相应位置上。

1．-6的绝对值等于 A．6 B．

11 C．? D．?6 662．温家宝总理在十一届人大四次会议上所作的政府工作报告中指出，我国社会生产力、综合国力显著提高． “十一五”期间，国民经济迈上新的台阶，国内生产总值达到398000万亿元．将398000用科学记数法表示应为

A．3.98?103 B．398?103 C．3.98?104 D．3.98?105 3．把多项式x3?6x2?9x分解因式，结果正确的是

A．x(x?3)(x?3) B．x(x2?6x?9) C．x(x?3)2 D．x(x?3)2 4．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，点E、F分别是 OD、OC的中点．如果AC=10，BC=8，那么EF的长为 A．6 B．5 C．4 D．3

AOBEFDC5．某学习小组的7名同学积极捐出自己的零花钱支援玉树地震灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：

50，20，50，30，50，40，60，则这组数据的众数和中位数分别是 A．50，50

B．50，30 C．50，20

D．60，50

CAEODB6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D。 若∠CDB=30°，⊙O的半径为3，则弦CD的长是

3A． B．3 C．23 D．9

27，8，从口袋中随机地摸出一个小球，则摸出的小球上的数字是偶数的概率是

7．一个口袋中装有八个除标号不同外其它完全相同的小球，小球上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，

A．

1113 B． C． D． 42388．如图1是一个小正方体的平面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，

这时小正方体朝上一面的字是

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1

建

设 生 态 家

园

图1

建设生12图2

3 A．生 B．态 C．家 D．园

第Ⅱ卷（共88分）

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9． 在函数y?1中，自变量x的取值范围是 。 x?110．若(m?3)2?n?2?0，则m－n的值为 。

11．将二次函数y?x2?4x?6化为y?(x?h)2?k的形式，则y= 。

12．已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点

向外作小等边三角形（如图所示）。

??

n=3

n=4

n=5

当n = 8时，共向外作出了 个小等边三角形； 当n = k时，共向外作出了 个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是 （用含k的式子表示）。

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

?1?13．计算：18?2sin45??2011???。

?3?0?1

14．解分式方程

6x??1。 x?3x?3中国人民大学附属中学 中考冲刺卷 （数学试卷七） 2

15．已知：如图，EF∥BC，点F、点C在AD上， AF=DC， EF=BC。

求证：AB=DE。

16．已知x?x?6，求代数式x(x2?2)?x(x?1)2?3x2?7的值。

17．列方程或方程组解应用题：

2A F E Ｂ Ｃ D “地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议。号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活。中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动。

18．如图，正比例函数y=mx和反比例函数y=的图象上。

（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）过A点作直线AD与x轴交于点D，且△AOD的面积为3，

求点D的坐标。

n的图象都过点A（1，a），点B（2，1）在反比例函数xy A 1 O 1 B · x 中国人民大学附属中学 中考冲刺卷 （数学试卷七） 3

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．已知：如图，在□ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF

AD与AE相交于点G。

（1）求证：AE⊥DF；

（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长。

20．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连结BD。

（1）如图1，若BD∶CD＝3∶4，AD＝3，求⊙O的直径 AB的长；

（2）如图2，若E是BC的中点，连结ED，请你判断直线ED与⊙O的位置关系，并证明你的结论。

AADOB图1CDOB图2ECGBFEC

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21．甲、乙两校的学生代表参加区教委举办的中学生科普知识竞赛，且两校的参赛人数相同。比赛结束后，

发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）。依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表。

表1 甲校成绩统计表

分 数 7 分 8 分 9 分 10 分

人 数 11 0 8

乙校成绩扇形统计图

乙校成绩条形统计图

人数 10分 8 25% 7分 8 40% 7分6 9 分 % 4 4 5 8 分 % 2 0

78分 9分 10分 分数 图1 分 图2

请你根据以上信息解答下列问题：

（1）乙校参加比赛的学生代表有 人；

（2）甲校学生成绩为10分的人数比乙校学生成绩为10分的人数多 人； （3）请你将表1、图1和图2补充完整。

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22．已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），等边三角形PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1。将等边三角形PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、?连续地翻转n次，使顶点第一次回到原来的起始位置。 ．．P．

（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一条直线上，那么这一翻转过程可以看作是等边三角形PAE

