福建省北师大附中泉州校区2014届高三上学期期中检测数学文试题（

福建省北师大附中泉州校区2014届高三上学期期中检测数学文试题

（含答案）

参考公式：锥体体积公式 V?Sh,其中S为底面面积，h为高.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1．已知i为虚数单位，复数z?(1?i)i在复平面内对应的点位于（B ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2．设集合A??x|?1?x?2?，B??x|0?x?3?，则A?B等于（ D ）

A. ?x|0?x?213? B. ?x|?1?x?2? C. ?x|0?x?3? D. ?x|?1?x?3?

3．“??60?”是“cos??1”的（ A ） 2D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 4．下列命题正确的是（ D ）

A．log0.23?log0.22 B．0.23?0.22 C．20.2?30.2 D．0.23?log0.23

5．设m,n是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m??的是（ D ） A．???,m?? B．m??,??? C．m?n,n?? D．m//n,n??

6．已知向量a?(1,2)，向量b?(x,?2)，且a//b，则实数x等于（ C ）

A. 0 B. 4 C. -1 D. -4

7．若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2?a10?4,则S11的值为（B ） A．12

B．22

x?1 C．18 D．44

8．函数f(x)?x?5?2的零点所在的区间是（C ）

A.(0,1) B. (1,2) C. (2,3) D.(3,4)

9．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则该几何体的底面积是（ C ）

A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 10．将函数y?cos2x图象上的所有点向左平移

?个单位长度，再把所得图6像向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（ D ）

)?1 B．y?cos(2x?)?1 C．y?cos(2x?)?1 D．y?cos(2x?)?1 636311．若对任意的x?R，函数f(x)满足f(x?2013)??f(x?2012)，且f(2013)??2013，则f(0)?（ D ）

A.0 B. 1 C.-2013 D.2013 12．一只蚂蚁从正方体ABCD?A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ C

）

A．y?cos(2x?????A． ①② B．①③ C． ②④ D．③④

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.

1

?x?1,?13．已知变量x,y满足?y?2,则z?x?y的最小值是______2______．

?x?y?0.?14．公差不为零的等差数列{an}中，若a2，a3，a6成等比数列，则其公比q为 3 . 15．已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若△ABC的面积为

33?,a?3,B?,则43b? ①y?7 ．

的最小值是2；②若a?b,则16．给出下列命题：

x2?3x2?2③若不等式x2?ax?4?0对任意x?(?1,1)恒成立，则a的取值范围为(?3,3)．

11?成立的充要条件是ab?0； ab④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 真命题的序号是 ②④ ．(写出所有正确命题的序号) 三、解答题：本大题共６小题，共74分． 17．（本小题满分12分）等差数列{an}中，a3?3，a1?a4?5． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn?1，求数列{bn}的前n项和Sn．

an?an?1?a1?2d?3,解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，由??????????? 2分

a?(a?3d)?5.?11?a1?1,解得???? 4分 所以an?a1?(n?1)d?1?(n?1)?1?n．?? 6分

d?1.?111（Ⅱ）因为an?n，所以an?1?n?1，bn?，???????? 9分 ??n(n?1)nn?111111111n所以Sn?(1?)?(?)?(?)?????(?．?? 12分 )?1??22334nn?1n?1n?1

18．（本小题满分12分）已知函数f(x)?cos（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和值域；

2xxx1?sincos?。 222232，求sin2?的值。 10xx11112x[解析]（1）由已知，f（x）=cos?sincos??（1?cosx）?sinx?

22222222?cos（x?） ? 24?22?，?。???????6分 所以f（x）的最小正周期为2?，值域为??22??（Ⅱ）若f(?)?13232(cos??sin?)?，，所以cos??sin?? 2105187两边同时平方得：1?2cos?sin??所以sin2?????12分 ，25252?32?3cos（??）?，法二：由（1）知，f（?）= 所以cos（??)?。 241045（2）法一：由（1）知f（?）=

2

所以sin2???cos（

?2?2?）??cos（2????1872，???12分 ）?1?2cos（??）?1??442525????????????19.（本小题满分12分）如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，OP?x?OA?y?OB.

