一、操作问题

一、操作问题

13、在下面的图形中，有一个旋转或翻转后与其他图形不完全相同，这个图形是( )。(2014第五届高思杯3年级)

答案：D。

解析：可以似A图形为例，B、C、D图形依次旋转或翻转到与A有一个小长方形的位置是相同的，再进行比较是否完全相同。如果B、C、D图形旋转或翻转后与A都不完全相同！那么A就是与其他图形不一样的。本题答案是D。

4、如下左图是圆形跑道，跑道上有12个饮水点。动物运动会上，小鸡位于饮水点B提供饮水服务。小鸭从饮水点A第1次饮水后，沿跑道的顺时针方向跑动。小鸭每次饮水后，再跑过4个饮水点，到下一个饮水点就饮水一次。已知小鸭跑了43圈，问：小鸭在小鸡服务的饮水点饮水多少次？

小鸭饮水的位置的编号是： 。(2014第五届两岸四地中年级组2试)

答案：9。

解析： 自A点开始，给饮水点编号：A点编号为1，依次顾时针为2，3，4，…，12，B点编号为7，如图。

小鸭饮水的位置的编号是：第1圈是1，6，11;第2圈是4，9；第3圈是2，7，12；第4圈是5，10；第5圈是3，8；第6圈是1，6，11，

其中只在小鸡的7号站引水1次。即小鸭每跑5圈，饮水位置循环1次， 因为43=5×8+3，小鸭在小鸡服务的饮水点饮水共9次。

10、如下图，从A点出发，要求每条路都必须经过，但都恰好只走一次，最后回到A点。那么，满足条件的走法有 种。(2014第五届两岸四地中年级组1试)

D E

F

答案：32。

解析：从A出发有2种选择，不妨设从A到D，那必须将其它路都走完，最后由E回A．去掉AD、AE后，图可变为右图．右图中从D出发，要使每条路线恰走一遍，最后走到E点，途中D、E、F被路过的次数分别为1次，1次，2次．

按树形枚举，不同的“蛙跳方式”只有以下4类： （1）D-E-F-D-F-E； （2）D-F-E-D-F-E； （3）D-F-E-F-D-E； （4）D-F-D-E-F-E．

每一类“蛙跳方式”所对应的走法都有2×2=4种．

所以，从A出发每条路线恰好走一遍回到A点的走法共有2×4×4 = 32种走法．

8、老师共买了53支铅笔，分给了A，B，C，D四个同学，分到最多的与最少的铅笔数相差不到5支。如果B把分到的铅笔全部给A，那么A的铅笔数是C的2倍；如果B把分到的铅笔全部给C，那么C的铅笔数是D的2倍，由此可知，B分到 支铅笔。(2014第五届两岸四地中年级组1试)

答案：15。

解析：设A，B，C，D分到的铅笔数分别是A，B，C，D， 由B＋C＝2D，知C、D、B依次成等差数列，设公差为K； 由A＋B＝2C，知A、C、B依次成等差数列，则公差为2K； 由4人铅笔数相差不会超过4，所以K＝0或1； 若K＝0，则4×B＝53，但53不是4的整数倍；

若K＝1， A＜C＜D＜B，则4×C＋1＝53，C＝13，B＝15．

A＞C＞D＞B，则4×C－1＝53，但54不是4的整数倍．

综上所述，B分到15支铅笔．

2、如下图，圆圈上有7个点，每个点处放有一个盒子，每个盒子里装有棋子的数目见该点处的数字。老师让7名小朋友分别站在盒子旁做传棋子游戏：小朋友们同时将自己面前盒子里的一半棋子放到逆时针相邻的盒子里，然后老师向只有奇数枚棋子的盒子里放一枚棋子。重复上述传递方式20次后，老师共向所有的盒子里放了 枚棋子。(2014第五届两岸四地高年级组2试)