在直线上作连续的翻转运动。 图2是k=1时，等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图。请你探索：若k=1，则等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时, 顶点第一次回到原来的起始位置。 ．．P．

来的起始位置；

（3）使顶点第一次回到原来的起始位置时，若等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转的次数是60，．．P．

则正方形ABCD的边长AB= 。

AE图1P…BDCDPAC…B(E)CDABC图2DABCD（2）若k=3，则等边三角形PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点．．P．第一次回到原

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五、解答题（本题共22分，第23、24题各7分，第25题8分） 23．已知关于x 的一元二次方程(m?2)x2?2x?1?0。

（1）若此一元二次方程有实数根，求m的取值范围；

（2）若关于x的二次函数y1?(m?2)x2?2x?1和y2?(m?2)x2?mx?m?1的图象都经过x轴上的点

（n，0），求m的值；

（3）在（2）的条件下，将二次函数y1?(m?2)x2?2x?1的图象先沿x轴翻折，再向下平移3个单位，

得到一个新的二次函数y3的图象。请你直接写出二次函数y3的解析式，并结合函数的图象回答：当x取何值时，这个新的二次函数y3的值大于二次函数y2的值。

y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4 中国人民大学附属中学 中考冲刺卷 （数学试卷七） 7

24．在梯形ABCD中，AD∥BC, ∠ABC =90°，且AD=1，AB=2，tan∠DCB=2 ，对角线AC和BD相交

于点O。在等腰直角三角形纸片EBF中，∠EBF=90°，EB=FB．把梯形ABCD固定不动，将三角形纸片EBF绕点B旋转。

（1）如图1，当三角形纸片EBF绕点B旋转到使一边BF与梯形ABCD的边BC在同一条直线上时，

线段AF与CE的位置关系是 ，数量关系是 ；

（2） 将图1中的三角形纸片EBF绕点B逆时针继续旋转, 旋转角为?（0?

画出图形，并判断（1）中的两个结论是否发生变化，写出你的猜想并加以证明；K]

（3）将图1中的三角形纸片EBF绕点B逆时针旋转到一边BF恰好落在线段BO上时，

三角形纸片EBF的另一边EF与BC交于点M，请你在图3中画出图形。

①判断（1）中的两个结论是否发生变化，直接写出你的猜想，不必证明； ②若OF?56，求BM的长。 中国人民大学附属中学 中考冲刺卷 （数学试卷七） 8

25．在平面直角坐标系xOy中，关于y轴对称的抛物线y??m?12B 两x?(m?2)x?4m?7 与x轴交于A、

3点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是这条抛物线上的一点（点P不在坐标轴上），且点P关于直线BC的对称点在x轴上，D（0，3）是y轴上的一点。 （1）求抛物线的解析式及点P的坐标；

（2）若E、F是 y 轴负半轴上的两个动点（点E 在点F的上面），且EF＝2，当四边形PBEF的周长

最小时，求点E、F的坐标；

（3）若Q是线段AC上一点,且SΔCOQ?2SΔAOQ，M是直线DQ上的一个动点，在x轴上方的平面内存

在一点N，使得以 O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形，请你直接写出点N的坐标。

y654321–6–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–5–6123456x中国人民大学附属中学中考冲刺卷

数学试卷（七）参考答案

一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 D 5 A 6 B 7 C ]8 D

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 题号 答案 9 x?1 10 5 11 (x-2)2?2 12 18 3(k-2) 3(k?2)s k2

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

?1?13．计算：18?2sin45??2011???。

?3?0?1中国人民大学附属中学 中考冲刺卷 （数学试卷七） 9

45 解： 18?2sin??0?1?2?0?11? 3???12?1?3 ??????????????????????????4分 2=42?2 。????????????????????????????5分

=32?2?14．解分式方程

6x??1． x?3x?3解：去分母，得 6(x?3)?x(x?3)?(x?3)(x?3)． ??????????????2分

整理，得 9x?9．

解得 x?1． ??????????????????????????4分

经检验，x?1是原方程的解．

所以原方程的解是x?1． ?????????????????????5分

15． 证明：∵AF?DC，

A ∴AC?DF． ??????????1分 F E ?EF∥BC，

∴?EFD??BCA． ???????2分 在△ABC与△DEF中，

Ｂ Ｃ ?BC?EF,D ? ?BCA??EFD,??AC?DF,? ∴△ABC≌△DEF． ????????????????????4分

∴AB=DE． ??????????????????????????5分 16． 解：x(x2?2)?x(x?1)2?3x2?7

?x3?2x?x(x2?2x?1)?3x2?7 ????????????????2分 ?x3?2x?x3?2x2?x?3x2?7 ??????????????????? 3分

