数列的通项公式和求和

求数列通项公式的常用方法

类型1、

an?1?an?f(n)型，（f(n)可求前n项和），

?a1?(a2?a1)????(an?an?1)求通项公式的方法称为累加法。

{an}的首项a1?1，an?1?an?2n（n?N*）求通项公式。

利0用an例.已知

解：

an?an?1?2(n?1)0

an?1?an?2?2(n?2)

0

an?2?an?3?2(n?3)…… a3?a2?2?2

0

?a2?a1?2?1

an?a1?2[1?2???(n?1)]?n2?n

2a?n?n?1 n∴

变式1.已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。

变式2. 已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。

变式3. 已知数列{an}中, a1?1,an?3n?1?an-1(n?2)求数列?an?的通项公式.

1n(n?1)变式4. 已知数列

?a?满足an1?1，

an?1?an?，求

?an?的通项公式。

1

类型2、

an?1?f(n)?an型。

f(n)是常数时，可归为等比数列。

f(n)可求积，利用恒等式a?aa2a3???an(a?0,n?2)求通项公式的方法称为

n1na1a2an?1（1）若

（2）若

累乘法。

例1：已知：

a1?2n?11an?an?1{a}2n?13，（n?2）求数列n的通项。

anan?1an?2a3a22n?12n?32n?5533??????????aan?2an?3a2a12n?12n?12n?3752n?1 解：n?1an?a1?31?2n?12n?1

∴

变式1. 已知a1?1,an?n(an?1?an)(n?N*),求数列?an?通项公式.

变式2. 已知数列{an}满足a1公式。

?1，an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，求{an}的通项

n2an?1?ann?1，求an。 3，

nann?2且a1?2求数列通项公式。

变式3. 已知数列

?an?满足

a1?变式4. 已知

{an}中，

an?1? 2

类型3、

an?1?kan?b型（其中k、b为常数，kb?0，k?1）

解：设

an?1?m?k(an?m) ∴ an?1?kan?km?m

?m?b ∴

m?bk?1

比较系数：km∴

{an?bb}a1?k?1是等比数列，公比为k，首项为k?1

∴

an?bb?(a1?)?kn?1k?1k?1

bb)?kn?1?k?1k?1 ∴

an?(a1?

例1 已知数列

?an?中, a1?1,an?2an?1?1(n?2),求?an?的通项公式.

?x)?2(an?1?x),an?2an?1?x,求得x?1,

【解析】:利用(anan?1?2(an?1?1),??an?1?是首项为a1?1?2,公比为2的等比数列,

即an?1?2?2n?1,an?1?2n,?an?2n?1

?2an?4，且a1?1求通项an 3变式1.已知数{an}的递推关系为an?1

2.在数列?an?中，若a1?1,an?1?2an?3(n?1)，则该数列的通项

3

类型4

an?1?kan?an?b型

解：可设

∴

an?1?A(n?1)?B?k(an?An?B) an?1?kan?(k?1)An?(k?1)B?A

?(k?1)A?abaaB???A?(k?1)B?A?bk?1(k?1)2k?1，∴ ? 解得：

∴

{an?An?B}是以a1?A?B为首项，k为公比的等比数列

n?1a?An?B?(a?A?B)?kn1∴

n?1a?(a?A?B)?k?An?B 将A、B代入即可 n1∴

例1. 已知：

解：

a1?1，0n?2时，

an?1an?1?2n?1{a}2，求n的通项公式。

1an?An?B?[an?1?A(n?1)?B]2设

an?1111an?1?An?A?B2222

?1?A?2??2???1A?1B??1?2∴ ?2

?A??4? 解得：?B?6

∴

a1?4?6?3

1{a?4n?6}是以3为首项，2为公比的等比数列 ∴ n1an?4n?6?3?()n?12∴

an?32n?1?4n?6

∴

变式1已知数列{an}满足an?1解：设an?1?x(n?1)2?2an?3n2?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。

?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z)

4

类型5

an?1?kan?qn型 （q?0）

an?1kan1??n?n?1n?1qqq qq等式两边同时除以得

Cn?令

anqnCn?1? 则

k1Cn?qq ∴ {Cn}可归为an?1?kan?b型

na{a}a?2a?2a?1n中，1n?1例1. 已知，n（n?2）求n。

anan?1?n?1?1nna?2a?2n?12由n得2

{∴

变式1已知数列{an}满足an?1anan1}??(n?1)nn?1nna?n?2?222成等差数列，2 ∴ n

?2an?3?5n，a1?6，求数列?an?的通项公式。

解：设an?1?x?5

n?1?2(an?x?5n)

5

na?Aa?Bq类型6 n?1（A、B、q为常数，下同）型， n 可化为an?1例1.在数列

???qn?1?A(an???qn)的形式.