???????? （I）若BP?PA，求x， y的值；

????????????????????????（II）若BP?3PA，|OA|?4，|OB|?2，且OA与OB????????的夹角为60°时，求OP?AB 的值．

?????????????????????????P?O，O即解（1）∵BP?PA，∴BO?OP????????????2OP?O?BO，A

????1????1????11∴OP?OA?OB，即x?，y?．

????2????2????????2????2????????????????（2）∵BP?3PA，∴BO?OP?3PO?3OA，即4OP?OB?3OA，

????3????1????31 ∴OP?OA?OB，∴x?，y?．

4444?????????1?????????????????3????????1????????3???1??? OP?AB?(OA?OB)?(OB?OA)?OB?OB?OA?OA?OA?OB

444421311A

??22??42??4?2???9

442220．（本小题满分12分）如图,某校有一块形如直角三角形ABC的空地,其中 ?B为直角,AB长40米,BC长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占 地形状为矩形,且B为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.

C B 【答案】[解]如图,设矩形为EBFP, FP长为x米,其中0?x?40,

健身房占地面积为y平方米.因为?CFP∽?CBA, FPCFx50?BF5A 以,,求得BF?50?x, ??BACB4050455252从而y?BF?FP?(50?x)x??x?50x??(x?20)?500?500, P E 444当且仅当x?20时,等号成立.

注：本题也可利用基本不等式的变形求解 21．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD?底面ABCD，且PA?PD?（I）求证：EF//平面PAD；

（II）求证：平面PDC?平面PAD； （III）求四棱锥P?ABCD的体积． 解：（1）连接EF，AC

∵四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为a的 正方形且点F为对角线BD的中点 ∴对角线AC经过F点 ??1分 又在?PAC中，点E为PC的中点 ∴EF为?PAC的中位线

B F

C

2AD，若E，F分别为PC，BD的中点． 2∴EF//PA ??2分 又PA?面PAD,EF?面PAD ??3分 ∴EF//平面PAD ??4分 （2）∵底面ABCD是边长为a的正方形

3

∴CD?AD ??5分

又侧面PAD?底面ABCD，CD?平面ABCD，侧面PAD?底面ABCD=AD ∴CD?平面PAD ??7分

又CD?平面PCD

∴平面PDC?平面PAD ??8分 （3）过点P作AD的垂线PG，垂足为点G

∵侧面PAD?底面ABCD，PG?平面PAD，侧面PAD?底面ABCD=AD ∴PG?平面ABCD，即PG为四棱锥P?ABCD的高 ??9分

又PA?PD?∴V四棱锥P-ABCD

2aAD且AD=a∴PG? ??10分 2211a1?S正方形ABCD?PG??a2??a3 ??12分 332613a?12x?x?bx?a(a,b?R)，其导函数f?(x)的图象过原点. 3222．（本小题满分14分）已知函数f(x)?(I)当a?1时，求函数f(x)的图象在x?3处的切线方程；

(II)若存在x?0，使得f?(x)??9，求a的最大值； (III)当a?0时，确定函数f(x)的零点个数.

解：(１)因为f?(x)?x?(a?1)x?b，由已知，f?(0)?0，则b?0.所以f?(x)?x(x?a?1).

213x?x2?1，f?(x)?x(x?2)，则f(3)?1，f?(3)?3. 3故函数f(x)的图象在x?3处的切线方程为y?1?3(x?3)，即3x?y?8?0. (２) 由f?(x)??9，得x(x?a?1)??9.

当a?1时，f(x)?999?(?x)?(?)?2(?x)?(?)?6，所以a??7. xxx当且仅当x??3时，a??7.故a的最大值为?7. （３) 当a?0时，x,f?(x),f(x)的变化情况如下表：

当x?0时，?a?1??x?

x f ′(x) f(x) 0 (－∞，0) 0 ＋ ↗ 极大值 (－∞，a＋1) － ↘ a＋1 0 极小值 (a＋1，＋∞) ＋ ↗ 因为f(x)的极大值f(0)?a?0，

1111f(x)的极小值f(a?1)?a?(a?1)3??[a3?3(a?)2?]?0，

6624123314因为f(x)?x[x?(a?1)]?a，则f((a?1))?a?0.又f(?2)??a??0.

32233所以函数f(x)在区间(?2,0),(0,a?1),(a?1,(a?1))内各有一个零点.

2故函数f(x)共有三个零点.

4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1it7.html