?x2?x?7． ?????????????????????????????4分 当x2?x?6时，原式?6?7??1． ???????????????????? 5分

17．解：设中国内地去年有x个城市参加了此项活动，今年有y个城市参加了此项活动．?1分

x?y?119, 依题意，得? ????????????????????????3分 ??y?3x?13.x?33, 解得 ? ???????????????????????????4分 ?y?86.? 答：去年有33个城市参加了此项活动，今年有86个城市参加了此项活动． ????5分 18. 解：（1）∵反比例函数y?n的图象经过点B（2，1）,

xy ∴n?2．

∴反比例函数的解析式是y?2． ????1分

x ?点A（1，a）在反比例函数y?2的图象上，

xA 1 Ｂ ．Ｄ２ x Ｄ１ O 1 ∴a?2．

∴A(1，2)．??????????????2分

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∵正比例函数y=mx的图象经过点A(1，2)， ∴ m?2．

∴正比例函数的解析式是y=2x．??????????????????3分 （2）依题意，得12?OD?2?3．

∴OD?3．

∴ D点坐标为D1(?3,0)或D2(3,0)． ?????????????????5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. 解：（1）在□ABCD中，AB∥DC，

∴∠ADC+∠DAB=180°．

?DF、AE分别是∠ADC、∠DAB的平分线，

∴?ADF??CDF?112?ADC，?DAE??BAE?2?DAB．

∴?ADF??DAE?12(?ADC??DAB)?90?．

∴?AGD?90?．

∴AE⊥DF．????????????????????????????2分 （2）过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，

则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH． AD∴DH=AE=4，EH=AD=10.

在□ABCD中，AD∥BC，

G∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠BEA． BFECH∴∠CDF=∠CFD，∠BAE=∠BEA． ∴DC=FC，AB=EB．

在□ABCD中，AD=BC=10，AB=DC=6， ∴CF=BE=6，BF=BC－CF=10－6=4．

∴FE=BE－BF=6－4=2． ??????????????????????3分 ∴FH= FE+EH= 12． ????????????????????????4分

在Rt△FDH中，DF?FH2?DH2?122?42?82.????????????5分

20．解：（1）如图1，∵ AB是⊙O的直径，

∴ ∠ADB=90°．

则∠CDB=∠ADB=90°．

∴∠C+∠CBD=90°．

A ∵∠ABC=90°， ∴∠ABD+∠CBD=90°． D O· ∴∠C=∠ABD． ∴△ADB∽△BDC． B C ∴AD图1 BD?BDCD．

∵BD：CD =3：4，AD=3， ∴BD=4．

中国人民大学附属中学 中考冲刺卷 （数学试卷七） 11

在Rt△ABD中，AB?AD?BD?3?4?5． ??????????3分 （2）直线ED与⊙O相切．

证明：如图2，连结OD．

A 由（1）得∠BDC=90°．

D ∵E是BC的中点，

O· ∴DE=BE．

∴∠EDB=∠EBD．

B E C ∵OB=OD，

图2 ∴∠ODB=∠OBD．

∵∠OBD+∠EBD=90°，

∴∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°．

∴ED是⊙O的切线． ???????????????????????5分

21．解：（1）20． ?????????????????????????????1分 （2）3． ??????????????????????????????2分 （3）补全表1、图1和图2． ????????????????????5分

22．解：（1）12． ???????????????????????????????2分 （2）12． ??????????????????????????????3分 （3）5或15. ?????????????????????????????5分