答案：42。

解析：每次传递后盒子里棋子数目变化如下： 第1次：8，4，6，8，10，12，14，放6枚；

第2次：12，6，6，8，10，12，14，放6枚； 第3次：14，10，6，8，10，12，14，放6枚； 第4次：14，12，8，8，10，12，14，放4枚； 第5次：14，11，10，8，10，12，14，放4枚； 第6次：14，14，12，10，10，12，14，放4枚； 第7次：14，14，14，12，10，12，14，放4枚； 第8次：14，14，14，14，12，12，14，放4枚； 第9次：14，14，14，14，11，12，14，放2枚； 第10次：14，14，14，14，14，14，14，放2枚； 第11次：14，14，14，14，14，14，14，放O枚；

共计放入3×6+5×4+2×2=42（枚）。

6、如图所示，由75个小方格组成了15×5的图案，图中一些小方格已经被涂上了阴影，现在要继续把一些空白的小方格涂上阴影，保证任意2×2的方格中阴影小方格的数量都多于一半，那么最少需要再把______个空白小方格涂上阴影．(2014第五届两岸四地高年级组1试)

答案：17。

解析：不存在右图四种情况的相连空白格（即任意两个空白格不存在公共顶点）将

A B C D E F G 空白格分成如图不相连的7块．

其中D、G两块为5×1，每块至少需要涂其中2个格子；同理，C、F两块，每块至少需要涂其中1个格子．

而对于A块，可分为1块5×1和1块2×1，所以至少需要涂其中2+1=3个格子．B块与A块完全相同．

而对于E块，可分为1块5×1和1块2×2，2×2中不能有任何2块空白，所以2×2中至少需要涂上三个格子，这样E块至少需要涂其中2+3=5个格子．

综上所述，A、B、C、D、E、F、G这7块依次分别至少需要涂上3、3、1、2、5、1、2个格子，那么一共至少

涂上3+3+1+2+5+1+2=17(个) 格子．

右图，给出了一种构造（实际上只有E、F这2块各有2种选择，其它阴影格子都是惟一选择）．

22.如图所示，靠近墙角的地上有一个5行5列的表格，表格中的每个小方格都是边长力1分米的小正方形。有一个边长为1分米的立方体木块，六个面上分别写着A、B、C、D、E、F；从三个不同的角度看，如右下图所示。一开始把立方体木块放在右上角的位置，如图所示。请问从这个位置开始，沿着箭头指向滚动到放五角星位置，这时立方体木块朝下面上的字母是______。(2014巨人杯3年级)

倍数，所以每次操作后得到的数除以6的余数不变。

原数除以6的余数为0，所以最后得到的一个一位数是：6。

25、如图在一张4×4的方格纸上标有16个汉字， 将纸片平放在桌子上，并按下列顺序对折四次： (1)将下半截对折盖住上半截； (2)将上半截对折盖住下半截； (3)将左半截对折盖住右半截； (4)将右半截对折盖住左半截。

这时从上往下数第八层上所标的汉字是______。 (2014巨人杯6年级)

答案：孝。

22、有1008个花坛，其中任意两个花坛所在位置的正中间都必须安装一个喷水龙头，那么通过合理安排花坛的位置，最少安装______个喷水龙头就够用了。（花坛大小忽略不计）(2014郑州超常班5年级)

答案：2013。

解析：把花坛看成点，由1008个点连接每两点的线段只有有限条，所以必有一条最长者。设AB为诸线段中最长者。

A与其他1007个点连线的中点均在以A为圆心，或圆周上。

B与其他1007个点连接的中点均在以B为圆心，或圆周上。

所以至少有2×1007 -1= 2013个中点，即理论上水龙头数量不能比2013少。 下面我们构造恰有2013个水龙头的例子： 在直线上等间距取1008个点即可满足要求。

1AB为半径的圆的内部21AB为半径的圆的内部2

5、将一个自然数施行如下操作：第一次将2014的末两位数字的积写在它的后面得20144，第二次将20144的末两位数字的积写在它的后面得2014416，第三次将2014416的末两位数字的积写在它的后面得20144166，如此继续，那么，第2014次操作后所得的多位数的末两位数字是______。(2014浙江省“我爱数学杯”5年级) 答案：32。

解析：我们将这一串数依次写下来，直到末两位数字重复为止：

(1)

20144,(2)2014416, (3)

20144166,(4)2014416636,(5)201441663618,

(6) 2014416636188,(7)201441663618864,(8)201441663618864 24, (9)201441663618864248, (10)20144166361886424832,