?an?中，a1??1,an?1?2an?4?3n?1,求通项公式an

解：原递推式可化为：

a???3n?2(a???3n?1) ① n?1n比较系数得?nn?1)??4，①式即是：an?1?4?3?2(an?4?3.

n?1{a?4?3}是一个等比数列，其首项a1?4?31?1??5，公比是2. 则数列nn?1n?1a?4?3??5?2∴n

n?1n?1a?4?3?5?2即n.

变式1. 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。

变式2. 已知数列{an}满足an?1?2an?3?5n，a1?6，求数列?an?的通项公式。

变式3 已知数列{an}满足an?1

?2an?4?3n?1，a1?1，求数列?an?的通项公式。

6

类型7、an?1?can(c?0,d?0)

an?d1d11?? 的形式的方法叫倒数变换. an?1cancan,求数列?an?的通项公式.

2an?1 取倒数变成

例1 已知数列

?an?(n?N*)中, a1?1,an?1??【解析】:将an?1?1?an11111取倒数得: ?2?,???2,???是以?1a12an?1an?1anan?1an?an?11?1?2(n?1),?an?.

2n?1an为首项,公差为2的等差数列.

例2 已知

{an}中，a1?4，

an?4?4an?1（n?2）求an。

an?1?2?2? 解：

42(an?2)?anan

1∴

an?1?21?an11??2(an?2)2an?2（n?1）

?111?bn?an?22（n?1）设an?2 1(n?1)2

∴

an?1?2即

bn?1?bn?∴

{bn}是等差数列

111n2??(n?1)??an??2a?2a1?222 n ∴ n

变式1.已知数列｛an｝中a1

?1且an?1?an（n?N）

an?1，

，求数列的通项公式。

变式2.数列

?an?中，a1?1，an?1?2an,(n?N?)

an?2变式3.在数列｛an｝中，a1 =1, (n?1)an?1?nan，求an的表达式。

7

类型8、an?2?pan?1?qan（其中p，q均为常数）。

an?2?pan?1?qan，a1??,a2??给出的数列

(特征根法)：对于由递推公式

?an?，方程

x2?px?q?0，叫做数列?an?的特征方程。

若x1,x2是特征方程的两个根， （1）当x1n?1，其中A，B由a1??,a2??决定（即?x2时，数列?an?的通项为an?Ax1n?1?Bx2n?1?1,2，代入an?Ax1n?1?Bx2，得到关于A、B的方程组）；

把a1,a2,x1,x2和n（2）当x1?x2时，数列?an?的通项为an?(A?Bn)x1n?1，其中A，B由a1??,a2??决定（即

?1,2，代入an?(A?Bn)x1n?1，得到关于A、B的方程组）。

把a1,a2,x1,x2和n3、

an?2?A?an?1?B?an型，可化为

an?2??an?1?(A??)?(an?1??an)的形式

例1在数列{an}中，1a??1,a2?2，当n?N，an?2?5an?1?6an ① 求通项公式

an.

解：①式可化为：

an?2??an?1?(5??)(an?1??an)

比较系数得

?=-3或?=-2，不妨取?=-2.①式可化为：

an?2?2an?1?3(an?1?2an)

则∴

{an?1?2an}是一个等比数列，首项a2?2a1=2-2（-1）=4，公比为3.

an?1?2an?4?3n?1.利用上题结果有：

an?4?3n?1?5?2n?1.

例1 数列

?an?：3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)， a1?a,a2?b,求an

2解（特征根法）：的特征方程是：3x?5x?2?0。?x1?1,x2?2, 32n?1?A?B?()n?1。又由a1?a,a2?b，于是 ?an?Ax1n?1?Bx23

8

?a?A?B?A?3b?2a2n?1?a?3b?2a?3(a?b)() 故?2??n3b?A?B?B?3(a?b)?3?变式1. 已知数列

?an?中，a1?1,a2?2,an?2?2an?1?1an，求an。

33key:an?731n?1?(?)。 443变式2. 已知数列

类型9、Sn?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*).求数列?an?的通项公式；

?f(an)

?S1????????????????(n?1)与an?Sn?Sn?1?f(an)?f(an?1)消去Sn (n?2)或???Sn?Sn?1???????(n?2)解法：利用an与Sn?f(Sn?Sn?1)(n?2)消去an进行求解。