五、解答题（本题共22分，第23、24题各7分，第25题8分）

2222?m?2?0,23．解：（1）根据题意，得? 2Δ?(?2)?4(m?2)?(?1)?0.??m??2,

解得??m??3. ∴m的取值范围是m≥－3且m≠－2．????????????????2分

（2）?关于x的二次函数y1?(m?2)x2?2x?1和y2?(m?2)x2?mx?m?1的图象都经过x轴上

的点（n，0），

∴(m?2)n2?2n?1?(m?2)n2?mn?m?1．

解得n=－1． ???????????????????????????3分 当n=－1时，m?2?2?1?0，

解得m=－3． ?????????????????????????4分 （3）y3?x2?2x?2． ?????????????????????????5分

5时，二次函数y3的值大于二次函数y2的值． 2 ??????????????????????7分 24．解：（1）垂直，相等 ??????????????????????????2分

（2）猜想：（1）中的两个结论没有发生变化． AD 证明：如图2，过D作DG?BC于G．

2 ∵?ABC?90o，

E54O ∴DG∥AB.

当x的取值范围是x>0或x

BG图2C12

F ∵AD∥BC，

∴四边形ABGD为矩形. ∴AB=DG=2,AD=BG=1.

∵tan∠DCB=DGCG=2,

∴CG?DG2?22?1. ∴ CB = AB =2.

∵?ABC??EBF?90o，

∴?ABC??ABE??EBF??ABE. ∴?CBE??ABF. 在△ABF和△CBE中，

??AB?CB,??ABF??CBE, ??BF?BE,∴△ABF≌△CBE. ∴AF?CE，?2??1.

∵?1??3?90o，?3??4， ∴?2??4?90o. AD∴?5?90o.

?AF?CE. ???????????4分 （3）①猜想：（1）中的两个结论没有发生变化．

FO②如图3，?AD∥BC， 2M

∴△AOD∽△COB．

B13C∴ADECB?ODOB． 图3?AD＝1，BC＝2，

∴

ODOB?12． 在Rt△DAB中，BD?AB2?AD2?1?4?5． ∴OB?235．

∵OF?56, ∴BF?BE?5．

2?∠1＋∠FBM=90°，∠2＋∠FBM=90°,

??1??2．

又??3??OAB?45o, ∴△BME∽△BOA. ∴

BMBO?BEBA. 中国人民大学附属中学 中考冲刺卷 （数学试卷七）

13

5BM?2. ∴2253∴BM?. ???????????????????????????7分

25. 解：（1）∵抛物线y??∴m－2=0．

∴m=2．

56m?12x?(m?2)x?4m?7关于y轴对称, 31∴抛物线的解析式是y??x2?1.??????????????????2分

3令y＝0，得x??3. ∴A(?3,0)，B(3,0)．

在Rt△BOC中，OC＝1, OB＝3,可得∠OBC＝30o. 在Rt△BOD中，OD＝3, OB＝3,可得∠OBD＝60o. ∴BC是∠OBD的角平分线.

∴直线BD与x轴关于直线BC对称.

因为点P关于直线BC的对称点在x轴上，

1则符合条件的点P就是直线BD与抛物线y??x2?1 的交点.

3设直线BD的解析式为y?kx?b.

??k??3,?3k?b?0,∴? ∴ ?????b?3.?b?3.∴直线BD的解析式为y??3x?3.

∵点P在直线BD上，设P点坐标为(x,?3x?3).

1又因为点P (x,?3x?3)在抛物线y??x2?1上，

3∴?3x?3??1x2?1.

3解得x1?3, x2?23. ∴y1?0, y2??3.

∴点P的坐标是(23,?3).???????????????????????3分

（2）过点P作PG⊥ x轴于G，在PG上截取PH?2，连结AH与y轴交于点E，在y轴的负半轴上

截取EF?2.

∵ PH∥EF，PH?EF，

∴ 四边形PHEF为平行四边形，有HE?PF. 又 ∵ PB、EF的长为定值，

∴ 此时得到的点E、F使四边形PBEF的周长最小. ∵ OE∥GH，

∴ Rt△AOE∽Rt△AGH.

y D

G

-1 E H

x

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∴

OEAO. ?GHAG333?1. 3∴ OE?17∴ OF?OE?EF??2?.

3317∴ 点E的坐标为（0，?3），点F的坐标为（0，?3）. ??????????5分

3）点N的坐标是N（33183，）2或N（312241821957，1919）或N（-3193，19）.??????8分 中国人民大学附属中学 中考冲刺卷 （数学试卷七） 15

（

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