(11) 2014416613618864248326,(12) 20144166361886424832612, (13) 201441663618864248326122, (14) 20144166361886424832612

24 ,

(15)20144166361886424832612248,

前面7次操作没有规律，以后每6次操作一个循环。

因为(2014—7)÷6=334……3，

所以，第2014次操作后所得的多位数的末两位数字是32。

10、在如下(1)，(2)，(3)，(4)这四个小长方形的图案中，有哪些是右边的大图案中没有放缩的截图？（包括旋转后的截图），请写出所有是截图的小长方形编号：______。(2014浙江省“我爱数学杯”4年级)

答案：(1)(3)(4)。

12、在如下四个小长方形的图案中，有______个图案是右边的大图案中没有放缩的截图（包括旋转后的截图）。(2014浙江省“我爱数学杯”3年级)

答案：3个， 解析；是A、C、D。

12、公元20××年，人类在太阳系某一区域的同一平面内按3×3的方阵建立了9个太空站（如图）。每两个太空站之间都有运输船按直线往返航行，那么所有这些航线中，有____种不同长度的航线。 (2014秋·武汉明心数学3年级)

答案：5。 解析：如上右图。

8、如下图，六边形ABCDEF由五个单位正方形组成，称能平分此六边形面积的直线为“好线”。则好线的条数为下列选项中的____。(2014春·武汉明心5年级)

A．l B．2 C．3 D．无数

答案：D。

解析：设CD中点为H，矩形ABCH、矩形EFHD的中心分别为O1、O2。

则O1O2为一条好线，且过线段O1O2的中点M的直线（与线段DE有交点）均为好线。

2、现有1克、2克、4克、8克四种重量的砝码各一个，每次称重至多只能使用其中的三个砝码，且只能放在天平的一端，那么一次称量共可以称出______种不同重量。(2014“陈省身杯”5年级)

答案：14种。

解析：若没有选取限制，则有16-1=15种选法，减去选择4个砝码的情况，有14种。

18、(1)图A中有6个结点和9条边，用1、2、3、4、5、6六个数字分别标注在6个结点上。将每条边也标上数字，使标上的数字等于两个端点的数字之和。 问能否做到每条边上标的数字不同？若能，请在图中给出一种标注方法（结点和边都要标注数字）；若不能，请说明理由。(2)图B中也有6个结点和9条边，用1、2、3、4、5、6六个数字分别标注在6个结点上。将每条边也标上数字，使标上的数字等于两个端点的数字之和。

问能否每条边上标注的数字不同？若能，请在图中给出一种标注方法（结点和边都要标注数字）；若不能，请说明理由。(2014第十二届“创新杯”6年级)

答案：可以；不可能。

解析：(1)如图所示，在图A中可以达到题中要求。

(2)如图B，设六个结点分别标上a1,a2,a3,a4,a5,a6，则9边上分别标上：

a1?a4，a1?a6，a2?a4，a2?a5，a3?a5，a3?a6，a4?a6，a4?a5，a5?a6，

所以9个边上9个数之和：

S?2a1?2a2?2a3?4a4?4a5?4a6?2?a1?a2?a3?2a4?2a5?2a6? ，从而2S，因此，S为偶数。现在边上标注的数最小可能是1+2=3，最大可能是

5+6=11，由于有9条边，可推断每条边上的标注的数若都不相同，它们应该是3、4、5、6、7、8、9、10、11，这些数的总和是S?63，是奇数，因此，题中的要求不可能达到。

14、将2，3，4，5，6，7这六个数分别填在一个圆周的六个等分点处，使 得圆周上任两个相邻位置上的两数之和均为质数。若圆周旋转后能重合的两个填法算作相同的填法，那么不同填法有____种。(2014第十二届“创新杯”6年级)

答案：2。

解析：由于和为质数．只能5，7，11，13，其中：5=2+3，7=2+5=3+4，11 =4+7=5+6，13=6+7．所以有2种填法：

3、下面四个图形中，有三个面上印有图案，经过折叠能围成如下图的正方体纸盒的是( ) (2014第十二届“创新杯”4年级)

答案：B。

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