例 1 已知无穷数列

?an?的前n项和为Sn，并且an?Sn?1(n?N*)，求?an?的通项公式？

n111??? Sn?1?an，? an?1?Sn?1?Sn?an?an?1，? an?1?an，又a1?，an???. 22?2?变式1. 已知数列

?an?中，a1?1，前n项和Sn与an的关系是 Sn3?n(2n?1)an ，求an

变式2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn求数列{an}的通项公式

?2an?n?3(n?N*)．

变式3. 已知数列{an}的前n项和S，其中{bn}是首项为1，公差为2的等差数列. 求数(n?1)bn?n列{an}的通项公式； 变式4. 数列

?an?的前n项和为Sn，a1?1，an?1?2Sn(n?N*)．求数列?an?的通项an

?2an?n?3(n?N*)．

变式5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn求数列{an}的通项公式；

变式6. 已知在正整数数列（1）求证：

{an}中，前n项和Sn满足

?Sn?1(an?2)28

{an}是等差数列 （2）若bn1an?30{b}2，求n的前n项和的最小值

9

数列求和（错位相减、裂项相消法）

裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项：

111 1111???(?)n(n?1)nn?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1

11111111?[?] ?(?)n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)n(n?2)2nn?2

1.数列

?an?是等差数列，数列??1??的前n项和.

?anan?1? 2 求数列

11?2,12?3,???,1n?n?1,???的前n项和.

3、已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为-4。 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；w_w w. k#s5_u.c o* （Ⅱ）设bn?(4?a?1n)qn(q?0,n?N*)，求数列{bn}的前n项和Sn

10

4、已知等差数列

?an?满足：a3?7，a5?a7?26，?an?的前n项和为Sn．

1(n?N*)，求数列?bn?的前n项和Tn． 2an?1（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=

5、已知二次函数

y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)?6x?2，数列{an}的前n项和

?为Sn，点(n,Sn)(n?N)均在函数y?f(x)的图像上。

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn数m；

?m1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn?20anan?1对所有n?N都成立的最小正整

?6、等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N ，点(n,且b?S)n，均在函数

y?bx?r(b?0?1,b,r均为常数)的图像上.

（1）求r的值；

（2）当b=2时，记

bn?n?1(n?N?) 求数列{bn}的前n项和Tn 4an

11

数列求和专项练习

1、求数列{

?2n?1??3n}前n项和.

2、求数列

3、求数列

13572n?1,,,,???,n的前n项和.248162 1111，，，…，，…的前n项和S

n(n?2)1?32?43?5

4、已知数列

?an?的通项公式为an?1n?1?n 求它的前n项的和.

5、已知数列{an}满足：a1

2?1?2Sn(n?2). 证明数列??是等差数列，并求出6、在数列?an?中，a1?1,an?2Sn?1?sn??3a2???(2n?1)an?(2n?3)?2n?1,数列{bn}的前n项和

Sn?2n2?n?2.求数列{an?bn}的前n项和Wn.

Sn的表

达式.

12

7、已知等差数列

?an?满足：a3?7，a5?a7?26.?an?的前n项和为Sn.

（1）求an 及Sn；

（2）令bn?1?n?N（）,求数列?bn?的前n项和Tn.

an2?1

8、已知数列

1n?2S?a(S?)； 中，，且当时，a?1a?n?nnn12（1）求Sn，an （2）求

9、已知在数列

?Sn?的前n项和Tn

?an?中，a1?1，an?1???1??，求数列

1?n?1a? ?nn?2n（1）设bn?ann?bn?的通项公式

（2）求数列

?an?的前n项和Sn

13

10、已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为-4。 （1）求数列{an}的通项公式；w_w w. k#s5_u.c o* （2）设bn

11、已知等差数列

?(4?an)qn?1(q?0,n?N*)，求数列{bn}的前n项和Sn

?an?满足：a3?7，a5?a7?26，?an?的前n项和为Sn．

（1）求an及Sn；

（2）令bn=

1(n?N*)，求数列?bn?的前n项和Tn 2an?1

12、已知二次函数

y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)?6x?2，数列{an}的前n项和

?为Sn，点(n,Sn)(n?N)均在函数y?f(x)的图像上。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn数m；

?1，Tn是数列{bn}的前

anan?1n项和，求使得Tn?m20对所有n?N都成立的最小正整

?13、已知数列{an}的各项为正数，其前n项和Sn满足Sn?(an?12)， 2（I）求an与an?1(n?2)之间的关系式，并求{an}的通项公式；

（II）求证

111?????2. S1S2Sn

14

15

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1io7.html